Моделирование процессов теплопроводности модифицированным методом Чебышевской коллокации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Сергеев Степан Викторович

• Сергеев Степан Викторович
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Сергеев Степан Викторович

Оглавление

Введение

Глава 1. Задача теплопроводности и метод Чебышевской коллокации

1.1. Моделирование процессов теплопроводности

1.2. Спектральные методы, методы коллокации

1.3. Решение одноточечной задачи линейного уравнения 1-го порядка общего вида

1.4. Вывод к первой главе. Модифицированный метод

Глава 2. Решение двухточечных задач для ЛОДУ второго порядка модифицированным методом Чебышевской коллокации

2.1. Модифицированный метод чебышевской коллокации решения двухточечных задач для уравнения Пуассона

2.2. Модифицированный метод чебышевской коллокации решения двухточечных задач для ЛОДУ второго порядка с использованием Чебышевских матриц дифференцирования

2.3. Модифицированный метод чебышевской коллокации решения двухточечных задач для ЛОДУ второго порядка с использованием Чебышевских матриц интегрирования

2.4. Вывод ко второй главе

Глава 3. Применение модифицированного метода Чебышевской коллокации к решению начально-краевой задачи для линейного параболического уравнения

3.1. Решение начально-краевой задачи для линейного параболического уравнения модифицированным методом Чебышевской коллокации

3.1.1. Задача с двусторонними граничными условиями Дирихле-Дирихле

3.1.2. Задача с граничными условиями Дирихле - третьего рода

3.2. Метод приведения ОДУ первого порядка к виду полной производной с помощью интегрирующего множителя

3.2.1. Уравнения в полных дифференциалах

3.2.2. Метод интегрирующих множителей

3.2.3. Численная реализация модифицированного метода чебышевской коллокации

3.3. Решение двухточечной задачи ЛОДУ второго порядка построением полной системы решений модифицированным методом Чебышевской коллокации

3.3.1. Поиск второго линейно независимого решения при известном первом решении

3.3.2. Поиск первого решения приведением ЛОДУ к виду полной производной

3.3.3. Обсуждение методики получения полного решения ОДУ второго порядка

3.4. Вывод к третьей главе

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование процессов теплопроводности модифицированным методом Чебышевской коллокации»

Введение

Актуальность темы исследования. Математическое моделирование процессов переноса тепла, массы, импульса является одним из важных разделов многих научных и прикладных исследований. Классические модели, описывающие перенос энергии и вещества, основаны на двух основных предположениях: гипотезе средней продолжительности и принципе локальности. В этом методе параболические дифференциальные уравнения генерируются на основе концепции локального термодинамического равновесия. Их математическая структура описывается линейными соотношениями, устанавливающими связь между термодинамическими силами (градиентами потенциала) и соответствующими им токами, отраженными в эмпирических законах Фурье, Фика, Ома и т.п. Однако полученные уравнения, такие как уравнения теплопередачи или диффузии, являются параболическими уравнениями в частных производных с фундаментальным ограничением: они не учитывают непространственную природу процессов переноса, проявляющуюся как в пространстве, так и во времени. Для учета нелокальности Максвелл выдвинул гипотезу о том, что распространение тепла имеет не только диффузионный, но и волновой характер, т.е. описывается при помощи гиперболического уравнения теплопроводности.

В связи с актуальностью моделирования процессов теплопроводности и массопереноса в различных технических реализациях, весьма актуальной является задача совершенствования численных методов решения линейных и нелинейных уравнений в частных производных гиперболическо-параболического типа. В русскоязычной научной литературе благодаря успехам научной школы академика Самарского А.А. широкое распространение получили конечно разностные методы. Также распространены родственные им методы конечных элементов. В англоязычной литературе большее распространение получили спектральные

методы, а также родственные им вариационные методы. Спектральные и вариационные методы развивались также в работах Санкт-Петербургской, а затем Ленинградской математической школы.

На пути численной реализации на компьютере всех вариаций проекционно-спектральных методов при оценке точности получаемых приближенных численных решений потребовалось перейти от доказательства сходимости спектральных методов к скорости сходимости и погрешности приближенных решений с вычисленными с помощью квадратурных формул коэффициентов спектрального разложения. При этом сформировалось целое направление псевдо-спектральных методов. Инженерные методы расчета, например, метод моментов, привели к осознанию метода коллокаций как квадратурного метода отыскания коэффициентов спектрального разложения.

Было проведено сравнение скоростей сходимости и точностей спектрального и псевдоспектрального методов для ряда уравнений в частных производных. Ими была показана эквивалентность указанных методов. В это время в англоязычной литературе произошел бурный рост прикладных численных компьютерных исследований приближенного решения чрезвычайно широкого круга прикладных инженерно-технических задач различными реализациями метода коллокаций.

