Повышение эффективности обработки шумоподобных сигналов при одноканальном приеме на фоне внешних помех тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Кузьмин Евгений Всеволодович

• Кузьмин Евгений Всеволодович
• доктор наук
• 2025

Оглавление диссертации доктор наук Кузьмин Евгений Всеволодович

Введение

Глава 1. Современное состояние теории и техники обработки шумоподобных сигналов на фоне помех с неравномерным спектром в радиоэлектронных системах с одноканальным слабонаправленным и ненаправленным приёмом

1.1. Особенности и перспективы применения шумоподобных сигналов в информационно-измерительных радиоэлектронных системах

1.1.1. Ретроспектива и перспектива применения шумоподобных сигналов

1.1.2. Периодические шумоподобные сигналы информационно-измерительных радиоэлектронных систем

1.1.2.1. Шумоподобные сигналы с фазовой манипуляцией (БРБК)

1.1.2.2. Шумоподобные фазоманипулированные сигналы с дополнительной меандровой модуляцией (БОС)

1.1.2.3. Шумоподобные спектрально-эффективные частотно-манипулированные сигналы (ИБК)

1.2. Синтез новых форматов модуляции шумоподобных сигналов на основе атомарных функций

1.2.1. Описание финитного ир-импульса и его Фурье-спектра

1.2.2. Конструирование нового псевдослучайного ир-видеосигнала и сравнительный анализ его свойств с традиционным псевдослучайным видеосигналом на основе парциальных гей-импульсов и с псевдослучайным видеосигналом с дополнительной меандровой модуляцией

1.2.3. Синтез новых шумоподобных ир-сигналов с частными примерами спектрально-корреляционных свойств

1.2.3.1. Синтез и исследование фазоманипулированных шумоподобных ир-сигналов (ФМ-ир-ШПС, БРБК-ир)

1.2.3.2. Дополнительная иллюстрация к сравнению свойств ФМ-ир-ШПС со свойствами ФМ-ШПС и БОС(1,1)-ШПС

1.2.3.3. Квадратурная компоновка новых сигналов ФМ-ир-ШПС

1.3. Известные виды помех в радиоэлектронных системах рассматриваемого класса и обзор известных способов помехоподавления

1.3.1. Обзор литературы по вопросам обработки шумоподобных сигналов на фоне помех с неравномерным спектром

1.3.2. Узкополосные помехи и борьба с ними

1.3.2.1. Обзор исследований влияния узкополосных помех на качество обработки шумоподобных сигналов

1.3.2.2. Обзор известных способов нейтрализации узкополосных помех

1.3.3. Структурно-подобные (сигналоподобные) помехи

1.3.3.1. Обзор исследований влияния структурно-подобных помех на качество обработки шумоподобных сигналов

1.3.3.2. Обзор известных способов нейтрализации структурно-подобных помех

1.3.4. Общие требования к алгоритмам нейтрализации помех с неравномерным спектром при одноканальном ненаправленном приёме шумоподобных сигналов

1.3.5. Структура диссертационного исследования

Выводы по первой главе

Глава 2. Теоретический анализ частотных характеристик процедур корреляционной обработки сигналов - анализ преобразования внешнего гармонического сигнала с произвольными параметрами в типовых корреляционных процедурах обработки сигналов

2.1. Предпосылки к анализу частотных характеристик процедур корреляционной обработки и обсуждение особенностей его проведения

2.2. Примеры типовых устройств корреляционного типа и анализ их частотных характеристик

2.2.1. Аналитическое решение для скалярного произведения внешнего гармонического тестового сигнала и произвольного опорного сигнала на основе обобщенной формулы Рэлея. Случай одиночного опорного сигнала

2.2.2. Альтернативные формы записи частотных характеристик процедур корреляционной обработки при наблюдении за время одного периода опорного сигнала

2.2.3. Аналитическое решение для скалярного произведения внешнего гармонического тестового сигнала и произвольного опорного сигнала. Случай непрерывной группы (пачки) опорных сигналов

2.3. Скалярное произведение внешнего гармонического тестового сигнала и шумоподобного фазоманипулированного сигнала

2.3.1. Частотные характеристики типовых процедур корреляционной обработки при опорных шумоподобных фазоманипулированных сигналах. Общие условия получения частотных характеристик

2.3.2. Частотные характеристики одноканальных корреляторов и квадратурной корреляционной схемы

2.3.3. Частотные характеристики фазовых дискриминаторов

2.3.4. Частотные характеристики ранне-позднего временного дискриминатора. Формализация спектров опережающего и задержанного опорных фазоманипулированных сигналов, формируемых за счёт циклических сдвигов

2.4. Анализ частотных характеристик процедур квадратурной корреляционной обработки комплексных сигналов при реализации квадратурных корреляторов на основе прямого и обратного преобразования Фурье

2.4.1. Анализ частотных характеристик процедур корреляционной обработки при наблюдении за время одного периода опорного сигнала

2.4.2. Анализ частотных характеристик процедур корреляционной обработки при М-кратном увеличении времени накопления (интегрирования)

2.4.3. Вычислительная верификация проведённого анализа характеристик рассмотренных Фурье-процедур

2.5. Обсуждение результатов анализа

Выводы по второй главе

Глава 3. Статистическое исследование влияния узкополосных помех и шума на качество функционирования процедуры беспорогового поиска

шумоподобного сигнала

3.1. Обоснование выбора процедуры обработки шумоподобных сигналов для демонстрации эффективности мер по нейтрализации помех

3.1.1. Описание процедуры беспорогового поиска шумоподобных сигналов по задержке на основе прямого и обратного дискретного преобразования Фурье

3.1.2. Критерий качества процедуры беспорогового поиска шумоподобных сигналов по задержке и методика его определения

3.2. Статистическое исследование качества процедуры поиска шумоподобных сигналов на фоне шума приёмника и шума квантования

3.2.1. Вероятность правильного выполнения поиска шумоподобных сигналов по задержке на фоне шума приёмника

3.2.2. Вероятность правильного выполнения поиска шумоподобных сигналов по задержке на фоне шума приёмника и шума квантования

3.2.3. Обсуждение результатов исследования влияния шума квантования

3.3. Статистическое исследование качества процедуры поиска шумоподобных сигналов по задержке на фоне гармонической помехи, шума приёмника и шума квантования

3.3.1. Вероятность правильного выполнения поиска шумоподобных сигналов по задержке на фоне однотональной гармонической помехи, шума приёмника и шума квантования

3.3.2. Детали поведения вероятности правильного выполнения поиска шумоподобных сигналов по задержке на фоне однотональной гармонической помехи и шума приёмника

3.3.3. Вероятность правильного выполнения поиска шумоподобных сигналов по задержке на фоне многотональной помехи и шума

3.4. Обсуждение результатов

Выводы по третьей главе

Глава 4. Повышение эффективности нейтрализации интенсивных гармонических помех за счёт предварительных спектрально-пороговых, спектрально-поэлементных и спектрально-весовых преобразований

аддитивной смеси

4.1. Повышение эффективности спектрально-пороговой режекции гармонических помех

4.1.1. Спектрально-пороговый алгоритм режекции гармонических помех (и его преимущества в сравнении с оптимальным)

4.1.2. Повышение эффективности спектрально-порогового алгоритма режекции гармонических помех за счёт выбора весовой функции предварительного взвешивания аддитивной смеси

4.1.3. Результаты статистического исследования качества процедуры поиска шумоподобного сигнала на фоне гармонических помех при предварительном взвешивании наблюдений степенными вариациями весовой функции Хеннинга и последующей спектрально-пороговой режекции

4.2. Нейтрализация интенсивной гармонической помехи за счёт спектрально-весового оценивания её параметров

4.2.1. Спектрально-весовое оценивание параметров гармонической помехи при взвешивании наблюдений степенными вариациями весовой функции Хеннинга

4.2.2. Сравнительный анализ точности спектрально-весового оценивания параметров гармонического процесса при различных весовых функциях предварительного взвешивания

4.2.3. Результаты статистического исследования качества процедуры поиска шумоподобного сигнала на фоне гармонической помехи при её предварительной нейтрализации на основе спектрально-весового оценивания параметров

4.3. Исследование обобщённых показателей качества спектральных алгоритмов режекции гармонических помех при различных весовых функциях предварительного взвешивания аддитивной смеси

4.3.1. Показатели качества подавления гармонической помехи при последовательной поэлементной режекции спектральных отсчётов

4.3.2. Показатели качества подавления гармонической помехи при изменении её частотного положения

4.3.3. Повышение эффективности Фурье-режекции узкополосных помех при взвешивании реализаций неклассическими весовыми функциями

4.3.4. Результаты статистического исследования качества процедуры поиска шумоподобного сигнала на фоне гармонических помех при предварительном взвешивании наблюдений неклассическими весовыми функциями и последующей спектральной режекции

4.3.5. Обсуждение результатов исследования обобщённых показателей качества спектральных алгоритмов режекции гармонических помех и результатов

статистического исследования

Выводы по четвёртой главе

Глава 5. Нейтрализация внешних помех с неравномерным спектром на основе нерекурсивного алгоритма, а также за счёт его сочетания с техникой спектрально-весового оценивания

5.1. Нерекурсивный одноканальный алгоритм обработки сигналов на фоне помех и его модернизация

