Интегральные преобразования, связанные с финитными функциями, в спектральном анализе моделей сигналов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Риков, Евгений Александрович

• Риков, Евгений Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Риков, Евгений Александрович

ВВЕДЕНИЕ.

1. Аналитический обзор.

2. Интегральные ОФФ^-, КОФФ^-, В^- и

О^-преобразования.

2.1. Интегральное ОФФ-преобразование

2.1.1. Свойства интегрального ОФФ-преобразования.

2.2. Интегральные ОФФ ^-преобразования.

2.3. Интегральные КОФФ^ -преобразования.

2.4. Интегральные В^- и -преобразования.

3. Исследования интегральных ОФФ^-, КОФФ^-, ВМ-, КВ^-преобразований.

3.1. Анализ ОФФ(,и)-, КОФФМ-, В-спектров.

3.2. Результаты анализа спектров.

4. Анализ временных метеорологических рядов.

4.1. Процесс Южное Колебание - Эль-Ниньо.

4.2. Анализ временных метеорологических рядов.

5. Программа TRANSFORM.

5.1. Описание программы.

5.2. Инструкция по применению программы.

5.3. Исходный текст программы.

ВЫВОДЫ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегральные преобразования, связанные с финитными функциями, в спектральном анализе моделей сигналов»

Ряды и интегралы Фурье - классические средства спектрального анализа [1], позволяющие выделять присутствующие в математической модели сигнала гармоники и отдельные всплески. Они имеют существенный недостаток [2] - сложность алгоритмов извлечения информации о наличии в математической модели сигнала высокочастотных пульсаций с коротким сроком их действия, то есть информации о детальной структуре сигнала. Анализ Фурье в случае, когда в сигнале возникают (или исчезают) некоторые гармонические составляющие или частота плавно изменяется с течением времени, также дает неудовлетворительные результаты. Вейвлет-анализ [2, 3] спектра сигналов не имеет этих недостатков и является важнейшим средством спектрального анализа. Развитие этого направления -создание новых средств спектрального анализа, не имеющих подобно интегральным вейвлет-преобразованиям указанных недостатков анализа Фурье и отличающихся от вейвлет-преобразования более простыми алгоритмами реализации, является актуальной задачей.

В [4, 5, 6] предлагаются сеточные ортогональные базисные функции с конечными носителями, которые обладают рядом свойств вейвлетов, имеют более простую по сравнению с вейвлетами структуру и являются основой для построения интегральных преобразований более эффективных по сравнению с вейвлет-преобразованиями в спектральном анализе моделей сигналов.

Цель работы. Целью диссертационной является получение интегральных преобразований, основанных на использовании ортогональных финитных функций [4, 5, 6] и В -сплайнов, исследование их эффективности в спектральном анализе математических моделей сигналов.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

- получение интегральных преобразований, основанных на использовании сеточных вещественных финитных функций (ортогональных финитных функций и В -сплайнов) различных степеней;

- построение комплексных финитных функций на основе вещественных финитных функций;

- создание с помощью комплексных финитных функций систем сеточных комплексных ортогональных финитных функций (КОФФ), исследование их ортогональности и аппроксимирующих свойств;

- моделирование сигналов с помощью ортогональных финитных функций;

- получение интегральных преобразований, основанных на использовании сеточных комплексных ортогональных финитных функций и разработка связанных с ними алгоритмов численных методов спектрального анализа сигналов;

- создание на базе полученных в работе теоретических результатов программы Transform реализации численных методов спектрального анализа сигналов;

- исследование эффективности численных алгоритмов, определяемых новыми интегральными преобразованиями, полученными на основе использования комплексных и действительных финитных функций, в спектральном анализе тестовых математических моделей сигналов и при исследовании моделей реальных сигналов.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы математического анализа, функционального анализа, теории аппроксимации, математического моделирования, линейной алгебры, вычислительной математики. Для программной реализации численных методов спектрального анализа сигналов использован язык программирования Object Pascal и среда разработки программ Delphi 6.0.

Достоверность результатов. Достоверность результатов диссертации обеспечивается строгостью формулировок теоретических положений и их математических доказательств, а также проверкой адекватности полученных теоретических результатов на основе численных расчетов. Достоверность подтверждается сравнением результатов численных расчетов с аналогичными результатами, полученными в работах других авторов.

