Типичность, предельное поведение и спектральные свойства динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Тихонов, Сергей Викторович

• Тихонов, Сергей Викторович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Тихонов, Сергей Викторович

Содержание

Введение

Некоторые соглашения по обозначениям

Глава 1. Типичность

§1.1. Исследуемые объекты: преобразования и действия групп

§1.4. Топологии и метрики

§1.5. Абстрактные теоремы о типичности, применение к пространствам со слабой топологией

Глава 2. Аппроксимация перемешивающими действиями в поводок-метрике

§2.1. Основная аппроксимационная конструкция

§2.2. Плотность орбит прямых произведений

§2.3. Аппроксимация неперемешивающих действий перемешивающими

Глава 3. Типичность перемешивающих действий

§3.1. Конструирование действия, близкого в поводок-метрике к пределу слабо сходящейся последовательности действий

§3.2. Аппроксимация перемешивающих преобразований непереме-

шивающими

§3.3. Аппроксимация перемешивающих Х^-действий неперемешива-

ющими

§3.4. Типичные перемешивающие преобразования и действия

Глава 4. Кратность спектра

§4.1. Перемешивающие преобразования с однородным спектром

Заключение

Предметный указатель

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Типичность, предельное поведение и спектральные свойства динамических систем»

Введение

Актуальность темы исследования. Работа относится к эргодиче-ской теории динамических систем и групп преобразований, сохраняющих меру, к ее аппроксимационному направлению. С первых шагов эргодическая теория рассматривала как индивидуальные, так и типичные свойства преобразований (к вопросам, связанным с типичностью относится, например, так называемая эргодическая гипотеза Биркгофа). Классические работы Дж. Окстоби и С.Улама [37] (для гомеоморфизмов), В.А.Рохлина [73] и П.Халмоша [20] (для абстрактных сохраняющих меру преобразований) показали, что в вопросах типичности свойств динамических систем с инвариантной мерой эффективны слабая и равномерная аппроксимация периодическими преобразованиями: фактически, с помощью периодической аппроксимации, В. А. Рохлин показал, что типичность многих свойств следует из существования одного апериодического преобразования, обадающего этим свойством. Впрочем, для некоторых свойств такое редукции нет: например, решения вопросов о существовании квадратного корня и нетривиального фактора а также вопроса о вложении преобразования в поток потребовали дополнительных топологических инструментов. Что касается индивидуальных свойств преобразований, то и в этом направлении аппроксимационный подход оказался достаточно эффективным. Пионерскими здесь были работы А. М. Степина [94, 96] (в первой из работ решена проблема Колмогорова о групповом свойстве спектра) и А. М. Степина и А. Б. Катка [63, 64]: была показана, в частности, зависимость свойств преобразований от скорости, с которой их можно аппроксимировать периодическими, и решены многие имеющиеся к тому моменту вопросы. В дальнейшем аппроксимационный подход развивался в работах А. Б. Катка [24, 61], А. М. Степина[95, 44, 99, 100, 46, 103], Д.В.Аносова и А. Б. Катка[56], В. И. Ос,еледца[71, 72], С. А. Юзвинского[118], О.Н.Агеева

[50, 52, 51, 49] и многих других.

Вопросы существования преобразований с теми или иными свойствами, возникающие в эргодической теории, естественно рассматривать для нескольких основных классов: эргодических, слабо перемешивающих и перемешивающих. Кроме того, в последнее время также рассматриваются "категорные" и групповые формулировки. Первая формулировка означает "типичны ли преобразования с выбранным свойством?", вторая — "обладают ли этим свойством групповые действия?". Если преобразования с выбраным свойством типичны, то существуют эргодические и слабо перемешивающие преобразования им обладающие. Совсем иначе обстоит дело с перемешивающими преобразованиями: типичное среди всех преобразований свойство может не выполняться ни для одного перемешивающего преобразования. Всвязи с этим, перемешивания лишены такого важного способа изучения их свойств, как ка-тегорный подход. Один из общих рассматриваемых в этой работе вопросов звучит так:

Какими свойствами может обладать перемешивающее преобразование?

Конечно, такая формулировка вопроса слишком общая; мы будем рассматривать более специальные вопросы, например, "перемешивающий" вариант вопроса Рохлина об однородном непрерывном спектре:

Существуют ли перемешивающие преобразования с однородным спектром кратности пбМ?

Сам вопрос был поставлен Рохлиным устно для эргодических преобразований. В печатном виде он присутствует в обзоре А. Б. Катка, Я. Г. Синая и А. М. Степина [62, стр. 203]. "Перемешивающая" формулировка (при п > 2) имеется в работах А. И. Даниленко [6] и В. В. Рыжикова [87]. А. Б. Каток [25] показал, что в типичном случае спектральные кратности декартового квадрата преобразования содержатся во множестве {2,4} и высказал

гипотезу, что число 4 не реализуется, то есть такие квадраты имеют однородный спектр кратности 2. Эта гипотеза подтверждена (независимо) О.Н.Агеевым [1] и В. В. Рыжиковым [43]. Позднее, В. В. Рыжиков, отвечая на вопрос Ж. -П. Тувено, получил тот же результат для перемешивающих преобразований[42]. Для случая п > 2 в эргодической постановке вопроса положительный ответ получен О.Н.Агеевым [2]. Доказательство этого факта существенно отличается от случая п = 2 применением соображений типичности групп преобразований, а его адаптация на перемешивающий случай требует разработки соответствующего математического аппарата. Эта разработка проведена диссертантом [113] и будет изложена в настоящей работе. Следует упомянуть также результат А. И. Даниленко и А. В. Соломко [14] о существовании эргодических действий некоторых абелевых групп с однородным спектром любой кратности.