Псевдоспектральные методы решения начально-краевых задач для уравнений в частных производных, моделирующих различные классы явления теплопроводности, достаточно успешно разрабатываются с середины двадцатого века. Они продолжают развиваться и в наши дни. Одним из перспективных разделов этого направления являются методы коллокации с использованием полиномов Лежандра и Чебышева, применимые к широкому классу математических моделей.

В работах Ловецкого К.П. с соавторами около десяти лет тому назад был предложен модифицированный метод Чебышевской коллокации для численного интегрирования быстроосциллирующих функций методом Левина (редукции задачи интегрирования к задаче решения обыкновенного

дифференциального уравнения). Затем область применимости этого метода была расширена до решения одноточечных задач для класса всех линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (в том числе с нулями и особенностями).

Однако проблема расширения области применимости модифицированного метода Чебышевской коллокации на двухточечные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и начально-краевых задач для параболических уравнений в частных производных, моделирующих явления теплопроводности, пока не решена до конца. Таким образом, задача расширения области применимости перспективного модифицированного метода Чебышевской коллокации является весьма актуальной. Решению этой актуальной задачи посвящено данное диссертационное исследование.

Степень разработанности темы, Метод Чебышевской коллокации доказал свою состоятельность в численных методах решения дифференциальных и интегральных уравнений после работ С.А. Орсага, Д. Готлиба, Э. Туркеля, К. Кануто, А. Квартерони, М.И. Хусайни, Г. Брюннера [1-7]. В работах Л. Грингарда, А. Амираслани, Р.М. Корлеса, Н. Гунасигама [9-11] и др. были введены и исследованы спектральные Чебышевские матрицы дифференцирования и интегрирования.

Метод коллокации привлекает широкое внимание благодаря своим явным преимуществам. Выбирая подходящие точки коллокации, метод коллокации позволяет преобразовывать инженерные задачи в системы алгебраических уравнений, что упрощает численное решение задач. Для многих дифференциальных задач схема коллокации часто приводит к наиболее эффективным практическим методам получения численных результатов. Метод коллокации именно среди численных методов добился большого успеха в решении различных научных и инженерных задач благодаря своей гибкости и адаптивности. Огромное количество практических

примеров и рецептов было опубликовано в неоднократно переиздававшихся работах Бойда, Массона, Трефетена [12-16] и др.

В работах Г. Майерхофера, А. Изерлеса, Н. Пика, А. Деано и А. Хюйбрехса [17-19] использовались методы коллокации для построения методов Филона интегрирования быстро осциллирующих функций. Такие методы сочетают в себе множество полезных свойств, включая надежность вычисления регулярных подынтегральных выражений и эффективную аппроксимацию функций на больших частотах.

Ловецкий К. П. с соавторами предложил улучшение МЧК, а именно модифицированный метод Чебышевской коллокации решения начальных и граничных задач для ОДУ и смежных задач [20-25]. В этих работах было показано преобладание в скорости, эффективности и устойчивости для одноточечных задач линейных ОДУ первого порядка и задаче численного интегрирования быстро осциллирующих функций.

Целью диссертационной работы является разработка эффективных устойчивых численных алгоритмов решения начально-краевых задач для уравнений теплопроводности с граничными условиями общего вида.

Для реализации этой цели в диссертации, т.е. для расширения области применимости модифицированного метода чебышевской коллокации Ловецкого на двухточечные задачи для линейных ОДУ второго порядка и на начально-краевые задачи для линейных параболических уравнений, моделирующих явления теплопроводности решаются следующие задачи:

• Разработка прямого модифицированного метода Чебышевской коллокации решения ЛОДУ второго порядка с помощью матриц дифференцирования и интегрирования (антидифференцирования).

• Разработка модифицированного метода Чебышевской коллокации приведения ОДУ первого порядка к виду полной производной.

• Разработка модифицированного метода Чебышевской коллокации приведения ЛОДУ второго порядка к виду полной производной с линейным потенциалом.

• Решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности с различными краевыми условиями модифицированным методом Чебышевской коллокации.

Научная новизна диссертационных исследований

• Модифицированный метод Чебышевской коллокации распространен на класс ОДУ второго порядка;

• Модифицированный метод Чебышевской коллокации реализован при решении начально-краевой задачи для одномерного параболического уравнения

• Обоснован и реализован метод построения полной системы решений ОДУ второго порядка

Теоретическая и практическая значимость работы

Результаты диссертационного исследования будут использованы в лабораторных работах в готовящемся к опубликованию учебном пособии

Результаты диссертационной работы будут использованы в диссертационных исследованиях магистров и аспирантов кафедры математического моделирования и искусственного интеллекта

Методология и методы исследования

Двухстадийный модифицированный метод чебышевских коллокаций с использованием метода интегрирующего множителя, основанный на алгоритме поиска решения простейшего уравнения ЛОДУ второго порядка с одним из видов граничных условий основанная на простейшем алгоритме решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с различными граничными условиями, реализуется в три последовательных этапа:

• Первый этап заключается в выполнении спектральной интерполяции в правой части уравнения для узлов Гаусса-Лобатто путем умножения транспонированной матрицы Чебышева на вектор интерполяционных коэффициентов функции;

• вычисление тех коэффициентов решения (кроме двух первых), которые определяются дифференциальными условиями задачи (решение должно удовлетворять дифференциальным условиям), путем умножения вектора интерполяционных коэффициентов функции дважды на матрицу антидифференцирования (спектрального интегрирования)

• доопределение коэффициентов решения на основе граничных (или других независимых дополнительных) условий.

