Моделирование электрооптических и спектроскопических свойств структурно-нежестких молекул тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Романец, Андрей Владимирович

• Романец, Андрей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Романец, Андрей Владимирович

Введение

Глава 1. Классификация подсистем и типов взаимодействия

1.1 Точности концепции описания, модели и решения

1.2 Шкала изменений энергии. Разложение по процессам

1.3 Что значит найти решение

Глава 2. Используемые модели и численные методы

2.1 Общие свойства квантовых уравнений

2.2 Точность решения задачи

2.3 Разложение решения по системе функций. Вопросы полноты системы (предварительные соображения)

2.4 Строгие теоремы о полноте

2.5 Симметрия Гамильтониана. Явный учет в разложении

2.6 Редукция размерности. Метод Канторовича

2.7 Метод молекулярных орбиталей. Понятие ППЭ

2.8 Метод конечных элементов

2.9 Метод прямого интегрирования

2.10 О требуемой точности задания ППЭ

Глава 3. Электрооптические свойства молекулы ЫН

Глава 4. Электрооптические и спектроскопические свойства молекулы ЫР

4.1 Уравнения движения

4.2 Классификация состояний

4.3 Метод решения краевых задач с параметром

4.4 Свойства спектра.Мультиплеты и расщепления

4.5 Электрооптические свойства молекулы 1лР

Глава 5. Условия проведения эксперимента и технологические применения

5.1 Оценки условий проведения эксперимента

5.2 Применение для разделения изотопов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование электрооптических и спектроскопических свойств структурно-нежестких молекул»

Развитие физико-химической технологии, широкие исследования и внедрение в практику оптимизации производственных процессов, создание энерго— и ресурсосберегающих технологий, поиск новых материалов с заданными свойствами, создание элементной базы для нового поколения устройств и систем микроэлектроники, наконец широкий спектр био — физико — химических и экологических задач требуют систематизации физико — химических исследований и создания единого подхода к анализу разнообразной информации о строении и физико-химических свойствах различных веществ. В этом подходе важную роль играет применение методов прикладной математики и построение комплексных моделей физико-химических процессов и явлений на базе теории строения вещества и теории конденсированного состояния с применением последних достижений теории и практики математического моделирования. Указанные разделы науки в идеале должны позволить объяснить из первых принципов строение и свойства различных веществ и механизмы различных типов физико-химических взаимодействий. Однако на пути применения этих идей и методов встает проблема сложности квантовых уравнений для реальных многочастичных систем. При этом даже если мы каким —либо образом получили решение квантовой задачи, нам необходимо еще извлечь из него информацию, которая может быть выражена в терминах макроскопических характеристик системы, сравнена с данными эксперимента и т.д. Представляется целесообразным, что разработка численного алгоритма решения той или иной квантовой задачи ( а Лаковое решение в общем случае естественно будет приближенным) должна быть изначально ориентирована на возможность получения интересующей нас информации. Следует ожидать, что такой подход позволит сократить объемы вычислений и объемы информации. Действительно, коль скоро мы используем тот или иной приближенный метод, мы получаем ту или иную "проекцию" точного решения, отражающую те или иные его свойства. И естественно выбирать такую проекцию, которая позволит извлечь необходимую для нас информацию.

Другой аспект данной проблемы состоит в том, что для анализа и дальнейшего использования физико-химической информации, полученной как экспериментальным путем так и на основе расчетов, необходима ее систематизация, что невозможно без широкого использования электронно — вычислительных машин. Это с необходимостью приводит нас к выводу о том, что для реального практического использования необходимо создание програмных комплексов, включающих в себя алгоритмический блок и блок обеспечения хранения информации и доступа к ней, т.е. по существу некую специализированную систему управления базами данных. Алгоритмический блок должен содержать алгоритмы, применимые к достаточно широкому классу систем. Это требование приводит к необходимости тщательного анализа математической стороны вычислительных методов, применяемых для решения квантовомеханических задач в системах многих чаСтиц, с целью их классификации, возможной модификации, удобной компьютерной реализации и необходимой при этом стандартизации. Для этой цели важным является применение качественных методов из различных разделов математики и построение единой схемы решения квантовых . задач, позволяющей с одной стороны исследовать достаточно широкий класс систем, а с другой стороны естественным образом проистекающей из самой математической природы квантовых уравнений.