Важным применением аппроксимационных методов является спектральная теория эргодических (перемешивающих) преобразований. Мы остановимся на одном вопросе Колмогорова, сыгравшем существенную роль в возникновении и развитии теории аппроксимаций, — вопросе о групповом свойстве спектра сохраняющего меру преобразования. Он эквивалентен тому, что свертка максимального спектрального типа преобразования подчинена этому спектральному типу. А. Н. Колмогоров (по аналогии с дискретным случаем) полагал, что это так, см. работу Я. Г. Синая [91]. В. А. Рохлин и С. В. Фомин [80] исследовали все известные на тот момент динамические системы и выяснили, что групповое свойство для них выполняется. Я. Г. Синай [92] получил условие, гарантирующее групповое свойство спектра, и доказал его выполнение для широких классов преобразований вероятностного происхождения. Напротив, развивая теорию аппроксимаций, А. М. Степин [44, 102] показал, что спектральный тип преобразования в типичном случае не подчиняет свой сверточный квадрат, более того, взаимно сингулярен с ним. Заметим также,

что вопрос Колмогорова имел и другую (несколько более слабую) трактовку; в этой трактовке контрпример получил В. И. Оселедец [70]. Он также построил первый пример преобразования без группового свойства с непрерывным спектром [71]. Для перемешивающих преобразований отсутствие группового свойства доказал В. В. Рыжиков [42].

Сингулярность спектрального типа преобразования со своим сверточ-ным квадратом оказалась связана с следующим вопросом Рохлина (о кратном перемешивании):

Какие перемешивающие преобразования обладают перемешиванием всех кратностей?

Одним из самых заметных результатов в этом направлении, получил Б. Ост [21], доказавший, что взаимная сингулярность максимального спектрального типа и его сверточного квадрата гарантирует перемешивание любой кратности.

Вопрос о кратном перемешивании и его различные вариации исследовались многими авторами. Этот инвариант ввел В. А. Рохлин, установив кратное перемешивание для эргодических эндоморфизмов компактных групп [76], С. А. Каликов [22] рассматривал преобразования ранга 1. Ф. Ледрапье [30] построил перемешивающее действие группы 1? не перемешивающее кратно. В. П. Леонов [68] показал, что перемешивающие гауссовские системы обладают перемешиванием всех кратностей, Б. Маркус [32] доказал, что свойством кратного перемешивания обладают унипотентные потоки. А. Н. Старков [93] установил аналогичный факт для однородных перемешивающих потоков, Ш. Мозес [35] для широкого класса групп Ли. В серии работ В. В. Рыжикова доказано кратное перемешивание для перемешивающих преобразований конечного ранга [83], Мп-действий положительного /3-ранга [85], ^-простых систем [84], перемешивающих Мп-действий все элементы которых сопряжены [81]. Р. А. Яссави [48] обобщала результаты Рыжикова для действий с поло-

жительным /3-рангом на коммутативные группы.

С некоторого момента в изучении динамических систем все заметнее становится роль групповых вопросов. Тому имеется несколько причин — в первую очередь, успешное применение групповых действий для решения классических задач теории сохраняющих меру преобразований[94, 98, 45]. Имеется много примеров такого рода — ответ на вопрос А. Н. Колмогорова о групповом свойстве спектра был вначале получен А. М. Степиным[94] для групп преобразований, О. Н. Агеев доказал типичность преобразований, являющихся Хг-расширениями [52], существование преобразований ранга 1, изоморфных своему квадрату [3] и преобразований, имеющих однородный спектр произвольной кратности [2], В. В. Рыжиков[89] и А. И. Даниленко[7] использовали групповые действия для получения эргодических преобразований с нетривиальными наборами спектральных кратностей.

Многие свойства преобразований (например, слабое перемешивание, неизоморфность обратному, существование корней) имеют естественные аналоги для групповых действий. Однако, в силу исторических причин и более важной роли преобразований в приложениях, типичность таких свойств лучше изучена именно для преобразований. Естественным образом возникает вопрос о возможности "переноса" утверждений о типичности на группы преобразований и обратно. Более общо, нас будет интересовать ответ на следующий вопрос:

Как связаны между собой типичные свойства элементов в различных метрических пространствах?

Этот вопрос перекликается с категорной формулировкой ряда известных проблем эргодической теории ("категорная формулировка" вопроса о каком-нибудь свойстве действий означает вопрос о типичности действий с этим свойством). Вот некоторые из них:

вопрос Халмоша о существовании квадратного корня [117];

вопрос Рохлина о вложении преобразования в поток и о количестве этих потоков [74, 104];

вопросы де ла Рю и де Сэм Лазаро [41] о вложении 2п-дейс.твия в инъ-ективное Мп-действие и о вложении 1?-действия в поток;

уже упомянутый вопрос Рохлина о существовании перемешивающих преобразований разной кратности [76].

Заметим также, что построенная диссертантом для ответа на рассматриваемый вопрос теория сохраняющих типичность отображений впоследствии развивалась в работах Ж. Миллерея и Т. Цанкова [34], Ж. Миллерея [33] и О. Н. Агеева [4].

Одно из главных направлений работы — исследование типичных групп перемешивающих преобразований.

Направление представляется важным в двух аспектах.

Во-первых, типичность является хорошим средством для доказательства теорем существования. Например, типичность любых двух свойств сохраняющих меру преобразований гарантирует существование слабо перемешивающего преобразования с обоими этими свойствами. Последние исследования[2, 7, 89] показывают, что преобразования с нетипичными свойствами можно получать, извлекая их из типичных групп преобразований. Общую теорию аппроксимаций групп преобразований развивал А. М. Степин [97]. В его работах также изучаются связи между аппроксимациями групп и их действий[100, 101].

