Математическое моделирование нелинейных уединенных волн в неоднородных полимерных цепочках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Хамзин, Салават Рифович

• Хамзин, Салават Рифович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хамзин, Салават Рифович

ВВЕДЕНИЕ.

1. НЕЛИНЕЙНЫЕ УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ В МОДЕЛЯХ ПОЛИМЕРНЫХ

МОЛЕКУЛ

1.1 Исследования нелинейной конформационной динамики полимерных молекул.

Выводы по главе

2. КОМПЛЕКС ПРОГРАММ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ МОЛЕКУЛЫ ДНК

2.1 Плоская У-модель молекулы ДНК.

2.2 "Композитная" У-модель молекулы ДНК

2.3 Трехмерная модель динамики молекулы ДНК.

2.4 Методика нахождения решений модели.

2.5 Описание комплекса программ

Выводы по главе

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ УЕДИНЕННЫХ ВОЛН

В МОДЕЛЯХ МОЛЕКУЛЫ ДНК

3.1 Моделирование динамики распространения нелинейных конформационных волн в молекуле ДНК.

3.1.1 Возбуждение нелинейных уединенных волн с помощью импульсного возбуждения.

3.1.2 Исследование нелинейных конформационных волн на модели с однородной последовательностью азотистых оснований.

3.1.3 Исследование нелинейных конформационных волн на модели с неоднородной последовательностью азотистых оснований.

Выводы по главе

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН НА ТРЕХ

МЕРНОЙ МОДЕЛИ МОЛЕКУЛЫ ДНК.

4.1 Торсионная динамика нелинейных волн на трехмерной модели молекулы ДНК

4.2 Моделирование процесса локальной денатурации

Выводы по главе

5. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА

ТРАНСКРИПЦИИ.

5.1 Моделирование процесса транскрипции в генах эукариот

5.2 Моделирование процесса транскрипции в генах прокариот.

Выводы по главе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование нелинейных уединенных волн в неоднородных полимерных цепочках»

Развитие современных компьютерных технологий позволяет проводить фундаментальные исследования, используя разработанные эффективные вычислительные методы. Методы математического моделирования позволяют изучать объекты и явления на уровне молекулярных и атомных взаимодействий. Актуальным, на сегодняшний день, является изучение наноструктурных объектов, таких как различные полимеры макромолекул (полиэтилен (ПЭ), политетрафторэтилен (ПТФЭ), фуллерены, белки, дезоксирибонуклеиновые кислоты, (ДНК) и т.д.). Исследования в данных областях подразумевают изучение внутренней структуры соединений и описание их функциональных свойств для всевозможных физических, химических и биологических процессов в природе.

Рассматривая общую картину подвижности полимерных соединений, необходимо учесть тот факт, что данные внутренние движения обладают, как правило, малой амплитудой (порядка 1 нм) и происходят на очень коротких промежутках времени (наносекундный диапазон). Вместе с тем, такой диапазон параметров связан с основными функциональными свойствами полимерных молекул, которые описывают различные механические дефекты в молекуле, и отвечает за широкий спектр явлений и процессов, протекающих в макромолекуле и в окружающей среде. Многообещающим и интересным выглядит направление по исследованию неоднородных нелинейных свойств молекулы ДНК, поскольку это приводит к довольно интересным результатами—взаимосвязи нелинейных физических свойств молекулы с особенностями её биологической деятельности: конформационные переходы, передача энергии и информации, денатурация, генная регуляция и т.д.

С точки зрения переноса энергии солитоны (уединенные волны) оказываются значительно более эффективными, чем линейные возбуждения. Уединенные нелинейные волны обладают рядом замечательных свойств, сближающих их с частицами - сохранение формы и скорости движения после взаимодействия. Они активно применяются для описания различных кооперативных эффектов в нелинейных динамических системах, в том числе молекулярных цепочках, например, таких как ДНК. Особый интерес представляют квазилинейные молекулярные цепочки, характеризуемые как геометрическим энгармонизмом, так и энгармонизмом потенциала междоузельного взаимодействия. Учет этих факторов приводит к моделям, описываемым системами нелинейных дифференциальных уравнений, решение которых крайне сложно получить аналитическими методами. Это приводит к необходимости разработки методов компьютерного эксперимента для исследования динамики подобного рода систем.

Образование нелинейных волн в непрерывной среде, описываемой нелинейными уравнениями, связано со спонтанным нарушением локальной симметрии системы, т.е. с автолокализацией энергии возбуждения, плотности электрического заряда и других физических величин.