К работам, освещающим такого рода вопросы следует отнести [63 — 64], [75], [72] и т.д. В настоящей работе ряд перечисленных выше вопросов рассмотрены на примере численного исследования некоторых типов структурно — нежестких молекулярных систем, интерес к теоретическому и экспериментальному изучению которых высок в последнее время [1—5]. Эти системы характеризуются тем, что амплитуды внутренних движений составляющих их атомов и фрагментов сравнимы с характерными размерами самой молекулы. Интерес к ним определяется двумя обстоятельствами: — во —первых, для изучения этих молекул требуется разработка и привлечение нетрадиционных для математических методов молекулярной динамики подходов и моделей, т.к. приближение гармонического осциллятора, основанное на допущении малости амплитуд колебаний атомов в молекуле, здесь не правомерно; во — вторых, структурно — нежесткие молекулы характеризуются аномальным поведением их электрооптических и спектроскопических характеристик, исследование которого может иметь важные технологические применения.

Работа состоит из Введения, пяти глав, Заключения, Приложения и Списка литературы.

С математической точки зрения уравнения нерелятивитской квантовой теории представляют собой задачи на собственные значения для линейных операторов, соответствующих тем или иным физическим величинам. Эти операторы определены на некоторых нормированных функциональных пространствах. Это обстоятельство позволяет использовать для решения квантовых задач широкий спектр вариационных и проекционных методов, т.е., говоря иначе, аппроксимацию решения определенным набором функций, зависящих быть может от некого набора параметров. Выбор класса функций, в котором мы будем искать решение, является чрезвычайно важной проблемой. Прежде всего этот класс должен быть таков, чтобы, будучи естественным образом связанным с решаемой задачей, позволял бы минимизировать объемы вычислений и необходимой информации. С другой стороны он должен быть универсален в плане возможности использования для разнообразных реальных систем. Это определяет необходимость выделения в изучаемых системах набора универсальных структурных элементов и типичных подсистем и классификации типов взаимодействия между ними. Построение единой вычислительной схемы, позволяющей производить расчеты реальных молекулярных и других многочастичных систем, кбторые могут быть описаны в рамках нерелятивистской квантовой механики, с необходимостью должно быть основано на выделении базовых типов движений и взаимодействий. Оценки их вкладов в "интегральные" характеристики системы в целом, такие как полная энергия и другие возможны на основе анализа экспериментальных фактов. При этом с математической точки зрения каждому типу движения или взаимодействия может быть поставлен в соответствие некий оператор, обладающий определенной системой собственных функций. По системам функций таких операторов и может быть разложена полная волновая функция многочастичной системы. Этим вопросам посвящена первая глава. Некоторое их обсуждение содержится например в работах [63], [77] и других.

Вторая глава посвящена рассмотрению общих свойств квантовых уравнений, важных для построения вычислительных алгоритмов, принципы построения самих этих алгоритмов, а также конкретные алгоритмы и модели, применяемые в настоящей работе. Важную роль в теоретических исследованиях колебательно — вращательных свойств сложных молекулярных систем играет идея о декомпозиции задачи на подзадачи для электронной и ядерной систем. Важным вопросом при реализации такого рода подхода является вопрос о полноте систем функций соответствующих операторов, для решения которого необходимо привлечение методов из различных разделов математики. Выбор операторов неоднозначен, по причине чего также важен вопрос об оптимальном в сйысле объемов используемой информации и вычислений выборе, основанном в том числе и на формализации представлений из предметной области (обобщении экспериментальных данных). Эти вопросы с примерами построения реальных вычислительных алгоритмов рассматривались в работах [63 — 64]. Однако идея о разложении ядерных движений по системе функций гармонического осциллятора [63] для систем, изучаемых в настоящей работе не представляется вполне удовлетворительной. Для такого рода систем целесообразно в большей степени учитывать их физические свойства, определяемые во многом симметрией их равновесных пространственных конфигураций. Также во второй главе рассмотрены предварительные соображения о влиянии симметрии изучаемых систем на процесс построения вычислительных алгоритмов.