Во-вторых, исследование перемешивающих групп преобразований сдерживает отсутствие некоторых методов, применимых к общим преобразованиям. В первую очередь это отсутствие предельного перехода, сохраняющего перемешивание (фактически, для этого нужна метрика, превращающая множество перемешивающих преобразований в полное пространство, и метрика слабой топологии для этого не подходит). Другим важным методом являет-

с,я использование нетривиальных предельных операторов у степеней преобразования. Этот метод применяется во многих работах [102, 31, 87, 89, 90], но напрямую не применим к перемешивающим преобразованиям, у которых только один предельный оператор. В этой связи уместно заметить, что решение проблемы Колмогорова о групповом свойстве спектра для эргодиче-ских преобразований опиралось на наличие у типичного преобразования предельного оператора особенного вида. Отсутствие такого предела у перемешивающих преобразований отодвинуло решение перемешивающего варианта вопроса Колмогорова на три десятка лет. Для того, чтобы обойти эту проблему, В. В. Рыжиков [42] рассматривал преобразования с более сильными, чем отсутствие группового свойства, ограничениями, причем это ограничения продолжали выполняться при подходящей аппроксимации перемешивающего преобразования слабо перемешивающими конструкциями ранга 1. Мы будем использовать несколько иной подход, связанный с типичностью и не ограниченный рамками ранговых конструкций.

Резюмируя выше сказанное, нас интересуют следующие вопросы:

Какие метрики можно ввести на множестве перемешивающих преобразований? Какие перемешивающие преобразования типичны?

Заметим, что для изучения типичности требуется, чтобы метрика была полной.

Цели и задачи. Основной целью работы является создание категор-ных и аппроксимационных методов исследования перемешивающих преобразований, а также перемешивающих и неперемешивающих групп.

К целям работы также относятся:

• исследование типичных свойств И1-действий:

• исследование типичных свойств перемешивающих преобразований и пе-

ремешивающих Zn-действий;

• исследование спектральных свойств индивидуальных перемешивающих преобразований.

Рассматриваются следующие вопросы:

I. Какие метрики можно ввести на множестве перемешивающих преобразований? Какие перемешивающие преобразования типичны?

II. Как связаны типичные свойства в различных метрических пространствах?

III. Какие перемешивающие преобразования обладают перемешиванием всех кратностей?

IV. Какие наборы спектральных кратностей могут быть у перемешивающего преобразования?

В рамках поставленных вопросов изучаются следующие проблемы и задачи:

1. Задача построения полной метрики на множестве перемешивающих преобразований. Желательным свойством этой метрики является сепара,-бельность получившегося пространства и связь с метрикой на пространстве всех преобразований.

2. Проблема Т. де ла Рю и X. де Сэм Лазаро о вложении типичного Z2-действия в поток.

3. Задача о плотности классов сопряженности прямого произведения перемешивающих действий группы Q в пространстве перемешивающих Содействий.

4. Проблема Рохлина о кратном перемешивании в категорной формулировке.

5. Проблема Рохлина о существовании преобразований с однородным спектром кратности п > 2 в классе перемешивающих преобразований.

Научная новизна. Результаты работы являются новыми и получены автором лично. Основные из них следующие:

• Введена метрика, относительно которой множество перемешивающих преобразований становится полным сепарабельным метрическим пространством. Аналогичная метрика введена для перемешивающих действий широкого класса локально-компактных групп.

• Введено понятие сохраняющих типичность отображений, получены достаточные условия сохранения типичности. Как следствие, получен ответ на вопрос Т. де ла Рю и X. де Сэм Лазаро о вложении типичного Z2-действия в поток и доказано сохранение типичности для отображений ограничения Мп-действий на группу Zn.

• В классе перемешивающих преобразований получен положительный ответ на вопрос В. А. Рохлина о реализуемости однородного спектра кратности п Е N.

• Изучены свойства типичных перемешивающих преобразований. Доказано, что типичное перемешивающее преобразование имеет нулевую энтропию, дизъюнктно своему обратному, имеет простой спектр. Получен ответ на вопрос Рохлина о кратном перемешивании в категорной формулировке: установлено, что типичное перемешивающее преобразование обладает перемешиванием любой кратности.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Представленные методы могут быть применены для исследования перемешивающих и сохраняющих меру преобразований в эрго-дической теории и теории динамических систем. Результаты работы могут

быть использованы при чтении спецкурсов по динамическим системам и эр-годической теории, а также в научно-исследовательской работе математиков, работающих в этих направлениях.

Методология и методы исследования. В работе используются ка-тегорные и аппроксимационные методы исследования.

Степень достоверности и апробация результатов. С материалами диссертации автор выступал на следующих научных семинарах:

МГУ, механико-математический факультет: семинар под руководством академика Д. В. Аносова, профессора Р. И. Григорчука, профессора А. М. Степина;

МГУ, механико-математический факультет: семинар под руководством профессора Б. М. Гуревича, профессора В. И. Оселедца и доктора физико-математических наук С. А. Пирогова;

МГУ, механико-математический факультет: семинар под руководством профессора А. М. Степина;

ИАТЭ: семинар под руководством профессора Р. В. Плыкина и профессора Е. А. Сатаева;

ИППИ РАН: Семинар Добрушинской математической лабратории под руководством профессора Р. А. Минлоса и гл.н.с. М. Л. Бланка.

Диссертационные результаты были представлены на следующих научных конференциях:

российско-французская конференция "Lyapunov Exponents and Related Topics in Dynamics and Geometry" в Независимом Московском Университете (2005г.);

конференция "Современные проблемы математики, механики и приложений посвященной 110-летию со дня рождения И. Г. Петровского" (МГУ, 2011г.);

международная конференция по математической теории управления и

механике (Суздаль, 2011г.);

международная конференция анализ и особенности, посвященная 75-летию со дня рождения В. И. Арнольда ( Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2012г.);

Научная конференция "Ломоносовские чтения" в МГУ (2013г.).

Публикации. Основное содержание диссертации представлено в 10 личных и одной совместной работе, опубликованных в журналах, входящих в официальный перечень ВАК.