Метод интегрирующего множителя в применении к уравнению ЛОДУ второго порядка общего вида формирует двухэтапный способ решения задачи, сохраняющий все преимущества ММЧК.

Метод понижения порядка (редукция Даламбера) позволяет получить второе независимое решение при имеющемся первом независимом решении.

Положения, выносимые на защиту

• Предложен, реализован и протестирован прямой модифицированный метод Чебышевской коллокации решения ЛОДУ второго порядка с помощью матриц дифференцирования и антидифференцирования.

• Разработан модифицированный метод Чебышевской коллокации приведения ОДУ первого порядка к виду полной производной.

• Разработан модифицированный метод Чебышевской коллокации приведения ЛОДУ второго порядка к виду полной производной с линейным потенциалом.

• Предложен экономичный метод решения начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности с различными краевыми условиями модифицированным методом Чебышевской коллокации.

Степень достоверности

Достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается использованием строгих математических методов, а также сравнением с известными точными решениями или с результатами, полученными другими авторами

Апробация результатов исследования

Результаты неоднократно докладывались на заседаниях Научного семинара по Математическому моделированию Института компьютерных наук и телекоммуникаций РУДН по математическому моделированию в 202425 гг. и на трех конференциях:

• Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2022). Материалы XXI Международной конференции имени А.Ф. Терпугова. Томск, 2023.

• Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем. Материалы Всероссийской конференции с международным участием. Москва, 2024.

• Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем. Материалы Всероссийской конференции с международным участием. Москва, 2025.

Личный вклад автора

• Реализован модифицированный метод Чебышевской коллокации решения граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с использованием Чебышевских матриц дифференцирования и интегрирования.

• Реализован модифицированный метод Чебышевской коллокации решения начально-краевой задачи для одномерного параболического уравнения с помощью разбиения на две вспомогательные задачи: краевая задача для неоднородного уравнения Пуассона и однородная задача с нулевыми граничными условиями для параболического уравнения.

• Обоснован и реализован метод построения полной системы решений ОДУ второго порядка методом Даламбера (понижения порядка).

Публикации по теме диссертации В публикациях, цитируемых в международных базах цитирования.

овецкий К.П., Кулябов Д.С., Севастьянов Л.А., Сергеев С.В. Многостадийный численный метод коллокаций решения ОДУ второго порядка // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная т

е 2. K. P. Lovetskiy, D. S. Kulyabov, L. A. Sevastianov, S. V. Sergeev, Chebyshev collocation method for solving second order ODEs using integration matrices, Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science 31 02) (2023) 150-163. DOI: 10.22363/2658-4670-2023-31-2-150-163. (SCOPUS Q4) Bivastianov L. A., Lovetskiy K. P., Kulyabov D. S., Sergeev S. V. Numerical solution of first-order exact differential equations by the integrating factor method [Севастьянов Л. А., Ловецкий К. П., Кулябов Д. С., Сергеев С. В. Численное иешение дифференциальных уравнений первого порядка в полных дифференциалах методом интегрирующего множителя] // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. нИ

ф 4. Lovetskiy K. P., Sergeev S. V., Kulyabov D. S., Sevastianov L. A., Application of the Chebyshev collocation method to solve boundary value problems pf heat conduction, Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science 32 (1)(2024)74-85.D0I: 10.22363/2658-4670-2024-32-1-74-85. м 5. Lovetskiy K. P., Malykh M. D., Sevastianov L. A., Sergeev S. V., Solving a two-point second-order LODE problem by constructing a complete system rf solutions using a modified Chebyshev collocation method. Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science. 2024. Т. 32. № 4. С. 414424. doi: 10.22363/2658-4670-2024-32-4-414-424. edn: DHGEBY (2024). (SCOPUS Q4)

Т В работах, опубликованных в материалах конференций

№ецкий К.П., Кулябов Д.С., Севастьянов Л.А., Сергеев С.В. Многостадийный

численный метод коллокаций решения оду второго порядка. В сборнике:

¡Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-

43

Материалы XXI Международной конференции имени А.Ф. Терпугова. Томск,

7. С. В. Сергеев. Решение начально-граничной задачи теплопроводности методом чебышевской коллокации // Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем. Материалы Всероссийской конференции с международным участием. Москва, 2024. С. 336-340.

8. Сергеев С.В. О решении ЛОДУ второго порядка модифицированным методом Чебышевской коллокации, Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем. Материалы Всероссийской конференции с международным участием. Москва, 2025. С. 423-426.

• Полнота изложения материалов диссертации в работах, опубликованных соискателем.