Математические свойства квантовых уравнений подробно рассмотрены в [70], ряд важных для вычислительной квантовой физики рассмотрений приведен в [77]. Основные вычислительные идеи, применяемые в квантовой механике, рассмотрены например в [29].

Декомпозиция задачи на подзадачу для электронной и ядерной составляющей открыла возможности для применения широкого класса вариационно — проекционных методов. Для решения электронной подзадачи был использован подход Хартри — Фока. Подзадача о движении ядер была формально записана в виде уравнения

Шредингера для движения ядер в поле, апроксимирующем поверхность потенциальной энергии (ППЭ) молекул, вычислямой как полная энергия электронной составляющей при различных положениях ядер. Для ее решения были использованы метод конечных элементов и метод Канторовича, для численной реализации которого был применен метод решения краевых задач с параметром. Установлен критерий расчета с контролируемой точностью спектра ядерных движений.

Третья глава посвящена одномерной модели движений большой амплитуды в молекуле ЫН31 на основе которой рассматриваются электрооптические свойства этой молекулы.

В четвертой главе рассмотрены электрооптические и спектроскопические проявления внутренних вращений внешнесферного катиона в молекуле 1ЛР03 с учетом влияния вращений молекулы как целого. Получены новые результаты о влиянии эффектов структурной нежесткости и их взаимодействия с вращениями молекулы как целого на спектроскопические и электрооптические свойства.

На основе анализа результатов расчетов, проведенных с использованием комплекса компьютерных программ, в виде которого и реализована разработанная модель, установлено, что структурная нежесткость в молекулах типа ЫНз и ОРОз приводит к динамическому усреднению их геометрических характеристик на характерных временах, определяемых собственными частотами движений большой амплитуды, что определяет аномальные спектроскопические и электрооптические свойства таких молекул. Эти свойства могут проявляться в частности во взаимодействии пучков таких молекул с быстропеременными электрическими полями, ча'стоты котрых сравнимы с частотами внутримолекулярных колебаний (движений большой амплитуды). Эти свойства могут быть положены в основу экспериментальных исследований и перспективных технологических применений. Так например представляется целесообразным дальнейшее изучение способа разделения изотопов элементов, входящих в состав нежестких молекул, основанного на рассматриваемых в данной работе эффектах взаимодействия этих молекул в колебательно — возбужденных состояниях с быстропеременными электрическими полями. Условия проведения таких экспериментов обсуждаются в пятой главе.

В Заключении кратко представлены основные результаты, полученные в работе.

В Приложении приведена схема програмного комплекса, использованного при проведении исследований.

Предложенная методика построения моделей колебательной динамики молекулярных систем и разработанная на ее основе вычислительная схема, реализованная в виде програмного комплекса позволяют проводить моделирование спектроскопических, электрооптических и иных свойств молекулярных систем, определяемых их колебательными свойствами.

Результаты, составляющие содержание работы, были доложены на двух международных конференциях и на семинарах департамента теоретической физики и департамента Физика IV университета города Упсала (Швеция). Результаты работы использовались в исследованиях по грантам Российского фонда фундаментальных исследований ( грант N 94 — 03 — 08586 ) и Международного научного фонда и правительства РФ (грант N МОАЗОО ). По теме диссертации опубликованы работы, приведенные в списке литературы под номерами [25-28].

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Романец, Андрей Владимирович

Заключение

1)В основу построения единой вычислительной схемы решения задач квантовой механики для многочастичных систем может быть положена идея декомпозиции по базовым типам движения и взаимодействия, которая может быть формально выражена в виде разложения полной волновой функции системы по системам собственных функций операторов, соответствующих различным типам движений и взаимодействий.

2) Предложена методика эффективного описания движений большой амплитуды в структурно — нежестких молекулах, основанная на декомпозиции задачи на электронную и ядерную подзадачи, для каждой из которых предложены эффективные в смысле затрат вычислительных ресурсов при получении заданной точности методы. Для подзадачи о движении ядер в качестве таких методов использованы метод конечных элементов и метод Канторовича. Установлен критерий расчета с контролируемой точностью спектра таких движений в зависимости от точности решения электронной подзадачи. Для конкретной численной реализации метода Канторовича предложен метод решения краевых задач с параметром для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, адаптированный для конкретного класса систем таких уравнений.