Изучение динамических механизмов биологических процессов, включающих ДНК, требует привлечения и разработки различных динамических моделей ДНК. Сложность геометрической структуры и внутренней подвижности молекулы ДНК не позволяет в полной мере описывать всю происходящую картину в молекуле, в связи с этим математическое моделирование ограничивается лишь приближенными моделями, имитирующие внутренние движения, которые вносят основной вклад в рассматриваемый процесс. Для проверки достоверности результатов, получаемых в ходе численного эксперимента, используют информацию обо всех физических параметрах (масса, момент инерции, расстояния между структурными элементами, размеры атомных групп, и множество других кинетических параметров) на основе данных из натурных исследований.

Целью диссертационной работы является разработка вычислительного метода и комплекса проблемно-ориентированных программна основе численных методов и их практическое применение для изучения физических аспектов взаимосвязи функциональных свойств и вторичной структуры неоднородных полимерных молекул.

Реализация поставленной цели включала в себя решение следующих задач: моделирование нелинейных уединенных волн на различных моделях молекулы ДНК с искусственными и реальными последовательностями оснований;

- получение количественных характеристик исследуемых волн;

- моделирование различных процессов конформационных подвижно-стей-и конформационных состояний молекулы ДНК;.

- моделирование процессов транскрипции одного и нескольких генов.

Методы исследования. Поставленные в работе задачи решались с использованием методов математического моделирования и численного решения дифференциальных уравнений. Основные результаты в диссертации получены в результате численных экспериментальных исследований, которые проводились на персональной ЭВМ. В основе численного метода поиска солитонного решения лежит нахождение условного минимума для лагранжиана системы. Найденные точки минимума служат начальными точками для решения системы уравнений движения. Решалась система дифференциальных уравнений второго порядка (задача Коши). Интегрирование уравнений движения проводилось с помощью неявного метода Розенброка 2-го порядка точности. Достоверность полученных результатов и выводов диссертационной работы определяется использованием современных методов математического моделирования и теоретической физики, подтверждается сравнением полученных результатов с ранее известными теоретическими и экспериментальными работами.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- эффективный вычислительный метод для исследования динамики нелинейных возбуждений в различных неоднородных полимерных макромолекулах;

- в рамках разработанной численной методики установлено, что в сильно неоднородной модели молекулы ДНК могут распространяться нелинейные локализованные возбуждения солитонного типа;

- впервые проведено численное моделирование динамики уединенных волн в случае, когда начальное импульсное возбуждение (взятое в виде «коло-колообразного» профиля) задается в различных местах промоторной области гена, с последующим затуханием волны в одной из трех функциональных областей, или полным прохождением всего участка цепи ДНК (гена) без потерь энергии и скорости волны;

- впервые проведено численное моделирование процесса транскрипции для реальных генов прокариот и эукариот в рамках теории нелинейных волн.

На защиту выносятся и защищаются следующие положения:

- результаты численного моделирования нелинейных уединенных волн в неоднородных полимерных макромолекулах;

- вычислительный метод и комплекс проблемно-ориентированных программ для исследования динамики топологических солитонов в макромолеку-лярных цепях в зависимости от параметров цепи и параметров начального возбуждения;

- результаты проведенного имитационного моделирования процесса транскрипции ДНК в терминах распространения нелинейных возбуждений.

Теоретическая и практическая ценность работы. Учёт неоднородности и сложной геометрической структуры молекулы ДНК позволил приблизиться к более полному описанию целого ряда нелинейных свойств макромолекулы, связанных с её конформационной подвижностью. В компьютерном эксперименте показана возможность распространения нелинейных уединённых волн в сильно неоднородных системах. Разработанные программные продукты позволяют моделировать различные процессы функционирования молекулы ДНК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения; пяти разделов, заключения, списка работ автора, списка литературы. Объем диссертации составляет 137 страниц основного машинописного текста;, включая: 57 рисунков, 3 таблицы, список литературы из 116-ти наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Хамзин, Салават Рифович

Выводы по главе 5

1. Проведено моделирование динамики уединенных волн в случае, когда начальное импульсное возбуждение (в виде "колоколообразного" профиля) задается в различных местах промоторной области гена. Получено, что в последующем волна либо затухает в одной из трех функциональных областей, либо полностью проходит весь участок цепи ДНК (ген) без потерь энергии и скорости.