Основные результаты диссертационного исследования отражены в 8 работах, в том числе в 5 изданиях, входящих в международные базы данных Scopus/Web of Science, общим объемом 74 стр. (автору принадлежит 63 стр.).

Глава 1. Задача теплопроводности и метод Чебышевской

коллокации

1.1. Моделирование процессов теплопроводности

Для описания процесса теплопроводности вначале была построена модель, которая не учитывала скорости распространения энергии из одной точки системы в другую, в виде дифференциального уравнения параболического типа. Впоследствии, рядом авторов (Фок В.А., Давыдов В.И., Катанео К. и др.) с учетом дополнительных членов было выведено уравнение переноса гиперболического типа. Дальнейшее изучение явления теплопроводности привело к новым усложнениям описывающих его дифференциальных уравнений с обобщенными граничными условиями. В совокупности этот набор начально-граничных задач для уравнений в частных производных образует яркий пример иерархии моделей в концепции акад. Самарского А.А. «математического моделирования и вычислительного эксперимента».

Уравнения состояния, связывающие диссипативные потоки тепла и массы с соответствующими термодинамическими силами (градиентами температуры или концентрации), известны как закон Фурье-Фика, который в одномерном случае задается следующим образом:

Лгр

„ = -Л- (1.1)

где ц — поток тепла (массы), Т — температура (концентрация), к — теплопроводность (коэффициент диффузии). Уравнение (1.1) справедливо для условий локального равновесия и приводит к уравнению переноса параболического типа

д2и ди

к—^(х^)=—(х^),0<х<Ь^>0 (11а)

ох2 дЬ

которое подразумевает, что высокочастотные сигналы распространяются с бесконечной скоростью. Наиболее простая и известная модификация

уравнения (1.1), учитывающая отклонение от локального равновесия и преодолевающая парадокс бесконечной скорости, имеет вид [26-29]

дя дТ

1+*ш=-лтх (12)

где т - время релаксации к локальному равновесию. Модифицированный закон Фурье-Фика (МЗФ), уравнение (1.2), дает уравнение переноса гиперболического типа [26-29]:

дТ д2Т д2Т

--+т-= а--(1.3)

д1+ д12 дх2

где а = Х/с-температуропроводность (коэффициент диффузии), с - удельная теплоемкость.

Гиперболическое уравнение переноса, уравнение (1.3), расширяет область применимости неравновесной термодинамики на обширную область явлений - от фазовых превращений до биосистем, где локальные неравновесные эффекты имеют значение [26-39]. Существует впечатляющее количество литературы по MFL, уравнению (1.2), и гиперболическому уравнению, уравнению (1.3), где их обычно называют уравнениями «Каттанео» из-за работы Каттанео, опубликованной в 1948 году [40]. В контексте теории переноса тепла и массы гиперболическое уравнение переноса было получено гораздо раньше несколькими авторами [41,42].

Модельное уравнение распространения тепла в стержне.

Каноническим математическим описанием процессов теплопроводности служит параболическое дифференциальное уравнение, относящееся к классу уравнений с частными производными, моделирующих эволюционные физические процессы. В качестве характерного примера можно рассмотреть одномерный случай распространения тепла в линейном проводнике конечной протяженности (стержень, тонкая проволока), динамика которого иллюстрируется уравнением вида:

д2и ди

k—^ix.t) +F(x,t) = —(x,t),0 <x<L,t>0. (1-4)

дх2 dt

Оно описывает изменение температуры металлического стержня конечной длины в зависимости от времени. Будем считать, температура в пределах каждого элемента поперечного сечения внутри стержня длиной L (см. рис. 1-1) одинакова. Для достижения такого эффекта необходимо, чтобы стержень был идеально изолирован на своей боковой поверхности. Функция и(х, t) представляет собой температуру в точке x вдоль стержня в некоторый момент времени t. Предполагается, что константа k (коэффициент теплопроводности) определяется свойствами материала, из которого состоит стержень.

Поскольку решения уравнения (1-4) зависят от времени t, мы считаем известным состояние изучаемой системы в момент t = 0; то есть мы можем задать начальные условия. Если f(x) обозначает начальное распределение температуры по всему стержню (рис. 1-1), то решение u(x, t) уравнения (1-4) должно удовлетворять единственному начальному условию u(x, 0) = f(x), 0 <x < L-

Рис. 1.1- Распространение тепла в цилиндрическом стержне.

Часто встречающимся случаем граничных условий для параболических уравнений теплопроводности выступает задание начального температурного профиля вдоль упругого проводника конечной длины:

u(x, 0) = f(x),

а также описание условий, влияющих на температуру на концах стержня.

Например, если концы удерживаются при постоянных температурах иг и и2, тогда граничные условия имеют вид

и(01г) = и1 и и(1,г) = и2,

и распределение тепла в стержне с течением времени стремится к равновесному состоянию

и2-и1

I ити(х,£) = и± +--х.

t

Если концы стержня изолированы, то есть теплообмен на концах отсутствует, тогда граничные условия будут выглядеть следующим образом:

йи йи

— (0,0 = 0и — (1,0 = 0. ах ах

В этом случае тепло от стержня не уходит и в предельном случае температура на стержне постоянна.