Научная новизна. В результате выполненной научной работы:

- получены сеточные комплексные финитные функции, основанные на вещественных финитных функциях, исследованы их ортогональность и аппроксимирующие свойства;

- разработана методика математического моделирования сигналов с помощью ОФФ и КОФФ;

- построены на основе комплексных и действительных финитных функций прямые и обратные интегральные преобразования, которые по структуре и способам получения отличаются от комплексных и действительных прямых и обратных интегральных вейвлет-преобразований;

- изучены основные свойства полученных интегральных преобразований, которые подобны аналогичным свойствам интегральных вейвлет-преобразований;

- показана более высокая эффективность новых интегральных преобразований в спектральном анализе моделей сигналов по сравнению с интегральными вейвлет-преобразованиями.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее практическая ценность определяется тем, что полученные теоретические результаты могут быть использованы в построении математических моделей сигналов различного физического происхождения и в их спектральном анализе.

На защиту выносятся:

- построение сеточных комплексных финитных функций, основанных на вещественных финитных функциях, исследование ортогональности и аппроксимирующих свойств КОФФ;

- создание методики математического моделирования сигналов, основанной на использовании ОФФ и КОФФ;

- разработка и исследование интегральных преобразований, связанных с комплексными и действительными финитными функциями;

- программа Transform компьютерной реализации численных методов спектрального анализа сигналов, основанных на полученных в работе теоретических результатах;

- исследование эффективности новых численных методов спектрального анализа сигналов при решении тестовых задач, подтверждающее достоверность созданных в диссертации теоретических основ и показывающее более высокую эффективность новых интегральных преобразований в спектральном анализе моделей сигналов по сравнению с интегральным преобразованием Фурье и интегральными вейвлет-преобразованиями;

- исследование эффективности полученных интегральных преобразований в спектральном анализе реальных метеорологических сигналов, заданных в цифровой форме.

Апробация работы и публикации. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

- Шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия) (Сочи, 2005 г.);

- Международной конференции «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике», секции «Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники» (Ульяновск, 2005 г.);

- Шестой Международной конференции «Математическое моделирование физических, технических, экономических социальных систем и процессов» (Ульяновск: УлГУ, 2005 г.);

- Седьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) (Кисловодск, 2006 г.);

- VII Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2006 г.);

- Международной конференции «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике», секции «Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники» (Ульяновск, 2006 г.), а также на научных семинарах Ульяновского государственного университета и Ульяновского государственного технического университета,

Личный вклад автора. Постановка задач осуществлялась научным руководителем, д.ф-м.н., профессором B.JI. Леонтьевым. Построение комплексных ортогональных финитных функций различных порядков на основе действительных ортогональных финитных функций, исследование их свойств, доказательства теорем, разработка программы Transform, проведение расчетов и анализ полученных результатов выполнены автором самостоятельно.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ [7-17] (3 работы в журналах из списка ВАК).

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, выводов, списка литературы из 94 наименований и 4 приложений. Общий объем диссертации составляет 162 страницы (основной текст -110 страниц). Работа содержит 166 рисунков, 3 таблицы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Риков, Евгений Александрович

выводы

1. Получены сеточные комплексные финитные функции, основанные на вещественных финитных функциях, показана их ортогональность, исследованы аппроксимирующие свойства.

2. Создана методика математического моделирования сигналов с использованием ортогональных финитных функций.

3. Построены новые интегральные преобразования, связанные с комплексными и действительными финитными функциями и определяющие алгоритмы численных методов спектрального анализа сигналов.

4. Изучены основные свойства полученных интегральных преобразований, которые подобны аналогичным свойствам интегральных вейвлет-преобразований.

5. С помощью разработанных численных методов спектрального анализа сигналов и реализующей их программы Transform показана более высокая эффективность новых интегральных преобразований в спектральном анализе моделей тестовых и реальных сигналов по сравнению с интегральными вейвлет-преобразованиями.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Риков, Евгений Александрович, 2006 год

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: Наука, 1970, т. 3. - 656 с.

2. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 464 с.

3. Короновский A.A., Храмов А.Е. Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 176 с.