Полный список работ приведен в конце автореферата. Основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из 217 страниц текста, из которых 13 отведено на библиографию. Структура диссертации включает введение, четыре главы, разбитые на 14 параграфов, заключение, предметный указатель и список литературы, включающий 118 наименований.

Обзор результатов диссертации.

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цели и задачи исследования, показаны научная новизна и практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

Глава 1.

В этой главе определяются рассматриваемые объекты, устанавлива-

ются связи между типичными свойствами в различных метрических пространствах, вводится полная метрика для пространств перемешивающих СОдействий, то есть исследуются вопросы I и II.

Под преобразованием в работе понимается обратимое сохраняющее меру преобразование пространства Лебега с непрерывной нормированной мерой. Множество всех таких преобразований обозначим через А.

Преобразование Т называется перемешивающим (или перемешиванием,), если для любых измеримых множеств А, В и е > 0 существует число п € N такое, что

(Т9А Г) В) — ц (Л) [I {В) | < е,

при всех \д\ > п.

Действием Т группы § называется отображение д м- Тд из <3 в А, сохраняющее групповую структуру и такое, что для любых измеримых множеств А и В отображение д ^ ¡1 (Т9А П В) непрерывно. В разных частях работы рассматриваются действия различных групп и условия, наложенные на группы, будут сформулированы несколько позднее.

Действие Т называется перемешивающим на неограниченном множестве Г С С/, если для любых измеримых множеств А, В и е > 0 существует ограниченное множество С С Я такое, что

при всех д £ Г\С. Если в качестве Г можно взять всю группы С/, то действие Т называется перемешивающим.

На протяжении работы изучаются следующие пространства:

• множество А всех обратимых сохраняющих меру преобразований пространства Лебега;

• множество Л4 всех обратимых сохраняющих меру перемешивающих преобразований;

• множество Дд действий группы <3, то есть непрерывных отображений О в А, сохраняющих групповую структуру;

• множество Л4д перемешивающих действий группы С/;

• множество Л4д}г действий группы перемешивающих на неограниченном множестве Г.

После введения основных понятий изучаются топологии и метрики рассматриваемых пространств. Изучаются две метризуемых топологии: слабая топология, введенная П. Халмошем и поводок-топология, введенная диссертантом. Для определения соответствующих метрик фиксируется счетное плотное подмножество {Д} сг-алгебры измеримых множеств (плотность озна,-чает, что для любых измеримого множества А и числа е > 0, найдется такой номер г, что /1 (А Д Аг) < е). Слабая топология в пространстве А задается любой из метрик

Относительно метрики с! множество А является польским пространством, относительно метрики а множество А не полно.

Для поводок-топологии также рассматриваются две метрики: метрика \\< задается формулой

(! (Т, 5) = ^ (ц (ТАг Д 5Д) + ¡1 (Т"Ч А 5"Ч))

или

ТУ (Г, 5) = яира (Т9,Зд),

деп

а поводок-метрика ш — формулой

ш (Г, 5) = с1 (Г, 5) + w (Г, 5).

Множество Л4 перемешивающих преобразований является подмножеством А и на него индуцируются все приведенные метрики и топологии.

Основным результатом здесь является решение задачи 1:

Теорема 1.1. Множество Л4 с метрикой ш является польским пространством.

Заметим, также, что относительно метрик а,с1,\Аг множество Л4 не полно, более того, по теореме Александрова об абсолютной (2,5[54], множество Л4 не может быть полным пространством, относительно любой метрики, порождающей слабую топологию. Поводок-топология имеет два важных качества: она сравнима со слабой топологией (точнее, она сильнее чем слабая топология) и множество Л4 с этой топологией является сепарабельным пространством. Эти качества позволяют считать введение поводок-топологии разумным шагом для изучения перемешивающих преобразований.

Введенные понятия обобщаются на случай локально-компактных некомпактных хаусдорфовых групп со счетной базой окрестностей. Для этого фиксируется покрытие множества образующих группы не более чем счетной системой компактов {Кг}.

Метрика слабой топологии с1 в пространстве Ад задается формулой

Таким образом, метрика слабой топологии в пространстве Ад определяется с помощью метрики слабой топологии, взятой из пространства А. Задать слабую топологию можно также с помощью метрики

Метрика w определяется формулой

w (Т, S) = sup а (Т9, S9), g&Q

а формула для поводок-метрики m не меняется. Пространства Ад и Л4д являются польскими относительно метрик d и m соответственно.

Если Г — неограниченное подмножество Q, то в Л4д;г также можно ввести поводок-топологию, задаваемую любой из метрик

w (Г, S) = а (Г, S) + sup а (Т9, S9)

ser

и

m (Т, 5) = d (Т, 5) + w (Т, 5).

Следующая теорема дает ответ на вопрос I в групповой формулировке:

Теорема 1.3. Л4др является польским пространством относительно метрики т.

Результаты для пространств А и Ад не являются новыми (хотя, некоторые из них можно найти в литературе лишь в виде упоминаний) и в общих чертах известны с 60-х годов прошлого века. Результаты, связанные с поводок-метрикой, получены автором [111, 112, 113, 110, 47].

Еще одна тема, рассматриваемая в первой главе, — связь между типичными свойствами в различных польских пространствах. Она изучается в §1.5. Напомним, что множество в польском пространстве называется массивным, если оно является счетным пересечением всюду плотных открытых множеств и существенным, если оно содержит массивное подмножество. Дополнение существенного множества называется тощим множеством. Свойство называется типичным, если оно выполнено для элементов существенного множества.