При решении системы (1.4) используются три категории граничных режимов. На границе области определяется значение одного из следующих физико-математических параметров:

ди ди

( Г)и, ( IV) — , или(11¿)-—+ Ки, гдеК — константа. оп оп

Здесь через ди/дп обозначена нормальная производная решения и(х,€) по направлению, перпендикулярному границе. Граничные условия делятся на три основных типа: условия Дирихле (первый тип (I)), условия Неймана (второй тип (11)) и условия Робина (третий тип (111)).

В контексте уравнения теплопроводности при t > 0 типичное граничное условие на правом конце стержня рис. 1.1 может быть таким:

( I)' и(Ь, €) = и0 и0 = сопб1

ди

= 0

х=Ь

(и)' дх

д и

^ д,X

= —к(и(Ь, €) — ит) к > 0 А итсопБ1

х=Ь

Условие (I) интерпретируется как требование постоянства температуры на границе при х = Ь: в течение всего периода времени при I > 0 данная граница поддерживается при температуре и0.

Что касается условия (И), оно отражает ситуацию, при которой край стержня с координатой х = Ь не допускает теплообмена с окружающей средой, то есть является изолированным. Согласно установленному в экспериментальной практике закону теплопроводности, тепловой поток — количество тепла, проходящее через поверхность за единицу времени на единицу площади, — прямо зависит от значения нормальной производной ди/дп функции температуры и. В условиях полной теплоизоляции при х = Ь данная производная обращается в нуль, что указывает на отсутствие поступления тепла внутрь тела или его выхода наружу через эту границу.

д и д х

= 0.

х=Ь

Граничное условие (ш) описывает ситуацию, при которой тепловая энергия покидает правый конец стержня в результате контакта с внешней средой (например, с воздухом или водой), обладающей неизменной температурой. В соответствии с законом охлаждения Ньютона интенсивность теплопередачи от поверхности стержня наружу определяется как величина, прямо пропорциональная разности температур между значением и(Ь, £), характеризующим температуру на границе, и постоянной температурой окружающей среды ит.

Сформулируем граничное условие, описывающее процесс теплоотдачи на левом конце стержня:

ди дх

= К(и(0,0 — ит)

х=0

Физическое обоснование символа справа основано на стандартном предположении, что температура стержня выше температуры окружающей среды, т.е. и(0, €) > ит. А при х = 0 и х = Ь следовательно, пространственные производные температуры на вершине струи должны иметь противоположные знаки:их(0, и их(Ь,0 должны быть положительным и что соответствует физике теплопередачи на границе.

Конечно, на концах стержня мы можем одновременно задавать разные условия. Например, мы могли бы иметь

ди дх

= 0 А и(Ь, О =и0,г> 0.

х=0

Заметим, что граничное условие в (Ь)' однородно, если и0 = 0; если и0 ^ 0, то граничное условие неоднородно. Граничное условие (И)' однородно; (Ш)' однородно, если ит = 0, и неоднородно, если ит ^ 0.

1.2. Спектральные методы, методы коллокации

В диссертации в качестве вспомогательных рассматриваются граничные задачи (с граничными условиями всех трех типов на левой и правой границах рассматриваемого интервала) для уравнения Пуассона, начально-граничные задачи для параболического уравнения, для параболического уравнения с дополнительными членами. Уравнение Пуассона решается различными исследователями конечно-разностными методами, проекционными методами и многими другими. Уравнение теплопроводности решается с помощью разделения переменных конечно-разностными методами в отечественных работах (см., например, [43, 44]), а на западе предпочтение отдают псевдоспектральным методам и методам коллокации (см., например, [1,2, 4-7, 12, 16]). Эти методы обладают рядом достоинств, и мы займемся их развитием

для решения начально-граничных задач для параболических уравнений с дополнительными членами.

Методы Чебышевской коллокации особенно хороши тем, что обеспечивают экспоненциальную сходимость в классе гладких решений (см., например, [13-15] и др.).

Так в классе спектральных методов согласно результатам теории аппроксимации наилучшее приближение в метрике 1Г (и почти наилучшее в метрике Ь2) обеспечивают полиномы Чебышева. Отталкиваясь от этого преимущества полиномов Чебышева, а также учитывая вычислительную простоту и эффективность вычисления их значений в произвольной точке заданного интервала и пересчета значений в точке полиномов более высокого порядка через вычисленные значения полиномов более низких порядков, была предпринята попытка построения полной и замкнутой конечномерной алгебраической модели, приближающей исходную непрерывную модель достаточно близко.