2. Проведено моделирование процесса транскрипции в молекулах ДНК эукариот и прокариот в одном гене и двух последовательных генах. Получено, что имитация процесса транскрипции на плоской модели (§5.1) и на трехмерной модели (§5.2) качественно совпадают. Отличие заключается в том, что на трехмерной модели можно наблюдать структурные изменения по другим степеням свободы узлов цепи (нуклеотидов). Использование трехмерной модели имеет ряд преимуществ ввиду наличия большего числа степеней свободы, которые дают возможность более подробного изучения процесса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложен эффективный вычислительный метод для исследования динамики нелинейных возбуждений в неоднородных полинуклеотидных цепочках, на основе-которого разработан оригинальный комплекс проблемно-ориентированных программ* для исследования динамики топологических со-литонов в макромолекулярных цепях. Разработанные программы были применены для комплексного анализа внутренней подвижности двойной спирали в моделях молекулы ДНК. В вычислительном эксперименте рассматривались однородные и неоднородные последовательности в двухцепочечной молекуле ДНК, как на плоской модели, так и на трехмерной модели.

2. На основе разработанного вычислительного метода и комплекса программ методами^ математического моделирования получена зависимость динамики и характеристик топологических солитонов от различных параметров модели.

3. Разработаны методы математического моделирования для* численного исследования динамики уединенных волн в случае, когда начальное.импульсное возбуждение (взятое в виде «колоколообразного» профиля) задается-в различных местах промоторной области реального гена, с последующим затуханием волны в одной из трех функциональных областей, или полным прохождением всего участка цепи ДНК (гена) без потерь энергии и скорости волны.

4. В результате вычислительного эксперимента установлено, что имитация процесса транскрипции на плоской модели и на трехмерной модели качественно совпадают. Отличие заключается* в том, что на трехмерной модели можно наблюдать структурные изменения и по другим степеням свободы узлов цепи (нуклеотидов). Использование трехмерной модели имеет ряд преимуществ ввиду наличия большего числа степеней свободы, которые дают возможность более подробного изучения процесса. * *

Автор выражает глубокою благодарность научному руководителю кандидату физико-математических наук доценту Закирьянову Фариту Кабирови-чу, а также преподавателям и сотрудникам кафедры теоретической физики физико-технического института Башкирского государственного университета.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Al. Хамзин С.Р. Исследование колебаний полимерной цепочки методом молекулярной динамики / С.Р. Хамзин // Международная уфимская зимняя школа - конференция по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученных : материалы конференции / Уфа: РИО БашГУ. - 2005. - с. 230.

А2. Хамзин С.Р. Численное исследование нелинейных уединенных волн в молекулярных цепочках методом молекулярной динамики / С.Р. Хамзин // VI региональная школа конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии : материалы конференции / Уфа: РИО БашГУ. - 2006. - с. 174.

A3. Хамзин С.Р. Численное исследование нелинейных уединенных волн в модели молекулы. ДНК / С.Р. Хамзин // Фундаментальная математика и* её приложения в естествознании. Материалы всероссийской школы-конференции для студентов; аспирантов и молодых ученых / Уфа: РИО БашГУ. - 2007. - с. 43.

А4. Свидетельство о регистрации электронного ресурса № 16341: Численное исследование динамики уединенных волн на плоской модели молекулы ДНК> / С.Р. Хамзин, Ф.К. Закирьянов. М.".Роспатент, 2010. - Свидет. о гос. per. № 50201050073 от 28.09.2010:

А5. Свидетельство о регистрации электронного ресурса № 16576: <Численное исследование динамики уединенных волн на трехмерной, спиральной модели молекулы ДНК> / С.Р. Хамзин. М. .Роспатент, 2011. - Свидет. о гос. per. № 50201150030 от 12.01.2011.

А6. Свидетельство о регистрации электронного ресурса № 16644: Исследование динамических свойств уединенных волн на гетерогенной «композитной» модели молекулы ДНК> / С.Р. Хамзин. М.:Воспатент, 2011. - Свидет. о гос. per. № 50201150106 от 25.01.2011.

А7. Хамзин С.Р. Численное исследование нелинейных уединенных волн в молекулярных цепочках методом молекулярной динамики / С.Р. Хамзин, Ф.К. Закирьянов // Фундаментальная математика и её приложения в естествознании. Всероссийская школа-конференция для студентов; аспирантов и молодых ученных"": сб. трудов / Уфа: РИО БашГУ. - 2008. - с. 300-303.

А8. Хамзин С.Р.' Топологические солитоны в двухцепочечной модели ДНК / С.Р. Хамзин, K.P. Юлмухаметов, Ф.К. Закирьянов // Математика, Компьютер, Образование. Шестнадцатая международная конференция : материалы конференции / Пущино. - 2009. - с. 298:

А9. Хамзин С.Р. Численное исследование нелинейных уединенных волн в* молекулярных цепочках методом' молекулярной динамики* / С.Р. Хамзин // Четырнадцатая, всероссийская научная* конференция студентов-физиков и молодых ученных (ВНКСФ-14) : материалы, конференции / АСФ России: Уфа-Екатеринбург.^2008. - с. 416-417.