3) На основе качественного анализа свойств симметрии модели для конкретных типов систем установлены типы граничных условий и проведена классификация собственных значений и собственных функций (состояний) этих систем.

4) На основе математической модели, реализованной в виде комплекса компьютерных программ, получен ряд важных содержательных результатов. Найдено осциллирующее со временем поведение дипольного момента молекул типа ИНз, ЫРОз. Установлено, что движения большой амплитуды в структурно—нежестких молекулах способны резко уменьшить их дипольный момент в колебательно — возбужденных состояниях. Структурная нежесткость в молекуле 1лР03 приводит к динамическому усреднению ее момента инерции таким образом, что частота вращательных переходов не зависит от V. Установлено также, что компоненты дипольного момента молекулы в состоянии с данным V осциллируют со временем как набор гармоник с различными частотами. Значения этих частот определяют поведение молекулы во внешних быстропеременных электромагнитных полях с частотами, сравнимыми с частотами туннелирования, а также в изменении интенсивности и спектрального состава со временем излучения, возникающего в процессе радиационного тушения возбужденных состояний. Экспериментальное наблюдение этих эффектов возможно в разреженном газе 1лР03, охлажденном до Т=10 К, а также при прохождении "параллельных" бесстолкновительных пучков молекул ЫР03 через поле с частотами, близкими к частотам тунеллирования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Романец, Андрей Владимирович, 2000 год

1. Банкер Ф. Симметрия молекул и молекулярная спектроскопия. — М.: Мир, 1981. —451 е., ил.

2. Чаркин О.П., Болдырев А.И. Потенциальные поверхности и структурная нежесткость неорганических молекул. Итоги науки и техники. Сер. "Неорганическая химия", Т.8.-М.: ВИНИТИ, 1980.-154 е.,ил.

3. Слизнев В.В., Соломоник В.Г. Структура и стабильностькомплексных молекул LiNaF2, LiMgF3, LiAlF4( LiSiFs и LiPF6по данным неэмпирических расчетов методом МО ЛКАО ССП.// Коорд. химия, 1988, т.14, 1, с.13-18.

4. Суханов Л.П.,Болдырев А.И.,Чаркин О.П. Ab initio исследование структуры и стабильности комплексных гидридов типа ЦМНз.// Коорд.химия, 1980, т.6, N И, с. 1631 —1640.

5. Коновалов С.П., Соломоник В.Г. Теоретическое Ьсследование строения молекул ПРОз, Li2S04 и UC104.// Коорд.химия, 1986, т. 12, N 4, с.463 —469.

6. Zakzhevskii V.G.,Boldyrev A.I.,Charkin О.Р. Ab initioinvestigations of structure and stability of the LiBeF3molecule.// Chem.Phys.Lett., 1980, v.70, N 1, p. 147-161

7. Закжевский В.Г.,Болдырев А.И.гЧаркин О.П.,Боженко К.В. .Клименко Н.М. Теоретическое исследование стабильности и структуры молекул 1лВеНз, LiBeF3 и LiN03 с помощью расчетов ab initio// Ж.структ.химии, 1979, т.24, N 12, с. 230-241.

8. Берсукер И.Б. Электронное строение и свойства координационных соединений. Введение в теорию. Изд. 2-е, пер. и доп.— Д.: Химия, 1976, 349с.

9. Внутреннее вращение молекул. Под ред. В.Дж.Орвилл— Томаса, М: Мир, 1977, 240 с.

10. Ю.Цюлике Л. Квантовая химия, т.1.— М.: Мир, 1976, 326 с.

11. П.Фудзинага С. Метод молекулярных орбиталей, — М.: Мир, 1983, 303 с.

12. Турьев А.В.,Жирнов Н.И. Применение обобщенного метода ВКБ к исследованию инверсионного расщепления колебательных уровней энергии молекул.// Оптика и спектроскопия, 1979, т.46, N4, с.669-672.