В основе рассматриваемых численных подходов лежит идея замещения искомых функций, включая решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), полиномиальными представлениями. Среди возможных вариантов аппроксимации наибольшее преимущество демонстрируют полиномы Чебышёва, обладающие оптимальностью в метрике Ц° и близкой к оптимальной точности в норме Ь2 [11-14, 15]. Метод коллокации, применяемый для определения коэффициентов разложения по данным полиномам, позволяет достигать высокой степени приближения даже при ограниченном числе слагаемых. Дополнительно, использование трёхчленных рекуррентных соотношений даёт возможность эффективно и с высокой точностью вычислять значения полиномов Чебышёва в произвольных точках области определения решений

Спектральные методы представляют собой обширный класс численных подходов, широко применяемых в прикладной математике для

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сергеев Степан Викторович, 2026 год

Литература

1. Orszag, S. A. 1971. Numerical simulation of incompressible flows within simple boundaries. 1. Galerkin (spectral) representations. Stud. in Appl. Math. Vol. L, No.4, pp. 293-327.

2. Steven A. Orszag, 1972 Comparison of Pseudospectral and Spectral Approximation. Stud. in Appl. Math. Vol. LI, No.3, pp. 253-259.

3. Gottlieb, D. and Orszag, S. A. (1977). Numerical analysis of spectral methods. SIAM.

4. David Gottlieb, Steven A. Orszag, Eli Turkel. Stability of Pseudospectral and Finite-Difference Methods for Variable Coefficient Problems. Mathematics of Computation, Vol. 37, No. 156 (Oct., 1981), pp. 293-305

5. C. Canuto and A. Quarteroni. Error Estimates for Spectral and Pseudospectral Approximations of Hyperbolic Equations SIAM J. NUMER. ANAL. Vol. 19, No. 3, 1982 pp. 629-642.

6. Canuto, C., Hussaini, M. Y., Quarteroni, A., and Zang, T. A. (1988). Spectral methods in FLuid Dynamics. Springer Verlag.

7. Canuto, C.; Hussaini, M.Y.; Quarteroni, A.; Zhang, T.A. Spectral Methods: Fundamental in Single Domains; Springer: Berlin/Heidelberg, Germany, 2006.

8. Brunner, H. Collocation Methods for Volterra Integral and Related Functional Differential Equations; Cambridge University Press: Cambridge, UK, 2004

9. L. GREENGARD. SPECTRAL INTEGRATION AND TWO-POINT BOUNDARY VALUE PROBLEMS. SIAM J. NUMER. ANAL. Vol. 28, No. 4, pp. 1071-1080, August 1991

10. A. Amiraslani, R. M. Corless, and M. Gunasingam, "Differentiation matrices for univariate polynomials," Numer. Algorithms, vol. 83, no. 1, pp. 1-31, Jan. 2020, doi: 10.1007/s11075-019-00668-z.

11.Kuan Xu. The Chebyshev points of the first kind. Applied Numerical Mathematics, 102:17-30, 2016. 10.1016/j.apnum.2015.12.002

12.J. Shen, T. Tang, and L.-L. Wang, Spectral Methods, vol. 41. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2011.

13.J. P. Boyd, Chebyshev and Fourier Spectral Methods: Second Revised Edition, Second Rev. Dover Books on Mathematics, 2013.

14.J. C. Mason and D. C. Handscomb, Chebyshev Polynomials, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2003

15.L. N. Trefethen, Spectral Methods in MATLAB. 2000.

16.Fornberg B. A Practical Guide to Pseudospectral Methods. Cambridge: Cambridge University Press, 1996.

17.Deano, A., Huybrechs, D. and Iserles, A. (2017), Computing highly oscillatory integrals, Vol. 155, SIAM.

18.G. Maierhofer, A. Iserles and N. Peake. An extended Filon-Clenshaw-Curtis method for high-frequency wave scattering problems in two dimensions. 2020 arXiv preprint arXiv:2006.05551

19.Iserles, A., Maierhofer, G. An accelerated Levin-Clenshaw-Curtis method for the evaluation of highly oscillatory integrals. Bit Numer Math 65, 36 (2025). https://doi.org/10.1007/s10543-025-01079-4

20.S. Ndayisenga, L. A. Sevastianov, K. P. Lovetskiy, Finite-difference methods for solving 1D Poisson problem, Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science 30 (1) (2022) 62-78. DOI: 10.22363/26584670-2022-30-1-62-78.

21.K. P. Lovetskiy, D. S. Kulyabov, A. W. Hissein, Multistage pseudo-spectral method (method of collocations) for the approximate solution of an ordinary differential equation of the first order, Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science 30 (2) (2022) 127-138. DOI: 10.22363/26584670-2022-30-2-127-138

22.Sevastianov, L. A., Lovetskiy, K. P. & Kulyabov, D. S. A new approach to the formation of systems of linear algebraic equations for solving ordinary differential equations by the collocation method. Russian. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics 23, 36-47.doi:10.18500/1816-9791 -2023-23-1 -36-47 (2023).