А10. Закирьянов Ф.К. Топологические солитоны в двухцепочечной модели ДНК / Ф.К. Закирьянов, С.Р. Хамзин, K.P. Юлмухаметов» // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Сер. «Математика. Физика. Химия>^^009. - вып. №12. - с. 8-14.

All. Закирьянов Ф.К. Компьютерное моделирование процесса транскрипции в дискретной модели молекулы ДНК / Ф.К. Закирьянов, С.Р. Хамзин J //Биофизика. - 2011. - вып. 56. №4. - с. 615-624.

А12. Закирьянов Ф.К. Численное исследование топологических солито-нов в молекуле ДНК / Ф.К. Закирьянов, С.Р. Хамзин // Структурные и динамические эффекты в упорядоченных средах "Посвящается 100-летию Башкирского государственного университета" : сб. науч. трудов / Уфа: РИО БашГУ. -2009.-с. 234-243.

А13. Закирьянов Ф.К. Топологические солитоны в однородной асимметричной модели молекулы ДНК / Ф.К. Закирьянов, С.Р. Хамзин^ // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Сер. "Математика. Механика. Физика'^ГргОЮ. - вып. №3. - с. 60-67.

А14. Хамзин С.Р. Численное исследование нелинейных уединенных волн в спиральной модели молекулярных цепочек ДНК / С.Р. Хамзин, Ф.К. За-кирьянов // XI Всероссийская молодёжная школа-семинар по проблемам физики конденсированного состояния вещества (СПФКС-11) : материалы конференции / Екатеринбург. - 20 Юте .238.

А15. Хамзин С.Р. Моделирование процесса транскрипции на трехмерной модели молекулы ДНК с учетом реальной последовательности азотистых оснований / С.Р. Хамзин, Ф.К. Закирьянов // Фундаментальная математика и её применение в естествознании. Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых : сб. трудов / Уфа: РИО БашГУ. - 2010. -с. 248-251.

А16. Хамзин С.Р. Моделирование процесса транскрипции в гетерогенной модели ДНК /С.Р. Хамзин, Ф.К. Закирьянов // Фундаментальная математика и её применение в естествознании. Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых : сб. трудов / Уфа: РИО БашГУ. -2009.-е. 198-202.

А17. Хамзин С.Р. Численное моделирование процесса транскрипции в модели молекулы ДНК с учетом реальной последовательности азотистых оснований / С.Р. Хамзин, Ф.К. Закирьянов // Математика, Компьютер, Образование. Семнадцатая международная конференция : материалы конференции / Дубна. - 2010.-е. 239.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хамзин, Салават Рифович, 2011 год

1. Якушевич, Л.В. Нелинейная физика ДНК / Л.В. Якушевич ; М. -Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский институт компьютерных исследований, 2007. 252 с.

2. Сердюк, И.И. Методы в молекулярной биофизике: структура, функция, динамика : учебное пособие : в 2 т., Т.2 / И Сердюк, Н. Заккаи, Дж. Заккаи ; науч. ред. И. Сердюк. М. : КДУ, 2010. - 735 с.

3. Watson, J. D. Molecular Biology of the Gene / J.D. Watson, T.A. Baker, S.P. Bell, A. Gann, M. Levine, R. Losick. fifth edition; Benjamin Cummings, Cold Spring Harbor Laboratory Press, 2004. - 755 p.

4. Рубин, А.Б. Биофизика / А.Б. Рубин. 2-ое издание ; М.: Наука, 1997. - 448 с.

5. Волькенштейн, М.В. Биофизика : Учебное руководство / М.В. Волькенштейн. 2-ое изд., перераб. и доп. - М.: Наука : Гл. ред. физ-мат. лит., 1988. - 592 с.

6. Франк-Каменецкий, М.Д. Самая главная молекула / М. Д. Франк-Каменецкий. М. : Наука : Библиотечка «Квант», вып. 25. - Гл. ред. физ-мат. лит., 1983. - 160 с.

7. Антонов, В.Ф. Биофизика : учебное пособие для студ. высш. учеб. заведений / В.Ф. Антонов, A.M. Черныш, В.И. Пасечник, С.А. Вознесенский, Е.К. Козлова ; под общей ред. В.Ф. Антонова. 1 изд. - М. : Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1999. - 288 с.

8. Давыдов, A.C. Солитоны в молекулярных системах / A.C. Давыдов ; Киев: "Наукова Думка", АН Украинской ССР, Институт теоретической физики, 1984.-288 с.