5.1.1. Векторно-матричная форма записи рассматриваемых процедур обработки сигналов

5.1.2. Формализация в векторно-матричной форме нерекурсивного алгоритма нейтрализации помехи с прямым методом вычисления весовых коэффициентов

5.1.2.1. Особенности формирования временной корреляционной матрицы по отсчётам классифицированной выборки аддитивной смеси помехи и шума

5.1.2.2. Обращение выборочной временной корреляционной матрицы, формируемой по отсчётам классифицированной выборки аддитивной смеси помехи и шума

5.1.3. Модификация нерекурсивного алгоритма нейтрализации помехи для задачи поиска ШПС по времени запаздывания на фоне внешней помехи и шума приёмника

5.1.4. Формализация нерекурсивного алгоритма. Случай неклассифицированной выборки

5.2. Анализ показателей качества процедуры нейтрализации помех при наличии и отсутствии классифицированной выборки

5.2.1. Обсуждение универсальных показателей качества одноканальной процедуры нейтрализации помех

5.2.1.1. Показатели качества процедуры нейтрализации помех при временной классифицированной выборке отсчётов аддитивной смеси

5.2.1.2. Показатели качества процедуры нейтрализации помех при временной неклассифицированной выборке отсчётов аддитивной смеси

5.2.2. Моделирование процедуры нейтрализации внешних помех при наличии и отсутствии классифицированной выборки

5.2.2.1. Методика тестирования процедуры нейтрализации внешних помех

5.2.2.2. Моделирование процедуры нейтрализации внешних помех. Случай воздействия узкополосной помехи

5.2.2.3. Моделирование процедуры нейтрализации внешних помех. Случай

воздействия структурно-подобной помехи

5.3. Варианты повышения робастности (нечувствительности) процедуры нейтрализации внешних помех с неравномерных спектром по отношению к непрерывной сигнальной компоненте

5.3.1. Новые методики обеспечения робастности процедуры нейтрализации внешних помех по отношению к сигнальной компоненте

5.3.1.1. Переборная методика отбора образующего вектора

5.3.1.2. Методика специального формирования корреляционной матрицы по отсчётам неклассифицированной выборки аддитивной смеси

5.3.2. Обсуждение состава структурных схем и особенностей экспресс-диагностики временного положения сигнала для реализации алгоритмов, квазиинвариантных по отношению к сигналу в выборке отсчётов аддитивной смеси

5.3.3. Результаты имитационного моделирования процедуры поиска

шумоподобного сигнала по времени запаздывания на фоне помех

5.3.3.1. Случай поиска шумоподобных сигналов по задержке на фоне гармонической помехи

5.3.3.2. Случай поиска шумоподобных сигналов по задержке на фоне структурно-

подобной помехи

5.4. Сочетание техник спектрально-весового оценивания параметров гармонической помехи и нейтрализации помех при формировании оценок выборочных временных корреляционных матриц по отсчётам выборок одноканальных наблюдений

5.4.1. Применение спектрально-весовых оценок параметров гармонической помехи для формирования оценочной выборочной временной корреляционной матрицы помехи

5.4.2. Результаты имитационного моделирования процедуры поиска по времени запаздывания шумоподобного сигнала на фоне гармонической помехи и шума приёмника при предварительной обработке аддитивной смеси на основе

сочетания рассмотренных техник

Выводы по пятой главе

Глава 6. Результаты экспериментов по практическому применению предложенных и модернизированных в диссертации алгоритмов в задачах

первичной и вторичной обработки шумоподобных сигналов

6.1. Экспериментальное исследование эффективности мер нейтрализации и цифрового воспроизведения узкополосных помех

6.1.1. Натурный эксперимент по регистрации и обработке физического шумоподобного сигнала

6.1.2. Натурный эксперимент по обработке аддитивной смеси физического шумоподобного сигнала и шума приёмника при регистрации на выходе радиочастотного тракта

6.1.3. Натурные эксперименты по нейтрализации гармонической помехи на основе спектральной режекции

6.1.4. Натурные эксперименты по нейтрализации гармонической помехи на основе спектрально-весового оценивания параметров помехи при регистрации аддитивной смеси на выходе радиочастотного тракта

6.2. Повышение эффективности вторичной обработки процессов, получаемых

в длительных сеансах приёма шумоподобных сигналов

6.2.1. Спектральная обработка измерений параметров шумоподобных сигналов, полученных при длительных сеансах наблюдения

6.2.2. Фурье-фильтрация измерений параметров шумоподобных сигналов, получаемых при длительных сеансах наблюдения. Анализ эффективности

фильтрации, результаты фильтрации

Выводы по шестой главе

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Приложение 1. Дополнительные пояснения к первой главе

Приложение 2. Дополнительные пояснения ко второй главе

Приложение 3. Дополнительные пояснения к третьей главе

Приложение 4. Дополнительные пояснения к четвёртой главе

Приложение 5. Дополнительные пояснения к пятой главе

Приложение 6. Акты об использовании результатов диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Повышение эффективности обработки шумоподобных сигналов при одноканальном приеме на фоне внешних помех»

Введение

Актуальность темы исследования. Многие современные радиоэлектронные системы (РЭС) функционируют на фоне различных помех, имеющих обширную классификацию [1], учитывающую механизм генерации, природу возникновения, форму Фурье-спектра, характер взаимодействия с полезным сигналом и другие многочисленные особенности [1-20]. Воздействие помех неизбежно оказывает влияние на фактические характеристики, обеспечиваемые РЭС, такие как дальность действия, точность оценивания параметров полезных сигналов, скорость передачи информации и др. В некоторых случаях воздействие помех приводит к невозможности функционирования РЭС либо к аберрационному функционированию [1; 2; 4; 5; 8; 9; 14; 21; 22]. Поэтому на данном этапе развития РЭС и в обозримом будущем одной из главных проблем их совершенствования является и будет являться обеспечение функционирования при неблагоприятных сигнально-помеховых условиях.

Широко распространённым и наглядным примером сложных условий функционирования являются информационно-измерительные РЭС навигационного типа с фазоманипулированными (ФМ) шумоподобными сигналами (ШПС), естественно маскируемыми собственным шумом радиочастотного тракта приёмника [14; 23-27]. Для РЭС данного класса, рассматриваемых в диссертационной работе, а также и для других РЭС, вынужденных функционировать со слабыми ШПС, риск снижения качества и утраты возможности функционирования возникает практически при любых внешних помехах, как правило, априорно неизвестных [4; 7; 14].

Радионавигационный план Российской Федерации (утв. 04.09.2019 г. приказом № 3296 Министерства промышленности и торговли Российской Федерации) содержит перечень зафиксированных и возможных помех, где указываются узкополосные одно- и многокомпонентные гармонические помехи (ГП, МП). Там же приведены ключевые направления технического развития и совершенствования систем радионавигации - повышение точности и повышение устойчивости функционирования на фоне помех [28].

Важность данных направлений бесспорна, в частности, для развития глобальных навигационных спутниковых систем (ГНСС) и наземных радионавигационных систем, особенно в наиболее часто встречающемся на практике случае функционирования приёмника с одиночными ненаправленными1 антеннами, что позволяет обрабатывать в приёмнике исключительно временные реализации смеси слабых ШПС, мощных помех и аддитивного белого гауссовского шума (АБГШ). Первичным и неотъемлемым этапом приёма ШПС является поиск, исключающий априорную неопределённость относительно времени запаздывания и сдвига частоты, что необходимо для реализации дальнейших этапов обработки. Комбинированное использование существующих и перспективных РЭС рассматриваемого класса, а также расширение номенклатуры используемых сигналов предопределяют высокие требования к процедуре поиска, которая должна обеспечивать высокий темп работы по широкому ансамблю слабых ШПС, что заметно усложняется при воздействии внешних помех. Таким образом, повышение устойчивости функционирования процедуры поиска слабых ШПС при воздействии высокоинтенсивных внешних помех является актуальной научно-технической проблемой, решение которой востребовано широкой практикой.

Степень разработанности темы исследования. Научно-технические запросы на разработку методов и средств борьбы с помехами закономерно появились практически одновременно с первыми РЭС из-за обнаруженной на практике их высокой уязвимости. Первыми широко известными научными «ответами» на данный вызов стали фундаментальные труды Н. Д. Папалекси и В. А. Котельникова, концентрирующие в себе изложение базовых принципов приёма сигналов на фоне помех, а также изучения их влияния на качество обработки [29; 30]. За восьмидесятилетний период развития методов и средств борьбы с помехами сформировались несколько соответствующих разработанных направлений.

1 Или слабонаправленными.

Следует отметить направление выбора сигнально-кодовых конструкций и вида модуляции ансамбля ШПС, которые в совокупности с корреляционной обработкой (согласованной фильтрацией) позволяют в ограниченных диапазонах превышения внешней помехи над сигналом обеспечивать удовлетворительное функционирование РЭС. Данное направление, традиционное для многих существующих и перспективных РЭС, развивалось В. Б. Алмазовым, Ф. Аморосо (F. Amoroso), Д. Е. Вакманым, Л. Е. Варакиным, Г. Ван Трисом (H. L. Van Trees),

B. П. Ипатовым, Г. В. Куликовым, В. А. Котельниковым, С. Б. Макаровым,

C. Пасупати (S. Pasupathy), В. И. Тихоновым, А. А. Харкевичем, И. А. Цикиным, Я. Д. Ширманом и многими другими исследователями. В данном случае имеет место риск восприимчивости практически к любой внешней помехе, возрастающий при превышении помехи над сигналом, что мотивирует к увеличению базы ШПС, например, за счёт длины псевдослучайной последовательности (ПСП) и выгодных свойств её автокорреляционной функции (АКФ). Данное направление востребовано, однако резервы его эффективности небезграничны, а часто и недостаточны. Вместе с тем синтез новых ШПС, позволяющих улучшить показатели качества РЭС хотя бы при безпомеховом фоне, востребован [15; 30-42].