13. Coon J.B.,Naugle N.W.,McKenzie R.D. The Investigation of Double — minimum Potentials in Molecules.// J.Mol.Spectrosc., 1966, v.20, p.107-129.

14. Стренг Г., Фипс Дж. Теория метода конечных элементов, -М. : Наука, 1976, 279 с.

15. Bathe Kl.—J., Wilson Ed. Numerical Methods in Finite

16. Elements Analysis.--Prentice — Hall, Clif.N.G. : Englewood,1976, 324 c.

17. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.— M.: Наука,1971, 432 с.

18. Жилинский Б.И.,Степанов Н.Ф. Спектры туннельного расщепления в нежестких неорганических комплексах. // Коорд.химия, 1978, т.4, N 9, с. 1292.

19. Ландау Л.Д.,Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория (Серия: "Теоретическая физика",т.З).— 3-е изд., перераб. и доп.— М.: Наука, 1974.- С.220; с.46.

20. Суханов Л.П.,Болдырев А.И. // Ж.физ. химии, 1984, т.58, N 3, с.654 —660.

21. Christen D.,Minkwitz R.,Nass R. Microwave spe'ctrum, inversion and molecular structure of monofluoramine FNH2.// J.Am.Chem. Soc., 1987, v. 109, N 23, p.7020-7024.

22. Суханов Л.П. Болдырев А.И. Способ разделения изотопов// A.C.N 1620120, 1990

23. Гусев В.В.,Потапов С.Г.,Суханов Л.П. Методические аспекты решения одномерного ядерного уравнения Шредингера с двухъямным численным потенциалом.// Препринт ИАЭ-4760/1, М., 1989, 32с.

24. Гусев В.В., Потапов С.Г., Суханов Л.П. Применение метода конечных элементов в квантовой механике молекул.// Теор.эксп.химия, 1991, т.27, N 4, с.442 —446.

25. Бонч —Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников. Учеб. пособие Для вузов.— 2-е изд.,перераб. и доп.— М.: Наука, 1990, с.90—102.

26. Романец А.В., Суханов Л.П. Электрооптические проявления движений большой амплитуды в молекуле аммиака.— Препринт РНЦ "Курчатовский Институт"// Препринт РНЦ "Курчатовский Институт" —5835/12, М., 1994, 8с.

27. Романец А.В., Суханов Л.П. Электрооптические и спектроскопические проявления движений большой амплитуды в молекулах типа ЦМХз.// Препринт РНЦ "Курчатовский Институт"-5953/12, М., 1995, 20с.

28. Романец А.В., Суханов Л.П. Электрооптические и спектроскопические проявления движений большойамплитуды в молекуле 1лРОз. — Препринт РНЦ// Журнал физической химии, 7, 1995, 32 с.

29. Романец А.В., Цурков В. И., Журавлев К.Х., Тупиков С.Е. Численное исследование электрооптических и спектроскопических проявлений движений большой амплитуды в молекулах LiPCh и ЫНз.// Препринт ВЦ РАН, М., 1997, 32с.

30. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику,— М.: МФТИ, 1994, 508 с.

31. Spirko V.fZarsky P. An Ab initio Study of the Transition Dipole Moments of NH and PH in Excited Inversional States.// J. Mol. Spectrosc., 1981, v.87, p.584-586.

32. Степанов Н.Ф. Квантовая химия и проблема строения простых молекул.// В сб.: Химия нашими глазами.— М.: Наука, 1981, с.11-28.

33. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.; Л.: Гостехтеориздат, 1950, 695 с.

34. Вогп М., Oppenheimer R. The adiabatic aproximation in quantum molecular dinamics.//Ann.Phys.l927, Bd. 84 P.457

35. Filter E., Steinborn E.O. About potencial energy surface of some molecular systems.//Intern. J. Quant. Chem. 1980. Vol.18. P.219

36. Lasserte E.N. Some properties of Hartree—Fock equation spectra//J. Chem. Phys. 1985. Vol. 83. P. 1709-1721.

37. Roothaan C.C.J. Some aproximation of Hartree —Fock functions.//Rev. Mod. Phys. 1951. Vol. 23. P. 69-89.

38. Slater J.C. The special presentation of antisimmetric fermion wavefunctions.//Phys. Rev., 1930, V.36, P.57.

39. Moor Ch. E. atomic Energy Levels.—Washington, 1984.

40. Pekeris C.L. Ground state of two electron atoms// Phys. Rev. 1962, V. 126, P. 1470.

41. Dalgarno A., Stewart A.L. The cluster methods in' many electron problem// Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1956, V. 238, P. 269.