9. Давыдов, A.C. Солитоны в биоэнергетике / A.C. Давыдов ; Киев: "Наукова Думка", АН Украинской ССР, Институт теоретической физики, 1986. -160 с.

10. Косевич, A.M. Введение в нелинейную физическую механику / A.M. Косевич, A.C. Ковалев ; Киев: "Наукова Думка", АН Украинской ССР, Физико-технический институт низких температур, 1989. 304 с.

11. Гросберг, А.КК Физика в мире полимеров / А.Ю. Гросберг, А.Р. Хохлов*; М: : Наука : Библиотечка «Квант», вып. 74. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989.-208 с.

12. Шиховцева, Е.С. Нелинейные задачи,квантовой механики в физике макромолекул / Е. С. Шиховцева ; Уфа: Гилем, 2002. 114 с.

13. Якушевич, JI.B. Методы теоретической физики и их применение в теории биополимеров / JI.B. Якушевич ; Пущино: АН СССР, Научный центр биологических исследований; Институт биол. физики, 1990. 122 с.

14. Englander, S.W. Nature of the open,state in long polynucleotide double helices: possibility of soliton excitation / S.W. Englander, N.R. Kallenbach, A.J. Heeger, J.A. Krumhansi, A. Litwin // Proc. Natl. Acad. Sei. Usa. 1980. - vol. 77. -P. 7222-7226.

15. Peyrard, M. Nonlinear dynamics and statistical physics of DNA / M. Peyrard // Nonlinearity. 2004. - vol. 17. - P. 1-34.

16. Новокшенов, В.Ю. Введение в теорию солитонов / В.Ю. Новокшенов ; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский институт компьютерных исследований, 2002. 96 с.

17. Бхатнагар, П.Л. Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах / П.Л. Бхатнагар. пер. с англ. - М.: Мир, 1983. - 136 с.

18. Додд, Р.' Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Р. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, X. Моррис. пер. с англ. - М.: Мир, 1988. - 694 с.

19. Jain, P.G. Numerical solution of the Korteweg-de Vries (KdV) equation / P.C. Jain, Rama Shankar, Dheeraj Bhardwaj // Chaos, Solitons & Fractals. 1997. -vol. 8. №6.-P. 943-951.'

20. Zaki, S.I. Solitary waves- of the Korteweg-de Vries-Burgers' equation / S.I. Zaki // Computer Physics Communications. 2000. - № 126. - P. 207-218'.

21. Товбин, Ю.К. Метод молекулярной динамики в физической химии / Ю.К. Товбин >; М.*: М54 Наука, 1996.- 334 с.

22. Романовский, Ю. М. Математическая' биофизика / Ю. М. Романовский, Н.В. Степанова; Д.С. Чернавский. М< : Наука : Гл. ред. физмат. лит., 1984. - 304 с:

23. Иваницкий, Г.Р. Математическая биофизика* клетки / Г.Р. Иваницкий, В.И. Кринский, Е.Е. Сельков: М. : Наука : Серия «Теоретическая и прикладная-биофизика», 1978-. - 308 с.

24. Allen, М.Р.Introduction to Molecular Dynamics Simulation / M.P. Allen // NIC Series. 2004. - vol. 23. - P. 1-27.

25. Шайтан,- К. В. Молекулярная динамика, (методическое указание) v/jt^kctК.В. Шайтан, С.С. Сарайкин // http://www.library.biophys.msu.ru1. МоШуп/.- 1999.

26. Савин,, A.B. Нелинейная динамика зигзагообразных молекулярных цепей / A.B. Савин, JLH. Маневич, П Л. Христиансен, AJBi Золотарюк II Успехи физических наук. 1999: -т. 169е№3: - С. 255-270:

27. Savin, A.V. Twisted?topological solitons and dislocations in polymer crystal / A.V. Savin; J. M. Khalack, P L. Christiansen- and A.V. Zolotaryuk II PhysicaliReview, Bv 2002. - vol; 65. - P. (054106) 1-10,

28. Braun; Oi'.Mi; Nonlineardynamics of the. FrenkelKKontorova> model / Oleg M. Braun, Yuri S. Kivshar // Physics Reports. 1998: - vol: 306: - P: 1-108.

29. Savin, A.V. Soliton modeling for the proton transport in zigzag-like protonic conductors / A.V. Savin; A.V. Zolotaryuk // Solid. State Ionics. 1995. -vol: 77.-P: 15-19:

30. Савин, А.В. Динамика топологических солитонов в системе слабосвязанных цепей / А.В. Савин, Е.А. Зубова, Л.И. Маневич // Высокомолекулярные соединения. Сер. А. 2005. - т. 47. № 4. - С. 637-651.