Самодостаточным разработанным направлением по борьбе с внешними помехами является компенсационная обработка, предполагающая оценивание помехи и её последующее удаление из реализации аддитивной смеси ШПС, внешней помехи и шума. Данное направление существенно развито М. А. Быховским, В. В. Костровым, А. С. Котоусовым, С. И. Красногоровым, А. К. Морозовым, Н. Д. Папалекси, Ю. Н. Паршиным, А. И. Перовым, В. И. Поляковым, Ю. Г. Сосулиным, Б. Уидроу (B. Widrow), А. И. Фалько, В. В. Федининым, Я. Д. Ширманом и многими другими исследователями. Получили развитие одноканальные и многоканальные компенсаторы, отличающиеся умеренной эффективностью, что в совокупности с высокой сложностью не всегда позволяет рекомендовать их для практической реализации, особенно для РЭС с малым интервалом стационарности полезных ШПС и при априорной неизвестности вида помехи [8; 14; 16; 17; 29; 31; 40; 43-53].

Разработанным и эффективным направлением борьбы с внешними помехами является адаптивная обработка сигналов, множественная вариативность которой классифицируется иерархическим разделением «сверху» на пространственную адаптивную фильтрацию, реализуемую на основе антенных решёток и за счёт соответствующего алгоритмического инструментария, а также на исключительно временную адаптивную фильтрацию, оперирующую временными выборками аддитивной смеси. Заметный вклад в развитие данного направления внесён В. Б. Алмазовым, С. Апплебаумом (S. P. Applebaum), М. И. Ботовым, В. А. Вяхиревым, В. И. Джиганом, А. К. Журавлёвым, Н. Я. Кузем, А. П. Лукошкиным, В. Н. Манжосом, М. В. Ратынским, Р. Л. Стратоновичем, Б. Уидроу (B. Widrow), Я. Д. Ширманом и многими другими исследователями [10; 11; 14; 18; 20; 31; 43-50; 54-56]. Известно [20], что достижение на практике высоких показателей эффективности за счёт пространственной адаптивной фильтрации требует усложнения антенной системы, что не всегда возможно, а кроме того, требует преодоления многочисленных технико-технологических ограничений, что существенно усложняет и удорожает аппаратуру РЭС [20]. Временная адаптивная фильтрация, подходящая для аппаратуры РЭС с одним пространственным каналом приёма, потенциально эффективна, но требует усложнения и удорожания аппаратуры, при этом в реальных практических ситуациях может уступать спектральной обработке [14].

Направление борьбы с внешними помехами за счёт их спектральной обработки, основанной на переводе реализации в частотную область, спектральных преобразованиях, возвращениях к временной реализации, в последние два десятилетия получило заметное развитие, обусловленное появлением возможности для его практической реализации. Создаваемые Фурье-фильтры являются высокоэффективным инструментом для подавления одиночных и групповых узкополосных помех, часто встречающихся в практике функционирования РЭС со слабыми ШПС. Данное направление развивалось Р. В. Бакитько, Е. Н. Болденковым, В. В. Витязевым, С. Давидовиси (S. Davidovici), В. Ф. Кравченко,

Л. Е. Назаровым, В. П. Польщиковым, В. И. Пустовойтом, Г. И. Тузовым, Б. Уидроу (В. Widrow), Я. Д. Хацкелевичем, А. И. Шиловым и многими другими исследователями [14; 57-67; 69-75]. Реализация спектральной обработки позволяет организовать различные варианты подавления внешних узкополосных помех, в частности: спектрально-пороговую и спектральную поэлементную режекцию; спектрально-весовое оценивание (СВО) с последующей компенсацией; а также низкочастотную, полосовую и режекторную Фурье-фильтрацию с возможностью гибкой настройки и управления параметрами. Данное направление, благодаря своей реализуемости и эффективности, оказывается выигрышным для систем с одноканальным приёмом, особенно в случае использования прямого и обратного дискретного преобразования Фурье (ДПФ, ОДПФ) для решения одной из важнейших задач приёма ШПС - поиска, что актуально для мультисистемной аппаратуры РЭС, и позволяет использовать общий инструментарий для последовательно решаемых задач (подавление помех, целевая обработка). Отрицательные эффекты, возникающие при реализации спектральной обработки, нейтрализуются выбором весовой функции (ВФ) для предварительного взвешивания реализаций. Данный выбор открывает неисчерпанные возможности для повышения алгоритмической эффективности подавления узкополосных помех, что всегда востребовано практикой и исследовано автором диссертации [67; 69-75].

Таким образом, важными направлениями совершенствования информационно-измерительных РЭС, в том числе РЭС рассматриваемого класса, являются повышение устойчивости их функционирования на фоне помех, т.е. снижение их уязвимости к внешним помехам, а также повышение точности, что достигается выбором вида модуляции ШПС. Как в отдельности, так и в совокупности данные направления актуальны и востребованы практикой, поскольку позволяют повысить эффективность обработки непрерывных периодических ШПС на фоне внешних помех, что особенно важно при одноканальном приёме, т.е. при отсутствии практической возможности обеспечивать пространственную селекцию [7; 14; 21; 57-75].

Цель и задачи диссертационной работы

Цель работы - исследование и реализация алгоритмических резервов повышения эффективности подавления внешних помех для совершенствования РЭС, функционирующих при одноканальном ненаправленном приёме ШПС.

В диссертационной работе решены следующие задачи.

1. Проведение аналитических и вычислительных детальных статистических исследований влияния однотональной и многотональной гармонических помех на Фурье-процедуру поиска ШПС при различных сценариях частотной локализации помех и при учёте типовых технико-технологических ограничений.

2. Исследование алгоритмических резервов Фурье-режекции гармонических помех при взвешивании реализаций аддитивной смеси ШПС, помехи и шума оконными функциями из классического каталога, а также при использовании банка вариаций высоких порядков современных атомарных функций Кравченко, включая их комбинации с классическими.

3. Формализация процедуры спектрально-весового оценивания параметров гармонической помехи при взвешивании её реализации степенными вариациями весовой функции Хеннинга, исследование точности оценивания и применение данной процедуры для компенсации помехи.

4. Формализация нерекурсивного алгоритма подавления внешних помех, использующего обратные выборочные временные корреляционные матрицы неклассифицированной выборки аддитивной смеси полезного непрерывного ШПС с малым интервалом стационарности, помехи и шума, а также обеспечение его робастности по отношению к полезному ШПС.

5. Экспериментальная натурная и программно-имитационная верификация эффективности режекторной и низкочастотной Фурье-фильтрации при поиске ШПС в условиях воздействия интенсивных внешних помех и обработке временных рядов измерительной информации, полученной в длительных сеансах приёма непрерывных ШПС.

6. Разработка и изучение новых ШПС, основанных на модернизации формы чипов порождающего видеосигнала ПСП на базе атомарных функций, отличающихся выгодными спектрально-корреляционными свойствами в сравнении с традиционными ФМ-ШПС и имеющих ряд преимуществ перед современными ВОС-ШПС.

Объекты исследования. Процедуры обработки ШПС на фоне интенсивных внешних помех; шумоподобные сигналы и сигнально-помеховые ситуации в РЭС с ШПС.

Предмет исследования. Повышение помехоустойчивости выделения ШПС на фоне помех за счёт совершенствования алгоритмической эффективности предкорреляционной и дополнительной обработки.

Научная новизна

1. Впервые на основе обобщённой формулы Рэлея получены теоретические выражения для формализации скалярных произведений ШПС, порождаемых произвольными ПСП, и ГП с произвольными параметрами; получены отклики типовых корреляционных процедур на ГП при опорных ФМ-ШПС.

2. Установлены важные детали существенных (десятки процентов) периодических неравномерностей в спектрально-вероятностных зависимостях, представленных «квазиколебательным» и «чашеобразным» поведением и обнаружено: ГП одинаковой мощности при сравнительно малых отличиях спектрального положения способны оказывать заметно различное влияние на качество беспорогового поиска ШПС; на эффективность Фурье-процедуры поиска ШПС влияет эффект «растекания» спектра, приводящий к деформации соседних спектральных линий периодического ШПС.

3. Обнаружена аномальная перестановка вероятностных кривых в семействе зависимостей вероятности Р(дпс) правильного выполнения поиска ШПС от отношения «помеха/сигнал» дпс в области значений 0.9 < Р(дпс) < 1 при воздействии 2 < ^мп < 25 компонентов МП, объясняемая существенной трансформацией закона распределения помеховой компоненты при ^мп > 3.