42. Синаноглу О. Многоэлектронная теория атомов и молекул. Пер. Сс англ. — М.: Мир, 1966

43. Местечкин М.М. Метод матрицы плотности в теории молекул. Киев: Наукова думка, 1977.

44. Nesbet R.K. The variational methods in quantum chemestry// Adv. In Chem. Phys., 1969, V.14, P.l.

45. Мартин П., Швингер Ю. Теория систем многих частиц. Пер. с англ. М.: ИЛ, 1962.

46. Anderson P. W. Some aspects of bozon many particle problem.// Phys. Rev., 1958, V. 112, P. 1900.

47. Weinstein A. Separation theorems for the eigenvalues of partial differential equations, — Reissner Anniversary Volume, 1949, P. 405.

48. Weinstein A. Bounds for eigenvalues and the method of intermediate problems.// Partial differential equations and continuum mechanics, Univ. of Wisconsin Press, Madison, Wis., 1961, P.39 — 53.

49. Bazley N.W., Fox D.W. Lower bounds for eigenvalues of Shrodinger equation.// Phys. Rev., 1961, V. 124, P. 483.

50. Bazley N.W., Fox D.W. Truncations in the method of intermediate problems for lower bounds to eigenvalues// J. Res. Nat. Bur. Standards B,1961, V. 65B, P. 105.

51. Bazley N.W., Fox D.W. A procedure for estimating of eigenvalues// J. Math. Phys., 1962, V. 3, P. 469.

52. Bazley N.W., Fox D.W. Error bounds for expectation values.// Rev. Mod. Phys., 1963, V. 35, P. 712.

53. Bazley N.W. Lower bounds for eigenvalues ' with applications for helium atom.// Phys. Rev., I960, V. 120, P. 144.

54. Новосадов Б.К. Методы решения уравнений квантовой химии. — М., Наука, 1988, 184 с.

55. Новосадов Б.К. Методы расчета молекулярных спектров.//Оптика и спектроскопия, 1976, Т.41. С. 832 — 837.

56. Ковриков А.Б., Борковский Н.Б., Людчик А.М. и др. Пространственная симметрия и оптимизация расчетов молекулярных спектров. Минск : Изд—во Белорус. Унта, 1983. 240 с.

57. Каплан И.Г. Симметрия многоэлектронных систем. М. : Наука, 1969, 407 с.

58. Каплан И.Г. Эффекты неаддитивности в межмолекулярных взаимодействиях.// Успехи химии. 1979, Т. 48. С. 1027.

59. Юцис А.П. Избранные труды. Теория многоэлектронных атомов. Вильнюс : Мокслас, 1978. 240 с.

60. Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. Л.: Наука, 1975,439 с.

61. Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредингера. М.: Изд—во Московского университета, 1983, 392 с.

62. Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях. М. : Мир, 1970, 328 с.

63. Froese — Fisher С. The Hartree —Fock Method for Atoms. — N.Y.: Wiley, 1977.

64. Киржниц Д.А. Полевые методы теории многих частиц. М. : Атомиздат, 1963.

65. Клечковский В.М. Распределение электронов и правило последовательного заполнения (п + 1)—групп. М.: Атомиздат, 1968.

66. Веселов М.Г., Лабзовский Л.Н. Теория атома. Строение электронных оболочек. М. : Наука, 1986, 328 с.

67. Таулес Д. Квантовая механика систем многих частиц. М. : Изд—во иностранной литературы, 1963, 232 с.67.3ахарьев Б.Н. Уроки квантовой интуиции, Дубна : Объединенный институт ядерных исследований, 1996, 298 с.

68. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа, М. : Наука, 1968

69. Наймарк М.Ф. Линейные дифференциальные операторы. М. : Наука, 1969.

70. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. М.: Наука, 1967, 512 с.