31. Савин, А.В. Нелинейные уединенные волны в макромолекуле политетрафторэтилена / А.В. Савин // Высокомолекулярные соединения. Сер. А. 1999: - т. 41. №9. - С. 1416-1425.

32. Cuenda, S. On the discrete Peyrard-Bishop model of DNA: stationary solutions and stability / Sara Cuenda, Angel S'anchez // Chaos. 2006. - vol. 16. №2.-P. 023123-023131.

33. Zdravkovic, S. Peyrard-Bishop-Dauxois Model of DNA Dynamics and Impact of Viscosity / S. Zdravkovic, J. A. Tuszynski, M: V. Sataric // Journal, of Computational and Theoretical Nanoscience. 2005. - vol. 2. - P.l-9.

34. Peyrard, M. Statistical mechanics of a nonlinear model for DNA denaturation/ M. Peyrard, A.R. Bishop // Physical Review Letters. 1989. - № 62. -P. 2755-2758.

35. Peyrard, M. Dynamics and'thermodynamics of a nonlinear-model for DNA denaturation / M. Peyrard, A.R. Bishop, Th. Dauxois // Physical Review E. -1993.-№47.-P. 684-697.

36. Larsen, P.V. Bubble generation al a twisted and bent DNA-like model / P.V. Larsen, Peter Leth Christiansen, Ole Bang, J.F. R. Archilla, Yuri B. Gaididei // Physical Review E. 2004. - № 70. - P. (036609) 1-6.

37. Barbi M. Thermal denaturation of a helicoidal DNA model / Maria Barbi, Stefano Lepri, Mishel Peyrard, Nikos Theodorakopoulos // Physical Review E. 2003. - vol. 68. - P. (061909) 1-14.

38. Якушевич, Л. В. Динамика ДНК. Новая:модель / Л. В. Якушевич; Пущино: АН СССР, Научный центр биологических исследований, Институт биол. физики; 1988. 14 с.

39. Yakushevich, L.V. Nonlinear dynamics of topological solitons in DNA / L. V. Yakushevich, A.V. Savin, L.I. Manevitch // Physical Review. E 2002. - vol. 66:-P. (016614) 1-14.

40. Daniel, M. Nonlinear molecular excitations in a completely inhomogeneous DNA chain / M. Daniel, V. Vasumathi // Physical Review. A -2008.-vol. 372. №31. -P. 5144-5151.

41. Daniel, M. Perturbed soliton excitations in DNA double helix / M. Daniel, V. Vasumathi // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2007. - vol. 231. №1. - P. 1029.

42. Vasumathi, V. Perturbed soliton-like molecular excitations in a deformed DNA chain / V. Vasumathi, M. Daniel // Physics Letters A. 2008. - vol. 373. №1. -P. 76-82.

43. Hermon, Z. Do Topological Charge Solitons Participate in DNA Activity? / Z. Hermon, S. Caspiand E. Ben-Jacob // arxiv: Physics. 1997. - P. 1-5.

44. Ковалева, H.A. Топологические солитоны в неоднородной молекуле ДНК / H.A. Ковалева, A.B. Савин, Л.И. Маневич, A.B. Кабанов, В.М. Комаров, Л.В. Якушевич // Высокомолекулярные соединения. Сер. А. 2006. - т. 48. №3. - С. 454-471.

45. Gaeta, G. Solitons in Yakushevich-like models of DNA dynamics with improved intrapair potential / Giuseppe Gaeta // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. -2007. vol. 14. №1. - P. 57-61.

46. Gaeta, G. Solitons in the Yakushevich model of DNA beyond the contact approximation / Giuseppe Gaeta // Physical Review E Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics. - 2006. - vol. 74. №2. - P. (021921) 1-9.

47. Molina, L.M. DNA Torsional Solitons in Presence of localized Inhomogeneities / Luis Morales Molina, Owen Pavel Fernandez // Physica Scripta. -2002. vol. 66. №5. - P. 385-390.

48. Cuenda, S. Nonlinear excitations in DNA: Aperiodic models versus actual genome sequences / Sara Cuenda, Angel Sanchez // Physical Review E. -2004. vol.70. - P. (051903) 1-8.

49. Salerno, Mario Discrete model for DNA-promoter dynamics / Mario Salerno // Physical Review A. 1991. - vol. 44, №. 8. - P. 5292-5297.

50. Cadoni, M. Propagation of twist solitons in real DNA chains / Mariano Cadoni, Roberto De Leo, and Sergio Demelio // arXiv:0904.0148vl. 2009. - P.l-6.