В пункте 1.5.1 рассматриваются связи между типичностью в польском пространстве и некотором его подпространстве. Точнее, рассмотрим пару

(Л,М!), где Л — полное метрическое пространство, относительно метрик с!' и т', а М' — его подпространство, полное относительно метрики гп; пара (Д',.М') обладает свойством В, если для любых Т £ Л4', 5 € Л и е > О найдется Р е М' такое, что <!' (5, Р) < е и т (Г, Р) < т (Т, 5) + е.

Теорема 1.4. Пусть пара (Л,М!) удовлетворяет условию В и {V;} — счетный набор Сподмножеств Л, замыкание каждого из которых в т-метрике содержит Л4'. Тогда пересечение П; И П М! — массивное подмножество Л4'.

Как показано в дальнейшем, свойство В выполнено для пары (А, Л4) и, при некоторых условиях на Я и Г, для пар (Ад,Л4д) и (Ад,г,-М.д,г) (с естественными метриками этих пространств с1 и т). Таким образом, ко всем этим, парам применима теорема 1.4.

В пункте 1.5.2 приводятся примеры типичных и нетипичных свойств преобразований. Эти результаты получены различными авторами в разное время; приведены ссылки на соответствующие работы. В дальнейшем они используются для доказательства аналогичных утверждений для действий группы Ъп.

В пункте 1.5.3 также рассматривается связь между типичными свойствами в польских пространствах, но в отличии от пункта 1.5.1 никаких условий на используемые метрики не накладывается. Для этого вводится следующее понятие: непрерывное отображение у называется сохраняющим типичность, если полный прообраз и полный образ каждого существенного множества при отображении у также является существенным множеством. Будем говорить, что польское пространство В обладает свойством плотности образов (СПО), если существует счетный набор {Д-} гомеоморфизмов В в себя таких, что для типичного Ь 6 В множество {РФ} всюду плотно в В. В этом случае В будем называть СПО-пространством, а набор гомеоморфизмов {/%} выделенным. Мы доказываем (теорема 1.5), что для сохранения типичности

непрерывным отображением v : В —» С двух СПО-пространств с выделенными множествами гомеоморфизмов {/Зг} и {7г}, достаточно выполнения следующих условий:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тихонов, Сергей Викторович, 2013 год

Литература

[1] Ageev O. N. On ergo die transformations with homogeneous spectrum // JDCS. 1999. - Vol. 5. - P. 149-152.

[2] Ageev O. N. The homogeneous spectrum problem in ergodic theory // Invent. Math. - 2005. - Vol. 160. - P. 417—446.

[3] Ageev O.N. Spectral Rigidity of Group Actions: Applications to the Case gr < t,s-,ts = st2 > // Proc. Amer. Math. Soc.— 2006.— Vol. 134,— P. 1331-1338.

[4] Ageev O. N. On extensions of typical group actions // arXiv preprint arXiv:1212.2660. — 2012. — URL: http://arxiv.org/abs/1212.2660.

[5] Anzai H. Ergodic skew product transformations on the torus // Osaka Math. J. - 1951. - Vol. 3, no. 1. - P. 83-99.

[6] Danilenko A.I. (C, F)-Actions in Ergodic Theory // Geom.&Dynamics of Groups h Spaces, Progress in Mathematics. — 2008. — Vol. 265. — P. 325-351.

[7] Danilenko A. I. Explicit solution of Rokhlin's problem on homogeneous spectrum and applications // Ergodic Theory and Dynamical Systems. — 2006.- Vol. 26, no. 5.- P. 1467-1490.

[8] Danilenko A. I. On new spectral multiplicities for ergodic maps // Studia. Math. - 2010. - Vol. 197. - P. 57-68.

[9] Danilenko A I. New spectral multiplicities for mixing transformations // Ergodic Theory and Dynamical Systems.— 2012,— Vol. 32, no. 02,— P. 517-534.

[10] Danilenko A. I., Lemariczyk M. Spectral multiplicities for ergodic flows // arXiv preprint arXiv: 1008.4845. — 2010.— URL: http://arxiv.org/ abs/1008.4845.

[11] Danilenko A. I., Ryzhikov V. V. Spectral multiplicities for infinite measure preserving transformations // Funct. Anal. Appl. — 2010.— Vol. 44.— P. 161-170.

[12] Danilenko A. I., Ryzhikov V. V. Mixing constructions with infinite invariant measure and spectral multiplicities // Ergod. Th. & Dyn. Syst.— 2011. - Vol. 31. - P. 853-873.

[13] Danilenko A. I., Ryzhikov V. V. On self-similarities of ergodic flows // Proc. of the London Math. Society. — 2012. — Vol. 104, no. 3. — P. 431454,— URL: http://plms.oxfordjournals.Org/content/104/3/431. short.

[14] Danilenko A. I., Solomko A. V. Ergodic Abelian actions with homogeneous spectrum // Contemp. Math.—2010. —Vol. 532.—P. 137-149.

[15] Del Junco A. Disjointness of measure-preserving transformations, minimal self-joinings and cathegory // Progress in Math.10.— 1981. — Vol. 10.— P. 81-89.

[16] Foreman M., Weiss B. An anti-classification theorem for ergodic measure preserving transformations //J. Eur. Math. Soc. — 2004.— Vol. 6.— P. 277-292.

[17] Furstenberg H. Disjointness in ergodic theory, minimal sets, and a problem in Deophantine approximation // Math. Syst. Theory. — 1967. — Vol. 1,- P. 1-49.

[18] Glasner E., King J. L. A zero-one law for dynamical properties // Contemporary Mathematics. - 1998.-Vol. 215.- P. 231-242.

[19] Glasner S., Thouvenot J.-P., Weiss B. Every countable group has the weak Rokhlin property // Bull, of the London Math. Soc.— 2006.— Vol. 38, no. 6. - P. 932-936.

[20] Halmos P. In general a measure preserving transformation is mixing // Trans. Amer. Math. Soc. - 1944,- Vol. 55, no. 1,- P. 1-18.