23.Sevastianov, L. A., Lovetskiy, K. P. & Kulyabov, D. S. Multistage collocation pseudo-spectral method for the solution of the first order linear ODE Russian. in 2022 VIII International Conference on Information Technology and Nanotechnology (ITNT) (2022), 1-6.

doi:10.1109/ITNT55410.2022.9848731.

24.Lovetskiy, K. P., Sevastianov, L. A., Kulyabov, D. S. & Nikolaev, N. E. Regularized computation of oscillatory integrals with stationary points.

Journal of Computational Science 26, 22-27. doi:10.1016/j.jocs.2018.03.001 (2018).

25.Lovetskiy, K. P., Sevastianov, L. A., Hnatic, M. & Kulyabov, D. S. Numerical Integration of Highly Oscillatory Functions with and without Stationary Points. Mathematics 12, 307. doi:10.3390/math12020307 (2024)

26.D.D. Joseph, L. Preziosi, Heat waves, Rev. Mod. Phys. 61 (1989) 41-73.

27.D.D. Joseph, L. Preziosi, Heat waves, Rev. Mod. Phys. 62 (1990) 375-391.

28.D. Jou, J. Casas-Vázquez, G. Lebon, Extended Irreversible Thermodynamics, Springer, Berlin, 2010.

29.F. Xu, S. Moon, X. Zhang, L. Shao, Y.S. Song, U. Demirci, Multi-scale heat and mass transfer modelling of cell and tissue cryopreservation, Phil. Trans. R. Soc. A 368 (2010) 561-583, https://doi.org/10.1098/rsta.2009.0248.

30.Y. Guo, M. Wang, Phonon hydrodynamics and its applications in nanoscale heat transport, Phys. Rep. 595 (2015) 1-44.

31.V.A. Cimmelli, Different thermodynamic theories and different heat conduction laws, J. Non-Equilib. Thermodyn. 34 (2009) 299-333.

32.P. Ván, T. Fülop, Universality in heat conduction theory: weakly nonlocal thermodynamics, Ann. Phys. (Berlin) 524 (2012) 470-478, https://doi.org/ 10.1002/andp.201200042.

33.H.G. Weiss, Some applications of persistent random walks and the telegrapher's equation, Physica A 311 (2002) 381-410.

34.V. Méndez, S. Fedotov, W. Horsthemke, Reaction-Transport Systems: Mesoscopic Foundations, Fronts, and Spatial Instabilities, Springer, Berlin, 2010.

35. V. Zaburdaev, S. Denisov, J. Klafter, Lévy walks, Rev. Mod. Phys. 87 (2015) 483- 530.

36.Z.M. Zhang, Nano/Microscale Heat Transfer, McGraw-Hill, New York, 2007.

37.S.L. Sobolev, Transport processes and traveling waves in systems with local nonequilibrium, Sov. Phys. Usp. 34 (1991) 217-229.

38.S.L. Sobolev, Nonlocal diffusion models: application to rapid solidification of binary mixtures, Int. J. Heat Mass Transf. 71 (2014) 295-302, https : //doi.org/ 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2013.12.048.

39.S.L. Sobolev, Rapid phase transformation under local non-equilibrium diffusion conditions, Mater. Sci. Technol. 31 (2015) 1607-1617, https://doi. org/10.1179/1743284715Y.0000000051.

40.C. Cattaneo, Sulla conduzione del calore, Atti Seminario Mat. Fis. Univ. Modena 3 (1948) 83-101.

41.V.A. Fock, The solution of a problem of diffusion theory by the method of finite differences and its application to the diffusion of light, Trans.Opt. Inst. Leningrad 4 (1926) 1-31.

42.B.I. Davydov, Diffusion equation with the inclusion of molecular velocity, Dokl. Akad. Nauk SSSR 2 (1935) 474-475 (in Russian);

43.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ; 1999. 799 с. ISBN 5-211-04138-0

44.Самарский А.А., Михайлов А.П . Математическое моделирование: Идеи. Методы . Примеры . — 2-е изд., испр. — М.: Физматлит, 2001. — 320 с. — ISBN 5-9221-0120-Х

45.L. A. Sevastianov, K. P. Lovetskiy, and D. S. Kulyabov, "An effective stable numerical method for integrating highly oscillating functions with a linear phase," in Lecture Notes in Computer Science (including subseries Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioinformatics), vol. 12138 LNCS, 2020, pp. 29-43.

46.L. A. Sevastianov, K. P. Lovetskiy, and D. S. Kulyabov, "Numerical integrating of highly oscillating functions: effective stable algorithms in case of linear phase," Apr. 2021, Accessed: Oct. 08, 2021. [Online]. Available: http : //arxiv.org/abs/2104.03653.