51. Cuenda, S. Does the dynamics of sine-Gordon solitons predict active regions of DNA? / Sara Cuenda, Angel Sanchez , Niurka R. Quintero // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2006. -vol.223. № 2. - P.214-221.

52. Bashford, J. D. Salerno's model of DNA reanalysed: could solitons have biological significance? / J. D. Bashford // arXiv:q-bio/0602019. 2008. - P. 1-19.

53. De Leo, Roberto Numerical analysis of solitons profiles in a composite model for DNA torsion dynamics / Roberto De Leo, Sergio Demelio // http://arxiv.org/abs/0711.1069vl.-2007.-P. 1-16.

54. Cadoni, M. A composite model for DNA torsion dynamics / Mariano Cadoni, Roberto De Leo, Giuseppe Gaeta // Physical Review E Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics. - 2007. - vol. 75. - P. (021919) 1-21.

55. Cadoni, M. Twist solitons in complex macromolecules: from DNA to polyethylene / Mariano Cadoni, Roberto De Leo, Sergio Demelio, Giuseppe Gaeta // International Journal of Nonlinear Mechanics. 2010. - vol. 43. - P. 1-35.

56. Cadoni, M. Sine-Gordon solitons, auxiliary fields, and singular limit of a double pendulums chain / Mariano Cadoni, Roberto De Leo // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2007. - vol. 40. - P. 12917-12929.

57. Cadoni, M. Solitons in a double pendulums chain model, and DNA roto-torsional dynamics / Mariano Cadoni, Roberto De Leo, Giuseppe Gaeta // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 2007. - vol. 14. № 1. - P. 128-146.

58. Yakushevich, L.V. Is DNA a nonlinear dynamical system where solitary conformational waves are possible? / L. V. Yakushevich // J. Biosci. 2001. - v. 66. № 3 - P. 305-313.

59. Иванов, В.И. А-ДНК / В.И. Иванов // Соросовский образовательный журнал. 1998. - №1. - С. 2-7.

60. Голо, В. JI. Асимметрия распространения конформационных возбуждений в двухнитевой молекуле ДНК / В.Л. Голо, Ю. М. Евдокимов, Е.И. Кац // Письма в ЖЭТФ. 1999. - т. 70. вып 11. - С. 766-770.

61. Егоренков, А.И: Численное моделирование динамики локального раскрытия пар азотистых оснований молекулы ДНК / А.И. Егоренков // Биополимеры и клетка. 1994. - т. 10. № 2. - С. 79-84.

62. Daniel, М. Soliton-like base pair opening in a helicoidal DNA: An analogy with helimagnet and cholesterics / M. Daniel and V. Vasumathi // Physical Review E Statistical. Nonlinear, and Soft Matter Physics. -2009. - vol. 79. №1. -P. (012901) 1-4.

63. Голо, В.Л. Модель деления молекулы / В.Л. Голо, Е.И. Кац // Письма в ЖЭТФ. 1995. - т. 62. вып 7. - С. 604-609.

64. Volkov, S.N. The mechanism of DNA mechanical unzipping / S.N. Volkov and A.V. Solov'yov // The European physical journal D. 2009. - № 54. -P. 657-666.

65. Волков, C.H. Развитее нелинейной конформационной динамики ДНК / С.Н. Волков // Биополимерьги клетка. 1990. - Т. 6. № 4. - С. 21-31.

66. Volkov, S.N. Modeling'B-A Transformations of the DNA Double Helix / S.N. Volkov // Journal of Biological Physics. 2005. - №31. - P. 323-337.

67. Волков, C.H. Солитонная динамика локальных переходов в бистабильной одномерной системе / С.Н. Волков, А.В. Савин // Украинский физический журнал. 1992. - т. 34. № 4. - С. 498-504.

68. Kanevska, P.P. Conformational transformations of DNA macromolecule in heteronymous conformation / P.P. Kanevska, S.N. Volkov, // arXiv:q-bio/0412025vl. 2004. - P. 1-7.

69. Volkov, S.N. Conformational breather in a DNA macromolecule / S.N. Volkov // Physics Letters A. 1996. - № 224. - P. 93-98.

70. Volkov, S.N. Conformational transition dynamics and mechanism of longrange effects in DNA / S.N. Volkov // J. Theor. Biol. 1990. - № 143. - P. 485496.

71. Маневич, JI.И. Солитоны в невырожденных бистабильных системах / Л.И. Маневич, А.В. Савин, В.В. Смирнов, С.Н. Волков // УФН. 1994. - т. 164. №9.-С. 937-958.