[21] Host B. Mixing of all orders and pairwise independent joinings of systems with singular spectrum // Isr. J. Math. - 1991,- Vol. 76. — P. 289-298.

[22] Kalikow S.A. Twofold mixing implies threefold mixing for rank one transformations // Ergod. Th. Dynam. Sys. - 1984. - Vol. 4. — P. 237-259.

[23] Katok A., Lemanczyk M. Some new cases of realization of spectral multiplicity function for ergodic transformations // Fund. Math. — 2009.— Vol. 206.-P. 185-215.

[24] Katok A. B. The special representation theorem for multi-dimensional group actions // Dynamical Systems I, Warsaw, Astérisque.— 1977.— Vol. 49.- P. 117-140.

[25] Katok A. B. Combinatorial constructions in ergodic theory and dynamics,. University Lecture Series no. 30.— RI : Amer. Math. Soc., Providence, 2003.

[26] King J. L. The commutant in the weak closure of the powers, for rank-1 transformations // Ergodic th. and Dyn. Syst.— 1986.— Vol. 6.— P. 363-384.

[27] King J. L. F. The generic transformation has roots of all orders // Col. Math. - 2000. - Vol. 84/85, no. 2. - P. 521-547.

[28] Konev R.A., Ryzhikov V.V. On spectral multiplicities {2,4, ...,2n} for totally ergodic Z2-actions // arXiv preprint arXiv:1212.5135. — 2012.— URL: http: //arxiv. org/abs/1212. 5135.

[29] Kwiatkowski(jr) J., Lemanczyk M. On the multiplicity function of ergodic group extensions. II // Studia Math. - 1995,- Vol. 116,- P. 207-215.

[30] Ledrappier F. Un champ markovien peut être d'entropie nulle et mélangeant // C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B.- 1978, - Vol. 287, no. 7. — P. A561—A563.

[31] Lemanczyk M., Junco A. Del. Generic spectral properties of measure-preserving maps, and applications // Proc. of AMS.— 1992. — Vol. 115, no. 3,- P. 725-736.

[32] Marcus B. The horocycle flow is mixing of all degrees // Inv. Math.— 1978. - Vol. 46. - P. 201-209.

[33] Melleray J. Extensions of generic measure-preserving actions // arXiv preprint arXiv: 1201.4447. — 2012,— URL: http://arxiv.org/abs/ 1201.4447.

[34] Melleray J., Tsankov T. Generic representations of abelian groups and extreme amenability // arXiv preprint arXiv: 1107.1698. — 2011.— URL: http://arxiv.org/abs/1107.1698.

[35] Mozes S. Mixing of all orders of Lie group actions // Invent. Math.— 1992.-Vol. 107.-P. 235-241.

[36] Ornstein D. S., Weiss B. Entropy and isomorphism theorems for actions of amenable groups // Journal d'Analyse Mathématique. — 1987.— Vol. 48, no. 1.— P. 1-141.— URL: http://www.springerlink.com/ index/7p0r815012335131.pdf. ,

[37] Oxtoby J., Ularn S. Measure-preserving homeomorphisms and metrical transitivity // Ann. of Math. — 1941. — Vol. 42, no. 2, — P. 874-920.

[38] Robinson E. A. Ergodic measure-preserving transformations with arbitrary finite spectral multiplicities // Invent. Math. — 1983. — Vol. 72. — P. 299-314.

[39] Robinson E. A. Mixing and spectral multiplicities // Ergod. Th. h Dynam. Sys. - 1985. - Vol. 5. - P. 617-624.

[40] Rudolph D.J. An example of a measure-preserving map with minimal self-joinings and applications // J.Anal.Math. — 1979. — Vol. 35. — P. 97-122.

[41] Rue T. De La, Lazaro J. De Sam. Une transformation générique peut être insérée dans un flot // Annalles de l'IHP. — 2003. — Vol. 39, no. 1. — P. 121-134.

[42] Ryzhikov V. V. Homogeneous spectrum, disjointness of convolutions, and mixing properties of dinamical sytems // Selected Russian Math. — 1999.-Vol. 1, no. l.-P. 13-24.

[43] Ryzhikov V. V. Transformations having homogeneous spectra // JDCS. — 1999.— Vol. 5, no. 1.— P. 145-148.— URL: http://link, springer. com/article/10.1023/A:1021748902318.

[44] Stepin A.M. Les spectres des systèmes dynamiques // Actes du Congr. Inter, des Math.(Nice, 1970), Tome. - 1970.- Vol. 2,- P. 941-946.

[45] Stepin A.M. Amenability and ergodic property of transformations group // Operator algebras and group representations: proceedings of the international conference held in Neptun (Romania) September 113, 1980.— Vol. 2 of Monographs and studies in mathematics, 17-18. — Boston : Pitman Advanced Pub. Program, 1984.— P. 151-162.

[46] Stepin A. M. New versions of the approximations method // International conference "Modern Theory of Dynamical Systems and Applications to Theoretical Celestial Mechanics" dedicated to the memory and the 70th birthday of V. M. Alekseyev (1932 - 1980), Moscow State University, Steklov Institute of Mathematics, Center for Dynamical Systems at PENN State, Moscow, December 23-28. — M. : MSU, 2002, — P. 30-31.

[47] Tikhonov S.V. Complete metric on actions of general groups // JDCS. — 2013.-Vol. 19, no. l.-P. 17-31.

[48] Yassawi R. A. Multiple Mixing of Local Rank Group Actions. — McGill University, 1998.

[49] Агеев О. H. Динамические системы с четнократной лебеговской компонентой в спектре // Матем.сборник. - 1988. - Т. 136, № 3. - С. 307-319.

[50] Агеев О. Н. О сопряженности группового действия своему обратному // Матем. заметки. - 1989. - Т. 45, № 3. - С. 3-11.