4. Впервые изучено применение вариаций высоких порядков ВФ семейства Кравченко и комбинаций на их основе для режекции ГП и МП, достигнуты значительные показатели алгоритмической эффективности их подавления; существенно улучшены характеристики процедуры беспорогового поиска ШПС по задержке на фоне МП и ГП за счёт выбора ВФ предварительного взвешивания при спектрально-пороговой режекции и спектральной ранжированной поэлементной обработке смеси ШПС и помехи.

5. Достигнуты значительные алгоритмические характеристики подавления мощной ГП, доминирующей в смеси над полезным ШПС, за счёт применения спектрально-весового оценивания её параметров и последующей компенсации при предварительном взвешивании степенными вариациями ВФ Хеннинга.

6. Предложена новая методика обеспечения робастности нерекурсивного алгоритма нейтрализации помех, использующего временную выборочную корреляционную матрицу, по отношению к непрерывному полезному ШПС, присутствующему в неклассифицированной выборке наблюдений, доступной при одноканальном ненаправленном приёме.

7. Установленная в экспериментах эффективность Фурье-режекции ГП превосходит известные показатели, получаемые при одноканальном приёме и аналогичных применяемых мерах борьбы.

8. Впервые на основе чипов в виде финитных атомарных функций ир(0 сконструированы псевдослучайные видеосигналы, порождающие неограниченное количество новых ШПС, наследующих их выгодные свойства, обладающих спектрально-корреляционными преимуществами перед традиционными ФМ-ШПС и выигрывающих по ряду показателей у современных ВОС-ШПС.

Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическая значимость диссертационной работы заключается в следующем. Получены обобщённые и частные аналитические выражения для выходных эффектов процедур корреляционного типа на внешнюю ГП с произвольными параметрами, имеющими широкую область применимости при изучении влияния ГП и изучении особенностей частотных характеристик соответствующих процедур обработки, как при классическом исполнении, так и при современном, основанном на переходе в частотную область определения, а также с учётом наличия режима когерентного накопления. Обнаружены и объяснены аномалии в поведении спектрально-вероятностных зависимостей, характеризующих поиск ШПС на фоне многотональной помехи. Показаны неисчерпанные возможности повышения эффективности Фурье-режекции ГП и МП за счёт выбора ВФ предварительного взвешивания из банка классических и современных, используемых при ДПФ. Получены аналитические выражения для СВО параметров ГП при взвешивании реализаций степенными вариациями ВФ Хеннинга с произвольными целочисленными значениями показателя степени, реализованы высокоточное оценивание параметров ГП и её компенсация. Показана возможность повышения устойчивости РЭС со слабыми ШПС на фоне внешних узкополосных и структурно-подобных помех (СПП) за счёт нерекурсивного алгоритма, основанного на обратных выборочных временных корреляционных матрицах с размерностью, определяемой объёмом неклассифицированной выборки смеси за период, и новой методике обеспечения робастности по отношению к непрерывному ШПС, присутствующему в выборке. Выработаны предложения по синтезу новых семейств ШПС на основе видеосигналов ПСП с ир(&р)-чипами и изучены их свойства, превосходящие свойства традиционных ФМ-ШПС и имеющие преимущества перед свойствами ВОС-ШПС.

Практическая значимость диссертационной работы состоит в детализированном изучении неравномерности влияния ГП и МП на корреляционные процедуры обработки ШПС, что чрезвычайно важно для

практической проверки качества функционирования РЭС с ШПС при неблагоприятном помеховом фоне; повышении алгоритмической эффективности Фурье-режекции и точности спектрально-весовой компенсации ГП и МП, востребованных практикой функционирования многих современных РЭС; разработке реализуемых процедур нейтрализации внешних помех, робастных по отношению к полезному сигналу; фактической экспериментальной реализации обработки ШПС на фоне ГП с улучшенными характеристиками; повышении эффективности постобработки радиотехнической измерительной информации, регистрируемой аппаратурой РЭС в длительных сеансах приёма ШПС; в новых предложенных ШПС, позволяющих повысить потенциальную точность РЭС с ШПС. Результаты проведённых исследований соответствуют направлениям модернизации информационно-измерительных РЭС навигационного типа, определённым в Радионавигационном плане Российской Федерации, использованы в интересах АО «РЕШЕТНЁВ», ФГАОУ ВО «СФУ». Основные результаты диссертационной работы получены при выполнении НИР при поддержке стипендии Президента Российской Федерации (проект № СП-2538.2018.3); по заказу РФФИ (проект № 12-08-31097 мол_а); Минобрнауки России (проект № ГТ-2, госзадание СФУ); в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» и др.

Методы исследования

Для решения научных задач, изложенных в диссертационной работе, применены методы: математического анализа, включая интегральное исчисление, преобразование Фурье, обобщённую формулу Рэлея; имитационного и статистического моделирования; цифровой обработки сигналов, включая Фурье-обработку и спектрально-весовое оценивание; линейной алгебры и матричного анализа, включая способ обращения матриц по методу Шермана - Моррисона - Вудбери; теории оценивания параметров сигналов и случайных процессов, включая теорему Винера - Хинчина; натурных физических экспериментов и программной постобработки.

Положения, выносимые на защиту

1. Аналитические выражения для откликов типовых процедур корреляционной обработки ШПС на внешний гармонический сигнал (тестовый/помеховый), учитывающие интервал корреляционной обработки, связь откликов с параметрами внешнего и опорного сигналов, включая амплитуды, частоты, начальные фазы, а также вид и параметры ПСП, образующей опорный сигнал, позволяют осуществлять оценку влияния внешнего помехового сигнала на качество обработки.

2. Полученные спектрально-вероятностные панорамы детализируют неравномерность эффективности процедуры поиска ШПС на фоне ГП при её различном частотном положении, а также в условиях М-кратного когерентного накопления: при М > 1 количество спектральных позиций ГП между двумя соседними спектральными линиями периодического ШПС, при которых её влияние на обработку несущественно, оказывается равным М - 1.

3. Воздействие МП на канал беспорогового поиска ШПС при количестве помеховых компонентов 2 < Имп < 25, в сравнении со случаем однотональной и равномощной ей ГП, дополнительно снижает эффективность поиска ШПС, что при рассмотренных детерминированных и стохастических сценариях воздействия и условиях наблюдения выражается сужением рабочего диапазона отношений «помеха/сигнал» дпс до 2 дБ.

4. Применение кубической вариации ВФ Хеннинга для взвешивания реализаций смеси слабого ШПС, мощной ГП и шума позволяет: повысить алгоритмическую эффективность Фурье-режекции ГП и тем самым увеличить рабочий диапазон отношений «помеха/сигнал» до 40 дБ при беспороговом поиске ШПС с вероятностью правильного решения Р = 0.99 в условиях энергопотенциала дэп = 40 дБГц и М = 5 когерентных накоплений, в

сравнении с применением обоснованной другими авторами ВФ Парзена; получить значительные алгоритмические характеристики подавления мощной ГП дпс > 100 дБ за счёт применения спектрально-весового оценивания её параметров и последующей компенсации.

5. Применение вариаций высоких порядков ВФ из семейств Кравченко - Бернштейна - Рогозинского, Кравченко - Дольфа - Чебышева и Дольфа - Чебышева - Дворковича в сочетании с когерентным накоплением М > 5 при корреляционной обработке и типовых условиях приёма ШПС (#эп = 40 дБГц) дополнительно повышает алгоритмические возможности

предварительной режекции ГП и МП, что выражается дополнительным расширением рабочей области отношений «помеха/сигнал» при поиске ШПС не менее чем на 20 дБ, в сравнении с применением ВФ Хеннинга.

6. Предложенный одноканальный нерекурсивный алгоритм подавления помехи, основанный на выборочных временных корреляционных матрицах смеси, в сочетании с Фурье-процедурой поиска ШПС по времени запаздывания при единых требованиях к вероятности правильного выполнения поиска (Р = 0.9) позволяет повысить допустимый уровень превышения ГП над ШПС до 20 дБ и СПП (при различных ПСП сигнала и помехи) над ШПС до 9 дБ в сравнении с корреляционной процедурой за счёт обеспечения робастности по отношению к сигналу.

7. Экспериментально установлена возможность устойчивого поиска ШПС на фоне мощных внутриполосной и внеполосной ГП (дпс = 74 дБ) и шума (qэп = 40 дБГц) объединённого радиочастотного тракта мультисистемного приёмного устройства однотипных информационно-измерительных РЭС навигационного типа, что до 14 дБ превосходит известные показатели, получаемые при аналогичных спектральных мерах борьбы с ГП.

8. Новые предложенные ШПС обладают однопиковой АКФ с меньшей на 25 % протяженностью основания главного лепестка (выигрыш в 1,33 раза) и позволяют в сравнении с традиционными ФМ-ШПС повысить потенциальную точность измерения задержки до 1,6 раза (СКО), выигрывают у современных ВОС-ШПС компактностью спектра и более низким уровнем первого и высших боковых лепестков (-23 дБ, -41 дБ, -55 дБ) за счёт модернизации формы элементарных импульсов (чипов) порождающих псевдослучайных видеосигналов ПСП на основе функции ир(0 и семейства функций Кравченко 1ир(0.