4. Леонтьев В.Л. Ортогональные финитные функции и численные методы. Ульяновск: УлГУ, 2003. - 178 с.

5. Леонтьев В.Л. Об ортогональных финитных функциях и о численных методах, связанных с их применением // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2002, т. 9, в. 3. с. 497-504.

6. Леонтьев В.Л., Риков Е.А. Интегральные ОФФ-преобразования, связанные с ортогональными финитными функциями, в задачах спектрального анализа сигналов // Ученые записки УлГУ. Ульяновск: УлГУ. 2005.-с. 59-65.

7. Леонтьев В.Л., Риков Е.А. О переходе от дискретного обратного ОФФ-преобразования к интегральному // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: Редакция журнала «ОПиПМ», 2005, т. 12, в. 4.-с. 1025-1027.

8. Леонтьев В.Л., Риков Е.А. Обратные интегральные преобразования, связанные с ортогональными финитными функциями различных степеней // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: Редакция журнала «ОПиПМ», 2006, т. 13, в. 4, - с. 667-668.

9. Леонтьев В.Л., Риков Е.А. Обратное интегральное ОФФ-преобразование // Труды Шестой Международной конференции "Математическое моделирование физических, технических, экономических, социальных систем и процессов". Ульяновск: УлГУ, 2005. -с. 66-69.

10. Леонтьев В.Л., Риков Е.А. Интегральные ОФФ-преобразования в задачах моделирования сигналов // Труды Второй Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара, 1-3 июня 2005 г., часть 2. - с. 168-170.

11. Леонтьев В.Л., Риков Е.А. Интегральные преобразования, связанные с ортогональными финитными функциями, в задачах спектрального анализа математических моделей сигналов // Математическое моделирование, 2006, т. 18, №7. с. 93-100.

12. Крашенинников В.Р. Основы теории обработки изображений: Учебное пособие. Ульяновск: УлГТУ, 2003. - 150 с.

13. Васильев К.К., Крашенинников В.Р., Синицын И. Н., Синицын В. И. Представление и быстрая обработка многомерных изображений // Наукоемкие технологии, 2002, т. 3. с. 4-24.

14. Калинов Д.В., Крашенинников В.Р., Панкратов Ю.Г. Фильтрация речевых сигналов // Труды Ульяновского научного центра «Ноосферные знания и технологии» РАЕН, Ульяновск, 2001, т. 3, вып. 1. -с. 76-78.

15. Dudgeon D.E., Mersereau R.M. Multidimensional digital signal processing. Prentice-Hall, Inc.,Englewood Cliffs, 1984.-488 p.

16. Журавлев B.M., Дворянинов Г.С., Прусов A.B. Метод максимальной энтропии в многомерном спектральном анализе (Часть 1. Теория, тесты). Препринт, МГИ АН УССР, 1987. - 45 с.

17. Журавлев В.М., Дворянинов Г.С., Прусов А.В. Метод максимальной энтропии в многомерном спектральном анализе (Часть 2. Спектральные оценки метеорологический параметров в области ВЗК). Препринт, МГИ АН УССР, 1987. - 23 с.

18. Журавлев В.М., Дворянинов Г.С., Прусов А.В. Метод максимальной энтропии в многомерном спектральном анализе временных рядов. -Морской гидрофизический журнал, 1987, № 3. с. 41-48.

19. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. М.: Издательство «Мир», 1972, выпуск 2. - 288 с.

20. Марпл C.JI. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Издательство «Мир», 1990. - 584 с.

21. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. М.: Издательство «Мир», 1971, выпуск 1 -318 с.

22. Секу нов Н.Ю. Обработка звука на PC. СПб.: БХВ-Петербург, 2001.-1248 с.

23. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. - 936 с.

24. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Издательство «Мир», 1965, т. 1.-616 с.

25. Фукунага К. Введение в статистическую теорию распознавания образов. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979.-368 с.

26. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. Изд. 2-е, доп. М.: Изд-во АФЦ, 1999. - 550 с.

27. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1958.-508 с.

28. Бохнер С. Лекции об интегралах Фурье. М.: Физматгиз, 1962.-360 с.

29. Математика. Большой Энциклопедический Словарь Математика. / Гл. ред. Прохорова Ю.В. 3-е изд. - М.: Большая Российская энциклопедия, 1998.-848 с.

30. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. Москва-Ленинград: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. - 480.

31. Князев П.Н. Интегральные преобразования. М.: Едиториал УРСС, 2004.-200 с.

32. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. М.: Физматгиз, 1963. - 256 с.

33. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. -М., 1964.-268 с.

34. Нуссбаумер Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1985. - 248 с.

35. Претт У. Цифровая обработка изображений: Пер. с англ. М.: Мир, 1982. — Кн. 1. — 312 с.

36. Претт У. Цифровая обработка изображений: Пер. с англ. М.: Мир, 1982.-Кн.2.-480 с.

37. Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. С.-Петербург: ВУС, 1999. - 204 с.

38. Брейсуэлл Р. Преобразование Хартли Теория и приложения: Пер. с англ. - М.: Мир, 1990. - 175 с.

39. Дёч К. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. - М., 1971. - 288 с.

40. Хелгасон С. Преобразование Радона: Пер. с англ. М.: Мир, 1983. -152 с.

41. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных сотрудников и инженеров). М., 1974. - 832 с.

42. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. 1996, т. 166, № 11, - с. 1145-1170.

43. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на Евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. - 334 с.

44. Блатер К. Вейвлет-анализ. Основы теории. М.: Техносфера, 2004, -280 с.

45. Agostino Abatte, Casimer М. DeCusatis, Pankaj К. Das Wavelets and subbands. Fundamentals and applications. 2001. 551 p.

46. Чуй К. Введение в вейвлеты: Пер. с англ. -М.: Мир, 2001.-412 с.

47. Grossman A., Morlet J. Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shape // SIAM J. Math. Anal, 1984, v. 15. -pp. 723-736.

48. Dinggang Shen, Horace H.S. Ip Discriminative wavelet shape descriptors for recognition of 2-D patterns // Pattern recognition, February 1999, PR(32),№ 2.-pp. 151-165.

49. Пшеничников С.Б., Пшеничников Б.С. Гиперкомплексный анализчисловых последовательностей размерности 2й // Математические методы распознавания образов. Доклады 11-й Всероссийской конференции.-М., 2003.-с. 165-166.

50. Бойков Ф.Г., Старожилова Т.К. Применение вейвлет-анализа сигнала в системе распознавания речи // Математические методы разпоснавания образов. Доклады 11-й Всероссийской конференции. -М, 2003,-с. 247-250.

51. Столниц Э., ДеРоуз Т., Салезин Д. Вейвлеты в компьютерной графике. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. -272 с.

52. Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование // Успехи физических наук. 2001, т. 171, № 5. -с. 465-501.

53. Aldroubi A., Unser М. Wavelets in medicine and biology. Boca Raton: CRC Press, 1996.-616 p.

54. Браже P.A., Куделин O.H. Вейвлет-анализ конвективных неустойчи-востей жидкостей в вертикальной тороидальной ячейке // Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники. -Ульяновск: УлГТУ, 2006, т. 4. с. 59-60.

55. Кузахметов И.А. Разработка комбинированного метода сжатия изображения // Труды Шестой Международной конференции "Математическое моделирование физических, технических, экономических, социальных систем и процессов". Ульяновск: УлГУ, 2005. -с. 54-56.

56. Eleftherios Kofidis, Nicholas Kolokotronis, Aliki Vassilarakou, Sergios Theodoridis Wavelet-based medical image compression // Future Generation Computer Systems, 1999, 15. pp. 223-243.

57. Amato U., Vuza D.T. Wavelet simultaneous approximation from samples affected by noise // Computers Math. Application, 1998, Vol. 36, No. 5. -pp, 101-111.

58. Витязев В.В. Вейвлет-анализ временных рядов: Учебное пособие. -СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. 58 с.

59. Pouligny В., Gabriel G., Muzy J.F., Arnéodo A., Argoul A. and Freysz E., J. Optical Wavelet Transform and Local Scaling Properties of Fractals // Appl. Cryst., 1991, v. 24. pp. 526-530.

60. Muzy J.F., Bacry E, Arneodo A. Wavelets and multifractal formalism for singular signals: Application to turbulence data // Phys. Rev. Lett., 1991, v. 67.-pp. 3515-3518.