[51] Агеев О. Н. Динамические системы с произвольной функцией кратности спектра // УМН. - 1998. - Т. 53, №- 5. - С. 223-224.

[52] Агеев О. Н. Типичный автоморфизм пространства Лебега сопряжен с G-расширением для любой конечной абелевой группы G // ДАН.— 2000. - Т. 374, № 4. - С. 439-442.

[53] Агеев О. Н. О типичности некоторых неасимптотических динамических свойств // УМН. - 2003. - Т. 58, № 1. - С. 177-178.

[54] Александров П.С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности.— Москва : Наука, 1973.

[55] Аносов Д. В. О спектральных кратностях в эргодической теории. — МИ-АН, М., 2003. - Т. 3 из Совр. пробл. матем. - С. 86.

[56] Аносов Д. В., Каток А. Б. Новые примеры эргодических диффеоморфизмов гладких многообразий // УМН,— 1970,— Т. 25, № 4(154).— С. 173-174.

[57] Баштанов А. И. Свойство почти независимости образов для эргодических преобразований без частичной жесткости // Дифференциальные уравнения и топология. II. - МАИК, 2010. - Т. 271. - С. 29-39.

[58] Баштанов А. И. Типичное перемешивание имеет ранг 1 // Матем. заметки. - 2013. - Т. 93, № 2. - С. 163-171.

[59] Гирсанов И. В. О спектрах динамических систем, порождаемых гаус-совскими стационарными процессами // ДАН СССР. — 1958.— Т. 119, № 5. - С. 851-853.

[60] Гуревич А. А., Рохлин В А. Аппроксимационные теоремы для измеримых потоков // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1950. - Т. 14, № 6. -С. 537-548.

[61] Каток А. Б. Энтропия и аппроксимации динамических систем периодическими преобразованиями // Функц. анализ и его прил. — 1967. — Т. 1, X® 1. — С. 75-85.

[62] Каток А. Б., Синай Я. Г., Степин А. М. Теория динамических систем и общих групп преобразований с инвариантной мерой // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. - 1975. - Т. 13. - С. 129-262.

[63] Каток А. Б., Степин А. М. Об аппроксимациях эргодических динамических систем периодическими преобразованиями // ДАН СССР. — 1966. - Т. 171, № 6. - С. 1268-1271.

[64] Каток А. Б., Степин А. М. Аппроксимации в эргодической теории /7 УМН. - 1967. - Т. 22, № 5. - С. 81-106.

[65] Каток А. Б., Степин А. М. Метрические свойства гомеоморфизмов, сохраняющих меру // УМН. - 1970. - Т. 25, № 2(152). - С. 193-220.

[66] Качуровский А. Г. Скорости сходимости в эргодических теоремах // Успехи мат. наук. - 1996. - Т. 51, № 4. - С. 73-124.

[67] Куратовский К. Топология. — Москва : Мир, 1966. — Т. 1.

[68] Леонов В. П. Применения характеристических функционалов и семиинвариантов в эргодической теории стационарных процессов // ДАН СССР. - 1960. - Т. 133, № 3-С. 523-526.

[69] Окстоби Д. Мера и категория. Современная математика. — М. : Мир, 1974.

[70] Оселедец В. И. О спектре эргодических автоморфизмов // ДАН СССР. - 1966. - Т. 168. - С. 1009-1011.

[71] Оселедец В. И. Автоморфизм с простым и непрерывным спектром без группового свойства // Матем. заметки. — 1969. — Т. 5, № 3. — С. 323-326.

[72] Оселедец В. И. Пример двух неизоморфных систем с одинаковым простым сингулярным спектром // Функц. анализ и его прил. — 1971. — Т. 5, № 3. - С. 75-79.

[73] Рохлин В. А. Общие преобразования с инвариантной мерой не есть перемешивание // ДАН СССР. - 1948. - Т. 60, № 3. - С. 349-351.

[74] Рохлин В. А. Избранные вопросы метрической теории динамических систем // УМН. - 1949. - Т. 30, № 2. - С. 57-128.

[75] Рохлин В. А. Об основных понятиях теории меры // Матем. сборник. — 1949. - Т. 25, № 67. - С. 107-150.

[76] Рохлин В. А. Об эндоморфизмах компактных коммутативных групп // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1949. - Т. 13, № 4. - С. 329-340.

[77] Рохлин В. А. Об энтропии метрического автморфизма // ДАН СССР. — 1959. - Т. 124, № 5. - С. 980-983.

[78] Рохлин В. А. Новый прогресс в теории преобразований с инвариантной мерой // УМН. - 1960. - Т. 15, № 4(94). - С. 3-26.

[79] Рохлин В. А. Лекции по энтропийной теории преобразований с инвариантной мерой // УМН. - 1967. - Т. 22,5, № 137. - С. 4-56.

[80] Рохлин В. А., Фомин С. В. Спектральная теория динамических систем 3. - М.: АН СССР, 1956. - Т. 3. - С. 284-292.

[81] Рыжиков В. В. Связь перемешивающих свойств потока с изоморфизмом входящих в него преобразований // Матем. заметки. — 1991. — Т. 49, № 6. - С. 98-106.

[82] Рыжиков В. В. Перемешивание, ранг и минимальное самоприсоединение действий с инвариантной мерой // Матем. сб. — 1992. — Т. 183, № 3. - С. 133-160.

[83] Рыжиков В. В. Джойнинги и кратное перемешивание действий конечного ранга // Функц. анализ и его прил. — 1993. — Т. 27, № 2. — С. 63-78.

[84] Рыжиков В. В. Сплетения тензорных произведений и стохастический централизатор динамических систем // Матем. сб. — 1997. — Т. 188, № 2. - С. 67-94.

[85] Рыжиков В. В. Проблема Рохлина о кратном перемешивании в классе действий положительного локального ранга / / Функц. анализ и его прил. - 2000. - Т. 34, № 1. - С. 90-93.