Соответствие паспорту научной специальности

Научные результаты диссертации соответствуют направлениям исследований, включённым в паспорт научной специальности 2.2.16 «Радиолокация и радионавигация»: п. 4 - разработка и исследование методов синтеза и анализа радиолокационных и радионавигационных систем и устройств; п. 5 - синтез и анализ алгоритмов обработки сигналов и информации в радиолокационных и радионавигационных системах и устройствах; п. 13 - разработка и исследование методов и алгоритмов обработки радиосигналов и извлечения из них информации при воздействии помех; п. 14 - разработка и исследование помехоустойчивых систем и устройств в системах радиолокации и радионавигации; п. 15 - разработка и исследование методов защиты и разрушения информации в системах радиолокации и радионавигации; п. 20 - разработка и исследование физических, математических и гибридных имитационных моделей радиолокационных и радионавигационных систем и устройств.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность научных и практических результатов, достигнутых в диссертационной работе, обоснована фундаментальностью используемого аналитического описания радиотехнических объектов и процессов, а также корректностью применения соответствующего математического аппарата; совпадением и согласованием теоретически формулируемых оценок со статистическим моделированием и результатами экспериментальной практической отработки; непротиворечием полученных результатов и данных частным результатам других исследователей; публикациями в ведущих рецензируемых изданиях.

Апробация результатов диссертационной работы осуществлялась на следующих научно-технических мероприятиях: Всероссийская научно-техническая конференция «Радионавигационные технологии в приборостроении» (г. Туапсе, 2013 г.); XXIV, XXV и XXVI Международные

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Кузьмин Евгений Всеволодович, 2025 год

исп -*

Рисунок 3.10 - Панорама вероятностей правильного выполнения поиска ФМ-ШПС по задержке от нормированной частоты помехи юн =юп /ю0. Условия эксперимента: фиксированное отношение «помеха/сигнал» qпс = 35 дБ, энергетический потенциал qэп = 45 дБГц, интервал корреляционной обработки равен периоду ПСП Тс (М = 1), отношение / / /0 = 4. Случаи приёма ФМ-ШПС, порождаемого М-последовательностью (N = 511, чёрный фон) и кодом Голда (N = 1023, серый штрих-пунктир)

Как видно из рисунка 3.10, при неизменной интенсивности помехи её влияние на вероятность правильного поиска оказывается существенно неравномерным. Некоторые детали такой неравномерности представлены на рисунках 3.11 и 3.12, где показаны фрагменты зависимостей Р(юн),

изображённых на рисунке 3.10, для существенно более узкого интервала частот, примыкающего справа к центральной частоте спектра ФМ-ШПС [84].

Рисунок 3.11 - Фрагменты зависимостей вероятностей правильного выполнения поиска ФМ-ШПС по задержке от нормированной частоты помехи юн = юп / ю0. Условия эксперимента: фиксированное отношение «помеха/сигнал» qпс = 35 дБ, энергетический потенциал дэп = 45 дБГц, интервал корреляционной обработки равен периоду ПСП Тс (М = 1), отношение /д / f0 = 4. Случаи приёма ФМ-ШПС, порождаемого М-последовательностью (N = 511, чёрная линия) и кодом Голда (N = 1023, серый пунктир)

Рисунок 3.12 - Фрагменты зависимостей вероятностей правильного выполнения поиска ФМ-ШПС по задержке от нормированной частоты помехи шн = шп / ш0. Условия эксперимента: фиксированное отношение «помеха/сигнал» дпс = 35 дБ, энергетический потенциал дэп = 45 дБГц, интервал корреляционной обработки равен периоду ПСП Тс (М = 1), отношение /д / /0 = 4. Случаи приёма ФМ-ШПС, порождаемого М-последовательностью (N = 511, чёрная линия) и кодом Голда (N = 1023, серый пунктир)

Как видно из рисунков 3.11 и 3.12, при рассмотренной интенсивности помехи начальные участки зависимостей Р(шн) характеризуются быстрым

спадом (0 < Р < 1), переходящим в периодическое квазиколебательное поведение, реализующееся в окрестности значений вероятности 0 < Р < 0.5.

На рисунке 3.13 представлены фрагменты зависимостей Р(шн), полученных при отношении «помеха/сигнал» qпс = 20 дБ и прежних прочих условиях [84].

Рисунок 3.13 - Фрагменты зависимостей вероятностей правильного выполнения поиска ФМ-ШПС по задержке от нормированной частоты помехи шн =шп / ш0. Условия эксперимента: фиксированное отношение «помеха/сигнал» qпс = 20 дБ, энергетический потенциал qэп = 45 дБГц, интервал корреляционной обработки равен периоду ПСП Тс (М = 1), отношение /д / /0 = 4. Случаи приёма ФМ-ШПС, порождаемого М-последовательностью (N = 511, чёрная линия) и кодом Голда (N = 1023, серый пунктир)

На рисунке 3.14 представлены результаты статистического моделирования в виде зависимостей допустимого отношения «помеха/сигнал» Qпс (шн) от нормированной частоты помехи, при котором

сохраняется качество поиска на уровне Р = 0.99. Там же показан нормированный к максимальному значению амплитудный спектр (2.14) ПСП (N = 1023, код Голда), использованной для формирования ФМ-ШПС [84].

Рисунок 3.14 - Зависимость допустимого уровня энергетического превосходства Qпс помехи над сигналом от нормированной частоты помехи шн, при котором вероятность правильного выполнения поиска ФМ-ШПС по задержке Р = 0.99. Условия эксперимента: qэп = 45 дБГц, М = 1, /д / /0 = 4. Зависимость Qпс (шн) показана серым цветом; нормированный амплитудный спектр ПСП (код Голда, N = 1023) I &(шн) I показан чёрным цветом

На рисунке 3.15 представлена детализация поведения зависимостей ()пс (шн) в узком интервале частот, совмещённая с нормированным к

максимальному значению амплитудным спектром I &(шн )1 ПСП, как и на рисунке 3.14 [84].

¡0'-■--■-1-■-■-1 н

1.01 1.02 1.03

Рисунок 3.15 - Фрагменты зависимостей допустимых уровней энергетического превосходства <2пс помехи над сигналом от нормированной

частоты помехи шн, при которых вероятность правильного выполнения поиска ФМ-ШПС по задержке Р = 0.9 (серый пунктир) и Р = 0.99 (сплошная серая линия). Чёрной сплошной линией показан фрагмент нормированного амплитудного спектра I &(шн) I ПСП (код Голда, N = 1023). Условия эксперимента: дэп = 45 дБГц, М = 1, / //0 = 4

На рисунке 3.16 представлены зависимости Qпс (шн) в узком интервале частот, совмещённые с нормированными к максимальным значениям амплитудным спектрам I &(шн )1 ПСП, для случаев введения двух и трёх когерентных накоплений [84]. Зависимости, отмеченные литерой «а», соответствуют моделированию; зависимости с литерой «б» - результаты расчётов по (2.14) с использованием (2.9).

Рисунок 3.16 - Фрагменты зависимостей допустимых уровней энергетического превосходства Qпс помехи над сигналом от нормированной частоты помехи шн, при которых вероятность правильного выполнения поиска ФМ-ШПС по задержке Р = 0.99 (серый цвет). Чёрным цветом показаны нормированные амплитудные спектры I &(шн) I ПСП (код Голда, N = 1023). Условия эксперимента: qэп = 45 дБГц, М = 1 (зависимости 1), М = 2 (зависимости 2), М = 3 (зависимости 3), / //0 = 4

На рисунке 3.17 представлены зависимости ()пс(шн), аналогичные зависимостям на рисунке 3.16, но при большем количестве вариантов когерентного накопления (М = 1..8) [84]. Нумерация зависимостей соответствует количеству производимых когерентных накоплений.

Рисунок 3.17 - Фрагменты зависимостей допустимых уровней энергетического превосходства <2пс помехи над сигналом от нормированной частоты помехи шн, при которых вероятность правильного выполнения поиска ФМ-ШПС по задержке Р = 0.99. Условия эксперимента: qэп = 45 дБГц, /д / /0 = 4, для формирования ФМ-ШПС использован код Голда (N = 1023). Номера зависимостей 1..8 соответствуют М = 1..8

На рисунках 3.18 и 3.19 показаны спектрально-вероятностные «панорамы» Р (шп) - «панорамные» зависимости Р (шн), шн = шп / ш0, полученные при обработке ВОС(1,1)-ШПС (1.3). Число испытаний ^исп = 3 • 103. Оба рисунка получены при длине ПСП N = 511 и различных отношениях «помеха/ сигнал»: рисунок 3.18 соответствует qпс = 10 дБ (зависимость 1) и q = 20дБ (зависимость 2), а рисунок 3.19 - q = 35 дБ.

Рисунок 3.18 - Панорама вероятностей правильного выполнения поиска ВОС(1,1)-ШПС по задержке от нормированной частоты помехи шн =шп / ш0 Условия эксперимента: энергетический потенциал qэп = 45 дБГц; интервал корреляционной обработки равен периоду ПСП Тс (М = 1); отношение /д / /0 = 16; фиксированные отношения «помеха/сигнал» qпс = 10 дБ - зависимость 1, qпс = 20 дБ - зависимость 2. Случай приёма ВОС(1,1)-ШПС, порождаемого М-последовательностью (N = 511)

Рисунок 3.19 - Панорама вероятностей правильного выполнения поиска ВОС(1,1)-ШПС по задержке от нормированной частоты помехи шн = шп / ш0.

