Операторные свойства симметричных пространств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Лелонд, Ольга Владимировна

• Лелонд, Ольга Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лелонд, Ольга Владимировна

Введение.

Глава I. Основные обозначения и предварительные сведения.

Глава II. Вычисление нормы одного оператора в пространствах

Лоренца.

Глава III. Мультипликаторы рядов Фурье - Хаара.

§ 1. Точные и неточные пары пространств.

§ 2. Новый критерий безусловности системы Хаара в сепарабельном симметричном пространстве.

§ 3. Несепарабельность пространств [Е,Р]

§ 4. Ограниченность мультипликаторов в пространствах

Лоренца.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Операторные свойства симметричных пространств»

Теория симметричных пространств представляет собой одно из важных направлений функционального анализа. Значение этой теории определяется рядом обстоятельств. Многие пространства, рассматриваемые в анализе, являются симметричными (например, пространства (Г, £,//),

Лоренца, Марцинкевича, Орлича). Теория симметричных пространств служит мощным средством исследования конкретных пространств.

Симметричные пространства появились в работах по интерполяции линейных операторов и гармоническому анализу (см. [11], [25]) в конце 70-х годов. Итоги исследования линейных операторов в симметричных пространствах, и в частности, мультипликаторов по системе Хаара нашли отражение в ряде монографий и статей: [8], [9], [И], [12], [19], [25], [27], [28]. Результаты, связанные с мультипликаторами Фурье -Хаара, находят применение в теории интерполяции линейных операторов.

Диссертационная работа продолжает ряд исследований по теории линейных операторов в симметричных пространствах. Первая часть работы посвящена вычислению нормы специального билинейного оператора, действующего в пространствах р - суммируемых функций и Лоренца. Во второй части диссертации изучаются некоторые свойства симметричных пространств, связанные с мультипликаторами Фурье -Хаара.

Основное содержание диссертации изложено в главах II и III. Им предпослана глава I, в которой собраны основные обозначения и предварительные сведения, используемые в работе.

В главе II рассматривается оператор А, определяемый соотношением действующий в симметричном пространстве £[01]. Для нормы этого оператора справедлива оценка ||А\\Е<2.

В теореме 2.1 показано, что в случае, когда Е = Ьр> норма оператора А может быть вычислена по формуле

А\\1=2та{УрЛ-х,р\ 1</?<оо.

Пусть - вогнутая возрастающая непрерывная в нуле функция на [0,1], ^(0) = 0. Рассмотрим пространство Лоренца Л(<р) с нормой

1 о

Обозначим через Аа пространство Лоренца, построенное по функции = ^ (0 < « < 1). В теореме 2.2 доказывается, что г а Ч1"«

1 + 3«"1 ч У

В общем случае для пространства Лоренца К{(р) оказывается справедливой

Теорема 2.3. Если для некоторого 0 < £ < 1 выполнено

1+е<т<2-е, о<г<—, т 2' то М11а(„<2.

Далее в теореме 2.4 устанавливается достаточное условие для выполнения равенства || Л||Л(9)=2. Таким условием является

5^-2.

В теореме 2.5 показано, что если функция ф{{) строго возрастает на [0,1] и

-»о (р{1) то для выполнения равенства IIЛ ||Л(<г,)= 2 необходимо и достаточно, чтобы

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лелонд, Ольга Владимировна, 2004 год

1. Берг И. Интерполяционные пространства. Введение / И. Берг, И. Лёф-стрём.-М.: Мир, 1980.-264 с.

2. Брыскин И. Б. Мультипликаторы рядов Фурье Хаара / И.Б. Брыскин, О.В. Лелонд, Е.М. Семёнов // Сибирский математический журнал. -2000. -Т.41, №4. - С. 758-766.

3. Бухвалов A.B. Банаховы решётки некоторые банаховы аспекты теории / A.B. Бухвалов, А.И. Векслер, Г.Я. Лозановский. - УМН. -1979. -Т.34, №2. - С. 137- 183.