[86] Рыжиков В. В. Факторы, ранг и вложение типичного Хп-действия в Мп-поток // УМН. - 2006. - Т. 61, № 4. - С. 197-198.

[87] Рыжиков В. В. Слабые пределы степеней, простой спектр симметрических произведений и перемешивающие конструкции ранга 1 // Матем. сб. - 2007. - Т. 198, № 5. - С. 137-159.

[88] Рыжиков В. В. Попарная е-независимость множеств ТгА для перемешивающего преобразования Т // Функц. анализ и его прил. — 2009. — Т. 43, № 2,- С. 88-91.

[89] Рыжиков В. В. Спектральные кратности и асимптотические операторные свойства действий с инвариантной мерой // Матем. сб. — 2009.— Т. 200, № 12. - С. 107-120.

[90] Рыжиков В. В. Простой спектр тензорного произведения степеней перемешивающего автоморфизма // Тр. ММО. — 2012,— Т. 73, № 2,— С. 229-239.

[91] Синай Я. Г. Несколько замечаний о спектральных свойствах эргодиче-ских динамических систем // УМН. — 1963. — Т. 18, № 5. — С. 41—54.

[92] Синай Я. Г. О свойствах спектров эргодических динамических систем // Докл. АН СССР. - 1963. - Т. 150, № 6. - С. 1235-1237.

[93] Старков А. Н. О кратном перемешивании однородных потоков. // ДАН СССР. - 1993. - Т. 333, № 1. - С. 28-31.

[94] Степин А. М. О свойствах спектров эргодических динамических систем с локально компактным временем // Докл. АН СССР. — 1966. — Т. 169, № 4. - С. 773-776.

[95] Степин А. М. О квадратных корнях из метрических автоморфизмов // ДАН. - 1967. - Т. 176, № 5. - С. 1023-1026.

[96] Степин А. М. Спектр и аппроксимации метрических автоморфизмов периодическими преобразованиями // Функц. анализ и его прил. —

1967,- Т. 1, № 2,- С. 77-80.

[97] Степин А. М. Применение метода периодических аппроксимаций в спектральной теории динамических систем : р1кйЬе818 / А. М. Степин. —

1968.

[98] Степин А. М. Об энтропийном инварианте убывающих последовательностей измеримых разбиений // Функц. анализ и его прил. — 1971. — Т. 5, № 3. - С. 80-84

[99] Степин А. М. О связи аппроксимативных и спектральных свойств метрических автоморфизмов // Матем. заметки. — 1973. — Т. 13, № 3. — С. 403-409.

[100] Степин А. М. Аппроксимируемость групп и групповых действий // УМН. - 1983. - Т. 38, № 6(234). - С. 123-124.

[101] Степин А. М. Замечания об аппроксимациях групп // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. — 1984. — № 4. — С. 201-204.

[102] Степин А. М. Спектральные свойства типичных динамических систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1986. - Т. 50, № 4. - С. 801-834.

[103] Степин А. М. Новый прогресс в эргодической теории аппроксимаций // Колмогоров и современная математика. Тезисы докладов. — М. : МГУ, 2003. - С. 802.

[104] Степин А. М., Еременко A.M. Неединственность включения в поток и обширность централизатора для типичного сохраняющего меру преобразования // Матем.сборник. - 2004. - Т. 195, № 12. - С. 95-108.

[105] Степин А. М., Еременко A.M. Типичное сохраняющее меру преобразование имеет обширный централизатор /7 ДАН. — 2004. — Т. 394, № 6. — С. 739-742.

[106] Степин А. М., Тихонов С. В. Замечания об изожесткости, централизаторах и спектральной эквивалентности в эргодической теории // Матем. заметки - 2007. - Т. 81, № 2. - С. 314-316.

[107] Тихонов С. В. О связи метрических и спектральных свойств Zd-действий // Фундам. и прикл. математика. — 2002.— Т. 8, № 4.— С. 1179-1192.

[108] Тихонов С. В. Типичное действие группы Zd вкладывается в действие группы Rd // ДАН. - 2003. - Т. 391, № 1. - С. 26-28.

[109] Тихонов С. В. Вложение действий евклидовой решетки в потоки с многомерным временем // Матем. сб. - 2006,- Т. 197, № 1,- С. 97-132.

[110] Тихонов С. В. Полная метрика во множестве перемешивающих преобразований // Матем. сб. - 2007. - Т. 198, № 4. - С. 135-158.

[111] Тихонов С. В. Полная метрика на множестве перемешивающих преобразований // УМН. - 2007. - Т. 62, № 1. - С. 209-210.

[112] Тихонов С. В. Однородный спектр и перемешивающие преобразования // ДАН. - 2011. - Т. 436, № 4. - С. 448-451.

[113] Тихонов С. В. Перемешиващие преобразования с однородным спектром // Матем. сб. - 2011. - Т. 202, № 8. - С. 139-160.

[114] Тихонов С. В. Проблемы Рохлина и перемешивающие групповые действия // Международная конференция, посвященная 110-й годовщине со дня рождения И.Г. Петровского. Тезисы докладов. — Новые печатные технологии., 2011.— С. 363-364.

[115] Тихонов С. В. Бернуллневские сдвиги и свойство локальной плотности // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика.— 2012,— № 1. - С. 31-37.

[116] Тихонов С. В. Методы построения перемешивающих действий и преобразований // Международная конференция "Анализ и особенности посвященная 75-летию со дня рождения В.И. Арнольда. Тезисы докладов. - МИАН, 2012. - С. 108-109.

[117] Халмош П. Р. Лекции по эргодической теории,— Москва : Изд. Иностр.Литературы, 1959.

[118] Юзвинский С. А. О метрических автоморфизмах с простым спектром // ДАН СССР. - 1967. - Т. 172, № 5. - С. 1036-1038.