47.Stable Spectral Methods for Time-Dependent Problems and the Preservation of Structure. Arieh Iserles, Foundations of Computational Mathematics, https://doi.org/10.1007/s 10208-024-09647-w

48.Jan S. Hesthaven, Sigal Gottlieb, and David Gottlieb. Spectral methods for time-dependent problems, volume 21 of Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 2007]

49.Ловецкий К.П., Севастьянов Л.А., Тютюнник А.А. Ускорение скорости сходимости метода чебышевской коллокации на основе алгоритма Кленшоу // Физические основы приборостроения. 2024. Т. 13. № 2(52). С. 58-64. DOI: 10.25210/jfop-2402-KZGYWS. EDN: KZGYWS

50.L. Greengard, "Spectral Integration and Two-Point Boundary Value Problems," SIAMJ. Numer. Anal., vol. 28, no. 4, pp. 1071-1080, Aug. 1991, doi: 10.1137/0728057.

51.Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников, Дифференциальные уравнения. Серия "Курс высшей математики и математической физики", выпуск 7. М.: Наука, 1980 - 231с.

52.S. E. El-gendi, "Chebyshev Solution of Differential, Integral and Integro-Differential Equations," Comput. J., vol. 12, no. 3, pp. 282-287, Aug. 1969, doi: 10.1093/comjnl/12.3.282.

53.L. N. Trefethen, "Is Gauss Quadrature Better than Clenshaw-Curtis?," SIAM

Rev., vol. 50, no. 1, pp. 67-87, Jan. 2008, doi: 10.1137/060659831.

54.B. K. Muite, "A numerical comparison of Chebyshev methods for solving fourth order semilinear initial boundary value problems," J. Comput. Appl. Math., vol. 234, no. 2, pp. 317-342, May 2010, doi: 10.1016/j.cam.2009.12.029.

55.N. Egidi and P. Maponi, "A spectral method for the solution of boundary

value problems," Appl. Math. Comput., vol. 409, p. 125812, Nov. 2021, doi: 10.1016/j.amc.2020.125812.

56.H. B. Keller, Numerical Methods for Two-Point Boundary Value Problems. Boston: Ginn-Blaisdell, 1968

57. J. F. Epperson, An Introduction to Numerical Methods and Analysis Ed. 2, Second. John Wiley & Sons, Inc, 2013.

58.Ловецкий К.П., Кулябов Д.С., Севастьянов Л.А., Сергеев С.В. Многостадийный численный метод коллокаций решения ОДУ второго порядка // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2023. No 63. С. 45-52. doi: 10.17223/19988605/63/6

59. J. P. Boyd and D. H. Gally, "Numerical experiments on the accuracy of the Chebyshev-Frobenius companion matrix method for finding the zeros of a truncated series of Chebyshev polynomials," J. Comput. Appl. Math., vol. 205, no. 1, pp. 281-295, Aug. 2007, doi: 10.1016/j.cam.2006.05.006.

60.Sevastianov, L. A. Multistage collocation pseudo-spectral method for the solution of the first order linear ODE / Sevastianov L. A., Lovetskiy K. P., Kulyabov D. S. // 2022 VIII International Conference on Information Technology and Nanotechnology (ITNT). - May 2022. - pp. 1-6. - DOI: 10.1109/ITNT55410.2022.9848731.

61.Tenenbaum, M. Solution of the Linear Differential Equation with Nonconstant Coefficients. Reduction of Order Method / Tenenbaum, Morris; Pollard, Harry // Ordinary Differential Equations: An Elementary Textbook for Students of Mathematics, Engineering and the Sciences. - New York: Dover. - 1963 . - pp. 248.

62.William, F.T. Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems / F.T. William // Faculty Authored and Edited Books & CDs. - A.T. Still University, 2013.

63.Jiri Lebl, Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers. https: //www.j irka. org/diffyqs/

64.Trench, William F., "Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems" (2013). Textbooks Collection. 8. https://digitalcommons.usf.edu/oa_textbooks/8

65.A.D. Polyanin and V.F. Zaitsev, Handbook of Ordinary Differential Equations: Exact Solutions, Methods, and Problems, CRC Press, Boca Raton-London, 2018.

66.Lovetskiy K. P., Sergeev S. V., Kulyabov D. S., Sevastianov L. A., Application of the Chebyshev collocation method to solve boundary value problems of heat conduction, Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science 32(1)(2024)74-85.DOI: 10.22363/2658-4670-202432-1-74-85

67. Севастьянов Л. А., Ловецкий К. П., Кулябов Д. С. Новый подход к формированию систем линейных алгебраических уравнений для решения обыкновенных дифференциальных уравнений методом коллокаций // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23, вып. 1. С. 36-47. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2023-23-1-36-47, EDN: BFDVVG

68.Lovetskiy, K.P., Kulyabov, D.S., Sevastianov, L.A., Sergeev, S.V. (2023) Multi-stage numerical method of collocations for solving second-order ODEs. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 63. pp. 45- 52. doi: 10.17223/19988605/63/6

69.K.P. Lovetskiy, D.S. Kulyabov, L.A. Sevastianov, S.V. Sergeev, Chebyshev collocation method for solving second order ODEs using integration matrices, Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science 31 (2) (2023) 150-163. DOI: 10.22363/2658-4670-2023-31-2-150-163.