61. Farge M. Wavelet transforms and their applications, to turbulence // Ann. Rev. Fluid Mech., 1992, v. 24. p. 395-457.

62. Paul T. Functions analytic on the half-plane as quantum mechanical states //J. Math. Phys., 1984, v. 25(11). pp. 3252-3263.

63. Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets // Comm. Pure and Appl. Math. 1998,41. pp. 909-996.

64. Gibbs J. W. Fourier's Series: Letter to the editor // Nature, 1899, 59. -p. 606.

65. Shim H. T., Volkmer H. On the Gibbs phenomenon for wavelet expansions // Approx. Theory, 1996, 84(1). pp. 74-95.

66. Strang G., Nguyen T. Wavelets and Filter Banks // Boston: Wellesley-Cambridge Press, 1996. pp. 367-370.

67. Walter G. G., Shen X. Continuous non-negative wavelets and their use in density estimation // Communication in Statistics-Theory and Method, 1999, v. 28.-p. 1-18.

68. Baiser T. New Approximations for Avoiding Gibbs Phenomenon in Wavelet Subspaces. The University of Wisconsin-Milwaukee, 1998, p. 64.

69. Леонтьев В.Л. Об ортогональных финитных функциях и о численных методах, связанных с их применением // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: Редакция журнала «ОПиПМ», т. 9, в. 3,2002.-с. 497-504.

70. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.-416 с.

71. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. - 128 с.

72. Walker G. Т. Correlation in seasonal variations of weather,IX: A further study of world weather (World Weather II) // Memoirs India Meteorol. Dept., 1924. Vol. 24.-p. 275-332.

73. Вязилова H.A. Эль-Ниньо Южное колебание: Методика определения. Особенности развития // Электронный журнал «Новости ЕСИ-МО» - Обнинск: 2005, вып. 24. http://www.oceaninfo.ru/news/news24.htm.

74. Bjerknes J. Atmospheric teleconnections from the equatorial Pacific // Mon. Wea. Rev., 1969, v. 97. pp. 163-172.

75. Carton J. A., G. Chepurin, X. Cao A Simple Ocean data Assimilation analysis of the global upper ocean 1950-1995. Part 2: Results // J.Phys. Oceanogr., 2000, v.30. pp. 311-326.

76. Meinen С., M. J. McPhaden Observations of warm water volume changes in the equatorial Pacific and their relationship to El Nino and La Nina // J. Climate, 2000, v. 13. pp. 3551-3559.

77. Wilson S. G. How Ocean Vertical Mixing and Accumulation of Warm Surface Water Influence the "Sharpness" of the Equatorial Thermocline // J. Climate, 2000, v. 13. pp. 3638-3656.

78. Николаев Г. Союз океана и атмосферы правит климатом // Наука и жизнь, 1998, № 1. — с. 27-33.

79. Советский энциклопедический словарь. / Гл. ред. Прохоров A.M. 4-е издание. - М.: Советская энциклопедия, 1989.-е. 1632.

80. Сайт: State of Queensland (Department of Natural Resources, Mines and Water), http://www.longpaddock.qld.gov.au/index.html.

81. Wyrtki K. El-Nino The dynamic response of the equatorial Pacific Ocean to atmosphere forcing // Journ. Phys. Oceanography, 1975, Vol. 5, № 4, -p. 572-584.

82. MacKenzie D. How the Pacific drains the Nile // New Scientist, 16 April 1987.-p. 16-17.

83. Сидоренков H. С. Характеристики явления Южное Колебание-Эл-Ниньо // Труды Гидрометцентра СССР, 1991, вып. 316. с. 31-44.

84. Wang Shaowu Reconstruction of El Niño event chronology for the last 600 year period : Acta Meteorológica Sinica, 1992, Vol. 6, № 1. p. 47-57.

85. Трухильо С. Графика для windows: библиотека программиста (+CD). СПб.: Питер Ком, 1998. - 320 с.

86. Загуменнов А.П. Компьютерная обработка звука. М.: ДМК, 1999.-384 с.

87. Гордеев О.В. Программирование звука в Windows. СПб.: БХВ -Санкт-Петербург, 1999. - 384 с.

88. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.