Условия эксперимента: фиксированное отношение «помеха/сигнал» дпс = 35 дБ, энергетический потенциал дэп = 45 дБГц, интервал

корреляционной обработки равен периоду ПСП Тс (М = 1), отношение /д / /0 = 16. Случай приёма ВОС(1,1)-ШПС, порождаемого М-последовательностью (N = 511)

Как видно из рисунков 3.18 и 3.19, влияние частоты помехи на вероятность правильного выполнения поиска является существенно неравномерным. Форма зависимостей Р (юн), как и для случая рассмотрения ФМ-ШПС (рисунок 3.10), напоминает «перевёрнутый» амплитудный Фурье-спектр, в данном случае спектр ВОС(1,1)-ШПС. Боковые лепестки данной зависимости проявляются тем сильнее, чем больше интенсивность помехи, а при значениях д < 10 дБ они оказываются слаборазличимыми.

В приложении 3.1 (рисунок П3.1) показаны фрагменты зависимостей Р(юн), изображённых на рисунках 3.18 (зависимость 2) и 3.19, но для

существенно более узкого интервала частот, примыкающего к центральной частоте ШПС. Число статистических испытаний, проведённых для их получения, установлено равным ^сп = 2 • 104. Кроме того, в приложении 3.1 в табличном виде выборочно даны вычислительные оценки средних значений вероятностей, а также СКО вероятностей правильного выполнения поиска, полученные в результате соответствующей обработки представленных спектрально-вероятностных «панорам» - панорамных зависимостей Р(юн), а также их фрагментов, полученных в окрестности центральной частоты ШПС.

3.3.3. Вероятность правильного выполнения поиска шумоподобных сигналов по задержке на фоне многотональной помехи и шума

В соответствии с публикациями [4; 28; 62; 69; 150; 165; 102; 104] практический интерес представляет рассмотрение случая одновременного воздействия нескольких гармонических помех - многотональной помехи Умп (t), являющейся суперпозицией из Nмп однотональных гармонических помех, частотное положение которых совпадает с полосой частот Фурье-спектра обрабатываемого ШПС. При этом изменяется второе слагаемое модели аддитивной смеси (3.6), и наблюдаемая реализация записывается в следующем виде [69; 150]:

УЕ( t ) = Ас Ус (t-Тс )+ Умп (t)+ Уш (t ) = Ас Ус (t-Тс ) + Е АпУп! (t)+ Уш (t) ,

i=1 (3.7)

УпI (t) = cos(wn/t + Фп/),l = 1,2,3,...,Nмп,

где Aal, юп1, фп1 - соответственно амплитуда, частота и начальная фаза 1-й

компоненты МП. Далее представлены результаты проведённого исследования влияния МП на поиск ФМ-ШПС по при различных N мп [69].

На рисунках 3.20-3.22 продемонстрирована форма поведения зависимостей вероятности правильного выполнения поиска P( qnc) ФМ-ШПС (2.11), полученных при обработки смеси (3.7) Фурье-процедурой (3.1) в условиях различного количества гармонических составляющих (1< N мп < 25), образующих одно- и многотональную помехи. Рисунки 3.20 и 3.21 получены при формировании ФМ-ШПС на основе М-последовательности длины N=511 (объём выборки K=Тс/Тд=4096), а рисунок 3.22 соответствует

обработке ФМ-ШПС на основе кода Голда длины N=1023 (K = 8192). В

каждом из примеров энергетический потенциал составлял дэп = 45 дБГц, а

отношение частот /д /f0=4. Сплошными линиями показаны зависимости,

полученные при фиксированных частотах МП

(Юп1 = const,,С0п2=const2, ..., С0пN = constN ), локализующихся в полосе частот

мп мп

главного лепестка спектра ШПС, выбранных в каждом случае (N = 511; 1023), исходя из его особенностей. Пунктирными линиями отображены зависимости для случайных в каждом испытании частот юп/ МП

(равномерное распределение). При данном сценарии частотные расстройки = !ю0 -юп/1 помеховых гармоник обеспечивали присутствие МП в полосе

частот главного лепестка спектра ШПС и примыкающих к нему двух боковых лепестков (рисунок 3.20), а также в полосе частот исключительно главного лепестка (рисунки 3.21 и 3.22). Амплитуды гармоник МП задавались равными (Ап1 = Ап2 =... = АпN ), а их начальные фазы фп/ е [0;2п)

устанавливались случайными равномерно распределёнными величинами. Задержка ФМ-ШПС тсе [0, Тс ] случайна в каждом испытании. Число

испытаний = 105. Цифровые обозначения, данные прямым шрифтом на рисунках 3.20-3.22, означают количество гармонических составляющих, образующих МП. К примеру, обозначения «1», «2», «5», указанные около линий статистических зависимостей на рисунках 3.20-3.22, соответствуют случаям ГП (N мп=1), МП при N мп = 2, МП при N мп=5 и т.п. [69].

Рисунок 3.20 - Зависимости вероятности правильного выполнения поиска ФМ-ШПС от отношения «помеха/сигнал». Оценка снижения эффективности поиска ФМ-ШПС при ^мп > 1. Условия эксперимента: дэп = 45 дБГц,

/д / /о = 4, N = 511 (М-посл.), Тс /Тд = 4096. Цифровые указатели у линий

зависимостей означают количество компонентов МП: N = 1, 2, 3, 5,10.

мп 7 7 7 7

Сплошные линии - фиксированные частоты МП (главный лепесток спектра), пунктир - случайные (главный лепесток и два примыкающих боковых)

Как видно из рисунка 3.20, зависимости Р (дпс) вероятности правильного выполнения поиска ФМ-ШПС от отношения «помеха/сигнал», полученные при политональном составе > 1 помехового воздействия в

(3.7), обладают монотонно-убывающим поведением. Скорость спада Р(дпс) возрастает с увеличением количества гармоник МП. Частная количественная характеристика возникающего при > 1 снижения эффективности поиска

ШПС, в сравнении со случаем = 1, дана в таблицах 3.6-3.9.

Рисунок 3.21 - Зависимости вероятности правильного выполнения поиска ФМ-ШПС от отношения «помеха/сигнал». Оценка снижения эффективности поиска ФМ-ШПС при ^мп > 1. Условия эксперимента: qп = 45 дБГц,

/д / /0 = 4, N = 511 (М-посл.), Тс /Тд = 4096. Цифровые указатели у линий зависимостей означают количество компонентов МП: N = 1, 2, 3, 4, 5,10, 25.

мп 7 7 7 7 7 7

Непронумерованные линии соответствуют =3, 4, 5. Сплошные линии - фиксированные частоты МП, пунктир - случайные. Оба сценария предполагают частоты МП в пределах главного лепестка спектра

Как видно из рисунка 3.21, воздействие МП в полосе частот лишь главного лепестка ожидаемо91 оказывается более неблагоприятным в сравнении со случаями вероятного присутствия гармоник МП в главном лепестке и двух примыкающих боковых (рисунок 3.20).

91 См., к примеру, рисунок 3.14.

Рисунок 3.22 - Зависимости вероятности правильного выполнения поиска ФМ-ШПС от отношения «помеха/сигнал». Оценка снижения эффективности

поиска ФМ-ШПС при ^мп > 1. Условия эксперимента: дэп = 45 дБГц, /д //0 = 4, N = 1023 (код Голда), Тс /Тд = 8192. Цифровые указатели означают количество компонентов МП: N = 1, 2, 3, 4, 5, 6,10, 25.

мп 7 7 7 7 7 7 7

Сплошные линии - фиксированные частоты МП, пунктир - случайные. Оба сценария предполагают частоты МП в пределах главного лепестка спектра

Из рисунка 3.22 видно, что зависимости Р(дпс), полученные при > 1 и изменённых параметрах ФМ-ШПС в части вида и длины ПСП, а также объёма выборки, качественно не изменяются. Аналогично рисункам 3.20 и 3.21 имеет место возрастание скорости убывания зависимостей Р (дпс) и логичная очерёдность их расположения в семействе при рассмотрении различного состава МП (=1,2,4,5,6,10,25), а также с точки зрения задаваемого сценария частотной локализации. Некоторые частные количественные оценки представлены в таблицах 3.6-3.9.