4. Голубов Б. И. Ряды Фурье по системе Хаара / Б.И. Голубов // Математический анализ.-М.: ВИНИТИ, 1971.-С. 109- 146. (Итоги науки).

5. Ерофеева О. В. (Лелонд О. В.) Вычисление нормы одного оператора в пространствах Лоренца / О.В. Ерофеева // Труды математического факультета. Воронеж, 1997. - №2. - С. 14- 18.

6. Зигмунд А. Тригонометрические ряды : в 2-х т. / А. Зигмунд ; пер. с англ. -М.: Мир, 1965.-Т.2.-537 с.

7. Канторович Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. 2-е изд., перераб. - М.: Наука, 1977. - 742 с.

8. Кашин Б.С. Ортогональные ряды / Б.С. Кашин, А.Л. Саакян. М.: Наука, 1984.-496 с.

9. Кротов В.Г. О безусловной сходимости рядов Хаара в Л^ / В.Г. Кротов // Мат. заметки. 1978. - Т. 5, №23. - С. 685-695.

10. Лелонд О.В. Мультипликаторы рядов Фурье Хаара в пространствах Лоренца / О.В. Лелонд // Проблемы математического образования и культуры : сб. тез. международн. научн. конф. - Тольятти, 2003. - С. 18-19.

11. Лелонд О.В. Точные пары пространств / О.В. Лелонд // Предметно методическая подготовка будущего учителя математики, информатики и физики : сб. ст. Всеросс. научн. конф. -Тольятти, 2003. - С. 84-89.

12. Лелонд О. В. О несепарабельных пространствах E,F~\ / О. В. Лелонд // Воронежская зимняя математическая школа — 2004. — Воронеж, 2004. С. 68 — 69.

13. Новиков И .Я. Последовательности характеристических функций в симметричных пространствах / И.Я. Новиков // Сиб. мат. журн. 1983. - Т. 24,№2.-С. 193-196.

14. Функциональный анализ / М. Ш. Бирман и др.; под общ. ред. С. Г. Крейна. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1972. - 544 с.

15. Р. Эдварде. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдварде; пер. с англ. М.: Мир, 1969. - 1072 с.

16. Burkholder D.L. A nonlinear partial differential equation and unconditional constant of the Haar system in Lp / D.L. Burkholder // Bull. Amer. Math. Soc.-1982.-№7.-P. 591-595.

17. Carothers N.L. Geometry of Lorentz spaces via interpolation / N.L. Caro-thers, S.J. Dilworth // Functional analysis. Proc. 4th Annu. Semin., Austin / TX (USA), 1985-86. Austin, TX : University of Texas, 1986. P. 107-133.

18. Carothers N.L. Isometries on Ln, / N.L. Carothers, B. Turett // Transactions ofthe Amer. Math. Soc. 1986. - Vol. 297, № 1. - P. 95-103.

19. Creekmore J. Type and cotype in Lorentz Lp q spaces / J. Creekmore // Indag.Math. (N.S.) 1981. - Vol. 43, № 2. - P. 145-152.

20. Hunt R.A. On L(p,q) spaces / R.A. Hunt I IL' Enseignemcnt Math. 1966.12.-P. 249-276.

21. Lindenstrauss J. Classical Banach Spaces I. Sequence Spaces / J. Lindenstrauss, L. Tzafriri . Berlin : Springer - Verlag, 1977. - 190 pp.

22. Lindenstrauss J. Classical Banach Spaces II. Function Spaces / J. Lindenstrauss, L. Tzafriri. Berlin : Springer-Verlag, 1979. - 243 pp.

23. Luxemburg W.A. Banach Function Spaces / W.A. Luxemburg. Van Gorcum and C. Assen, 1955.-70 pp.

24. Novikov I. Haar series and linear operators / I. Novikov, E. Semenov // Dordrecht: Cluver Acad. Publ. 1997. - 218 pp.

25. Yano S. On a lemma of Marcinkiewicz and its applications to Fourier series / S. Yano // Tohoku Math. J. 1959. - № 11. - P. 191- 215.