72. Савин, А.В. Моделирование динамики солитонов в бистабильной цепочке с неэквивалентными состояниями« / А.В. Савин, С.Н. Волков // Математическое моделирование. 1992. - Т. 4. № 11. - С. 36-55.

73. Пономарев, В.О. Механизм В—»А перехода в молекуле ДНК с упругим-взаимодействием между сахар ами и азотистыми основаниями /В.О. Пономарев, Е.С. Шиховцева// Биофизика. 2000. - т. 45. вып. 1. - С. 27 -31.

74. Шиховцева; Е.С. Влияние нелинейного продольного сжатия на конфирмационную динамку бистабильных квазиодномерных макромолекул / Е.С. Шиховцева, В.Н. Назаров // Письма в.ЖЭТФ. 2007. - т. 86. вып. 8. - С. 569-573.

75. Nemtsov, V. В. Evaluation* of the force constants of a DNA molecule using its model in the form coil springs / V. B. Nemtsov, A. N. Kamlyuk // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2001. - vol'. 74. №5. - P. 1253-1261.

76. Palmero, F. Nonlinear charge transport in DNA mediated by twist-modes / F. Palmero, J.F.R. Archilla, D. Hennig andF.R. Romero // arXiv:nlin/0301036v3. -2003.-P.15.

77. Hennig,, D. Nonlinear charge transport mechanism in periodic and disordered'DNA / D. Hennig , J.F.R. Archilla , J. Agarwal // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2003. - vol. 180. № 3-4. - P. 256-272.

78. Archilla, J.F.R. Charge transport in a nonlinear, three-dimensional DNA model with disorder / J.F.R. Archilla, D. Hennig, J. Agarwal // arXiv:nlin/0211026v2. 2003. - P. 1-7.

79. Hennig, D. Stretching and relaxation dynamics in double stranded DNA / D. Hennig and J.F.R. Archilla // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2004. - vol. 331. - P. 3-4.

80. Ковалева, H.A. Низкочастотные колебания двойной спирали ДНК / Н.А. Ковалева, ЛИ. Маневич, А.И. Мусиенко, А.В. Савин // Высокомолекулярные соединения. Сер. А. 2009. - т. 51. №7. - С. 1174-1188.

81. Якушевич, Л.В. О параметрах динамических моделей ДНК / Л.В. Якушевич // В сб.: Математика&Компьютер&Образование, Г.Ю. Ризниченко (ред).,; Москва Ижевск: Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика». - 2003. - №10. - с. 195-203.

82. Savin, A.V. Solitons in spiral polymeric macromolecules / A.V. Savin, L.I. Manevitch // Physical Review E. 2000. - vol. 61. № 6. - P. 7065-7075.

83. Savin, A.V., Topological solitons in spiral polymeric macromolecules: A chain surrounded by immovable neighbors / A.V. Savin, L.I. Manevitch // Physical ReviewB. -2001. -vol. 63. № 6. -P. 224303-1-224303-13.

84. Polozov, R.V. Nonlinear waves in DNA and regulation of transcription / R.V. Polozov, L.V. Yakushevich // J.Theor.Biol. 1988. - vol. 130. №4. - P. 423430.

85. Yakushevich, L.V. Non-linear DNA dynamics and problems of gene regulation / L.V. Yakushevich // Nanobiology. 1992. - №3. - P. 343-350.

86. Gaeta, G. Results and limits of the soliton theory of DNA transcription / Giuseppe Gaeta // Journal of Biological Physics. 2003. - vol .24. - P. 81-96.

87. Liu, L.F. Supercoiling of the DNA template during transcription / Leroy F. Liu, James C. Wang // Proc. Nati. Acad. Sei. 1987. - vol. 84. - P. 7024-7027.

88. Самарский, A.A. Теория разностных схем / A.A. Самарский ; М.: Наука, 1977. - 656 с.112: Самарский, A.A. Введение в численные методы / A.A. Самарский ; -М.: Наука, 1996.-271 с.

89. Калиткин, H.H. Математические модели природы и общества / H.H. Калиткин, Н.В. Карпенко, А.П. Михайлов, В.Ф. Тишкин, М.В. Черненков. М: Физматлит, 2005. - 360 с.

90. Макконелл, Дж. Основы современных алгоритмов / Дж. Макконелл; издание 2-е, доп. М.: Техносфера, 20041 - 368 с.

91. Иванов, Б.Н., Дискретная математика / Б.Н. Иванов ; М:: ' Лаборатория Базовых Знаний, 2007. - 408 с.

92. Куликов, С. П. Численные методы : учебное пособие / С. П. Куликов, А. Б. Самохин, В. В. Чердынцев ; М.: Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (Технический университет), 2003. - 80 с.