Таблица 3.6 - Частные значения допустимых отношений «помеха/сигнал»

Quc при P = 0.9 (0.99) и различном количестве компонентов N^ >1 многотональной помехи. Результаты обработки кривых на рисунках 3.20 и 3.22 для подсемейств, полученных при фиксированных частотах гармоник МП (юп/=constl, l = 1,2,...,NUB), действующих в пределах главного лепестка

Фурье-спектра ФМ-ШПС

Количество Значения отношения «помеха/сигнал»,

гармонических требуемые для обеспечения вероятности

компонентов правильного выполнения поиска с вероятностью Р,

помехи О, , дБ

P = 0.9 (P = 0.99) P = 0.9 (P = 0.99)

N мп Длина ПСП N = 511 Длина ПСП N = 1023

1 15.4 (11.0) 10.8 (6.0)

2 14.4 (10.1) 10.0 (5.4)

3 14.0 (9.8) 9.6 (5.1)

4 13.8 (9.6) 9.5 (5.2)

5 13.6 (9.5) 9.4 (5.1)

10 13.3 (9.5) 9.6 (5.4)

25 13.2 (9.5) 10.1 (6.1)

Таблица 3.7 - Частные значения допустимых отношений «помеха/сигнал»

Qпс при Р = 0.9 (0.99) и различном количестве компонентов Nмп >1 многотональной помехи. Результаты обработки кривых на рисунках 3.203.22 для подсемейств, полученных при случайных частотах гармоник МП (юп/ - случайные, I = 1,2,..., N мп), действующих в пределах главного лепестка

Фурье-спектра ФМ-ШПС, а также главного лепестка и двух примыкающих к нему боковых лепестков

Количество Значения отношения «помеха/сигнал»,

гармонических компонентов помехи требуемые для обеспечения вероятности правильного выполнения поиска с вероятностью Р, Qпс, дБ

®п1 ± 4п /Т ®п1 ± 2п /Т ®п1 ± 2п /Т

N мп P = 0.9 (P = 0.99) P = 0.9 (P = 0.99) P = 0.9 (P = 0.99)

N = 511 N = 511 N = 1023

1 20.2 (13.8) 17.5 (12.4) 20.5 (14.0)

2 19.8 (14.4) 17.3 (12.7) 20.0 (14.4)

3 19.7 (14.7) 17.1 (12.6) 19.7 (14.5)

4 19.6 (14.9) 17.0 (12.7) 19.6 (14.7)

5 19.6 (14.9) 16.9 (12.7) 19.5 (14.7)

10 19.4 (15.1) 16.7 (12.8) 19.3 (14.9)

25 19.3 (15.4) 16.6 (12.8) 19.1 (14.9)

Таблица 3.8 - Дополнительные потери в значениях отношения «помеха/сигнал» qnc при различном количестве компонентов N мп >1 многотональной помехи в (3.7), сравнение со случаем N мп=1. Результаты обработки кривых на рисунках 3.20 и 3.22 для подсемейств, полученных при фиксированных частотах гармоник МП (юп/=constl, l = 1,2,...,Nмп)

Количество гармонических компонентов помехи N мп Разность значений отношений «помеха/сигнал», при которых обеспечивается вероятность правильного выполнения поиска Р = 0.9 (Р = 0.99), Д4пс, дБ

N = 511 N = 1023

2 1.0 (0.9) 0.8 (0.6)

5 1.8 (1.5) 1.4 (0.9)

10 2.1 (1.5) 1.2 (0.6)

Таблица 3.9 - Дополнительные потери в значениях отношения «помеха/сигнал» дпс при различном количестве компонентов N мп >1 многотональной помехи в (3.7), сравнение со случаем N мп=1. Результаты обработки кривых на рисунках 3.20-3.22 для подсемейств, полученных при случайных частотах гармоник МП (юп/ - случайные, I = 1,2,..., N мп)

Количество гармонических компонентов помехи N мп Разность значений отношений «помеха/сигнал», при которых обеспечивается вероятность правильного выполнения поиска Р = 0.9, Д4пс, дБ

N = 511 N = 1023

С0п1 е ю0 ± 4п /Т (юп1 е ю0 ± 2п /Т) ®п1 е С ± 2п /Т

2 0.4 (0.2) 0.5

5 0.6 (0.6) 1.0

10 0.8 (0.8) 1.2

Как видно из данных в таблицах 3.6-3.9, воздействие МП оказывает негативное влияние на поиск ФМ-ШПС, характеризуемое дополнительными потерями в допустимом отношении «помеха/сигнал». Статистическими экспериментами установлено, что при обоих сценариях установки частот МП, длинах ПСП N = 511, 1023, количестве компонентов МП в пределах 2 < Nмп < 25, требовании качества поиска Р = 0.9 (0.99) значения Ддпс оказываются исчисляемыми долями и единицами децибел: Ддпс < 2 дБ [69; 102; 104].

3.4. Обсуждение результатов

Как видно из результатов исследований, влияние ГП и МП может быть весьма существенным, полностью или частично дестабилизирующим обработку ШПС. Даже при сравнительно низкоэнергетическом воздействии на «неблагоприятных» частотах однотональная ГП способна существенно снижать эффективность поиска ШПС. Изученное влияние ГП согласуется с формализацией ЧХ корреляционных процедур. Поведение вероятностных зависимостей не противоречит теоретическим представлениям общего характера. Некоторое исключение составляют группы пунктирных линий на рисунках 3.20-3.22, соответствующих результатам изучения влияния ГП и МП. Так, видно, что при случайных частотах гармоник МП в области значений вероятностей P > 0.9 наблюдается своеобразная «рокировка» кривых, отсутствующая в области P < 0.9. По-видимому, присутствие в (3.7) N мп >1 гармоник МП приводит к изменению закона распределения помехи,

стремящегося с ростом Nm к гауссовскому, для которого корреляционная процедура оптимальна по критерию максимизации выходного отношения «сигнал/помеха». Данное явление, объясняющееся теоремой Ляпунова (центральная предельная теорема) [147; 241], иллюстрируется рисунками 3.23-3.34, где показаны гистограммы распределения дискретных значений многотональной помехи {_умп (кТд )}f="01 - представлены частоты появления значений, т.е. количество отсчётов N^ из общего числа отсчётов K=Тс /Тд = 8192, значения которых оказались в одном из N инт=40

интервалов, количество которых определено по правилу Райса: Nam Основные параметры модели: количество гармоник МП Nмп=1, 2, 3, 4, 5,10; единичные амплитуды Лп1 всех гармоник МП; фиксированные частоты гармоник юп1=constl; отношения частоты дискретизации юд = 2п/д к частотам гармоник МП юд / юп1« 4; нулевые начальные фазы фп1 = 0 (рисунки 3.23, 3.25, 3.27, 3.29, 3.31, 3.33) и случайные начальные фазы фп1 е[0;2л) гармоник МП (рисунки 3.24, 3.26, 3.28, 3.30, 3.32, 3.34).

800 ^°тсч-

700 600 500 400 300 200 100

0

-1 -0.5 Рисунок 3.23

0 0.5 1 Частота появления

800 ^°тсч

-1 -0.5 Рисунок 3.24

0 0.5 1 Частота появления

( ^тсч. ) значений { Хмп (кТд ) }?=01 пРи ( ^тсч. ) значений { Умп (кТд ) при

Фп1=0, NМп = 1, К= 8192, ^нт = 40 Фп1е[0;2я), NMп =1, К=8192, Nинт = 40

К-1

800 -Л/°тсч-

700 600 500 400 300

200 100 0

1 [ТТТШтштттттг

тшмш!

800 -Л/°тсч-

700 600 500 400 300

%

200 100 о

11

1м1

I

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Рисунок 3.25 - ^тс, при Фп1,2=0,

Nмп=2, К = 8192, N инт = 40

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Рисунок 3.26 - ^тсч. при Фп1,2е[0;2тс),

N мп =2, К = 8192, N инт = 40

800 -Л/°тсч-

700 600 500 400 300 200 100 0

800 -Л/°тсч-

-3-2.5-2-1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Рисунок 3.27 - ^тсч. при Фп1..3=0,

N мп = 3, К = 8192, N инт=40

-3-2.5-2-1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Рисунок 3.28 - ^тсч. при Фп1..3е[0;2тс)

Nмп=3, К = 8192, N инт = 40

800 700 600 500 400 300 200 100 0

ж

отсч.

тптМШШ 1 ЬТШтМш.

'отсч.

%

-4-3-2-101234 Рисунок 3.29 - ^отсч. при Фп1..4 = Nмп=4, К = 8192, N инт = 40

800 700 600 500 400 300 200 100 0

-4-3-2-101234 Рисунок 3.30 - ^тсч. при Фп1..4^[0;2 п)

N мп=4, К = 8192, N инт=40

800 -Л/°тсч-

700 600 500 400

300 200 100 0

-4-3-2-101234 Рисунок 3.31 - ^тсч. при Фп1..5 = 0,

N мп=5, К = 8192, N инт=40

800 Л/°тсч-

%

-4-3-2-101234 Рисунок 3.32 - ^тсч. при Фп1..5е[0;2п),

Nмп=5, К = 8192, N инт = 40

800 -Л/°тсч-

700 600 500 400 300 200 100 0

-7-6-5-4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 Рисунок 3.33 - ^тсч. при Фп1..10 = 0 N мп = 10, К = 8192, N инт = 40

800 -Л/°тсч-

700

600 500 400 300 200 100

7мп 0

'Уми

-7-6-5-4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 Рисунок 3.34 - Nотсч. при Фп1..ше[0;2л),

N мп = 10, К = 8192, N инт = 40

Данные на рисунках 3.23-3.34 подтверждают существенную трансформацию закона распределения МП при N > 2.

Выводы по третьей главе

Получены зависимости вероятностей Р правильного выполнения беспорогового поиска ФМ-ШПС по задержке на основе Фурье-процедуры, и исследована её эффективность при наблюдении на фоне шума приёмника, гармонической помехи с произвольным частотным положением, в условиях квантования аддитивной смеси по уровню. Показано возможное значительное варьирование допустимого уровня энергетического превосходства гармонической помехи над ШПС, при котором сохраняется требуемое значение вероятности правильного выполнения поиска. Полученные статистическим вычислительным путём зависимости позволили определить значения потерь в помехоустойчивости Фурье-процедуры поиска ШПС, согласующиеся с приводимой теоретической оценкой и некоторыми известными оценками потерь общего характера. Результаты проведённого статистического вычислительного исследования позволяют сделать определённые качественные и количественные выводы.

1. Квантование по уровню аддитивной смеси оказывает заметное влияние на ход зависимостей вероятности правильного выполнения поиска ФМ-ШПС по задержке от отношения «сигнал/шум» (энергетического потенциала) Р(дэп) и от отношения «помеха/сигнал» Р(дпс). При этом

способ квантования (параметр ат5 - округление или усечение) на выбранный показатель качества влияет несущественно. Наибольшие потери в помехоустойчивости объяснимо наблюдаются при знаковом ограничении аддитивной смеси.

2. Полученные зависимости Р( дэп) и Р( дпс) демонстрируют соответственно монотонно-возрастающее и монотонно-убывающее поведение. Внешне они напоминают передаточные амплитудно-частотные характеристики фильтров верхних и нижних частот соответственно, причём «граничные частоты» этих «фильтров» зависят от разрядности АЦП и частотного положения помехи.

3. При рассмотренных условиях наблюдения потери в помехоустойчивости Фурье-процедуры поиска составляют: 2 дБ при sign-ограничении аддитивной смеси; 0.9 дБ при разрядности квантователя АЦП #ацп = 2; менее 0.5 дБ при разрядностях дацп > 3.

4. При рассмотренных условиях наблюдения sign-ограничение смеси приводит к наибольшим потерям в допустимом отношении дпс, исчисляемым единицами - десятками децибел (в зависимости от частотного положения помехи). Многоуровневое квантование смеси при разрядности дацп > 8

оказывает заметно меньшее влияние, исчисляемое значениями Ддпс < 1дБ (Р = 0.9) и Ддпс < 2 дБ (Р = 0.99). Таким образом, при высоких требованиях к качеству (достоверности 0.999 < Р < 1) Фурье-процедуры (3.1) поиска ШПС по задержке в условиях (3.2) и (3.3) необходимо многоуровневое квантование с разрядностями АЦП не хуже дацп > 8,

поскольку для рассмотренных условий при знаковом ограничении смеси и малоразрядном квантовании вероятность правильного выполнения поиска не превышает Р < 0.99 .

5. Вероятность Р правильного выполнения поиска сигнала по задержке обладает сложной формой зависимости от частотной расстройки Дю помехи. Общий вид данной зависимости Р(Дю) соответствует лепестковой структуре, причём боковые лепестки могут визуально не проявляться, а могут быть ярко выраженными, что заметно при сравнительно высоких отношениях «помеха/сигнал» дпс. Начальный участок зависимости Р(Дю) характеризуется резким спадом, причём крутизна спада возрастает

при увеличении отношения «помеха/сигнал».

6. Для рассматриваемого вида модуляции (ФМ-ШПС), длины и структуры ПСП, центральной частоты сигнала, частоты дискретизации и прочих установленных при статистическом моделировании параметров установлено, что при совпадении частоты гармонической помехи с центральной частотой ФМ-ШПС влияние помехи на качество Фурье-

процедуры беспорогового поиска оказывается незначительным. Одновременно установлено, что воздействие помехи на частотах в окрестности центра главного лепестка спектра ФМ-ШПС оказываются неблагоприятными. При действии помехи в окрестности границ лепестков спектра ФМ-ШПС допустимое превосходство помехи оказывается более высоким, особенно это проявляется при попадании помехи между лепестками спектра, где наблюдается интуитивно-понятное явление -гармоническая помеха, «попадающая» в минимумы спектра сигнала, характерные для ФМ-ШПС, оказывает наименьшее влияние. Для боковых лепестков зависимостей Р(Аю) отмечается повышение допустимого уровня превосходства помехи над сигналом. Боковые лепестки оказываются «приподнятыми» относительно главного лепестка.

7. Степень влияния гармонической помехи зависит от эффектов, возникающих при дискретизации - влияет так называемое «растекание» спектра. Установлено, что для заданных при моделировании параметрах гармоническая помеха на частоте «между» спектральными линиями ШПС способна оказывать более негативное влияние, чем при совпадении с пиком спектральной линии.

8. Результаты проведенных статистических исследований свидетельствуют о том, что для повышения достоверности и объективности аппаратурных и модельных экспериментов при планировании их сценариев следует давать детализированное научное и техническое обоснование выбора параметров гармонической помехи. Произвольный выбор параметров (даже «внутри» главного лепестка спектра сигнала) способен приводить к неожиданно и неоправданно оптимистичным результатам.

9. Зависимость допустимого уровня энергетического превосходства гармонической помехи над сигналом от частотной расстройки помехи Qпc (Аю) обладает лепестковой структурой и напоминает «инвертированный» амплитудный спектр ФМ-ШПС. Допустимый уровень энергетического превосходства находится в зависимости и от требований к качеству

выполнения поиска ШПС: к примеру, при требовании вероятности Р = 0.9 уровень допустимых отношений дпс возрастает в сравнении со случаями требования Р = 0.99. Обнаружено, что неравномерность поведения обсуждаемых зависимостей 2пс(Дю) в боковых лепестках несколько выше, чем в главном лепестке. Спектральный интервал, занимаемый лепестками зависимостей Р(Дю) и Qпc (Дю), а также периодичность повторения лепестков зависимостей определяются параметрами используемой ПСП.

10. Изучение зависимостей Р(Дю) и <2пс(Дю), полученных в узких полосах частот, позволило установить микродетали в неравномерности их поведения. В частности, для принятых условий статистических экспериментов установлено, что при отношениях «помеха/сигнал» дпс >15 дБ имеет место «квазиколебательный» характер поведения вероятностной зависимости Р(Дю). При этом период определяется величиной, обратно пропорциональной периоду используемой ПСП. Дальнейшее повышение отношения дпс приводит к возникновению чашеобразной формы вероятностной зависимости, а разность значений вершины «чаши» и её «дна» достигает десятков процентов, что является весьма существенным. Гармонические помехи, имеющие сравнительно малые отличия спектрального положения, способны оказывать заметно различное влияние на качество беспороговой Фурье-процедуры поиска ШПС. В статистических экспериментах установлено, что при сравнительно несущественных отличиях спектрального положения помех соответствующие им отношения <2пс способны изменяться на величины от единиц до десятков децибел (и даже более).

11. Установлено, что М-кратное когерентное накопление существенным образом видоизменяет поведение зависимостей Р(Дю) и Qпc (Дю). Установлено, что при введении М >1 накоплений возрастает количество спектральных положений помехи, при которых оказываемое влияние становится несущественным. Между ближайшими целыми

значениями безразмерной частотной расстройки помехи количество таких частот оказывается М -1. Эти особенности влияния помехи объясняются существенной неравномерностью частотной характеристики Фурье-процедуры92 и неравномерностью спектра ФМ-ШПС93.

12. Сильное влияние гармонической помехи прослеживается на частотах, кратных частоте 1/(N1) повторения используемой ПСП, когда

помеха близка по частоте или совпадает с частотой расположения спектральной линии периодически повторяющегося ФМ-ШПС. На структуру неравномерности зависимостей Р(Аю) и <2пс(Аю) оказывает влияние так

называемое «растекание» спектра, возникающее при частотах помехи, не кратных величине обратной длительности интервала наблюдения [84]. У спектра помехи появляется «пьедестал», спектр помехи расширяется, что приводит к «поражению» двух (и более) спектральных линий периодического ФМ-ШПС. При этом локальный экстремум зависимостей Р(Аю) и 2пс(Аю) может смещаться относительно частотного положения спектральной линии ФМ-ШПС. Следовательно, неблагоприятной может оказаться помеха, частотное положение которой смещено от частоты спектральной линии периодического ФМ-ШПС.

13. При рассмотрении БОС-ШПС, а также спектрально-эффективных ШПС (МЧМ (МБК), ГМЧМ (ОМБК)) общие закономерности, изложенные выше, сохраняются. В частности, поведение зависимостей правильного выполнения поиска ШПС по задержке Р(Аю) от частоты помехи (частотной расстройки помехи Аю) обладает сложной формой. Имеет место лепестковая структура, особенно проявляющаяся при увеличении отношения «помеха/сигнал», при общей форме вероятностно-спектральных зависимостей, напоминающей «инвертированные» амплитудные спектры рассматриваемых ШПС (БОС, МБК).

92 Её форма определяется используемой ПСП и числом когерентных накоплений сигнала в корреляторах [79].

93 Имеющего существенные отклонения спектральных компонентов от огибающей вида вшс-функции [161; 195].

14. Изучено влияние многотональной помехи, образуемой суперпозицией отдельных гармоник в полосе частот ШПС, на эффективность поиска. Рассмотрены два сценария частотной локализации компонентов МП: выбираемые фиксированные значения частот, а также случайные в пределах главного лепестка Фурье-спектра частоты. Установлено, что при заданных условиях (N = 511, 1023; Тс /Тд=4096, 8192; /д //0 = 4) многотональная

помеха (2 < Nмп < 25) в сравнении с Nмп=1 оказывает дополнительное негативное влияние на эффективность поиска ФМ-ШПС, однако при этом количественные оценки снижения эффективности, выражаемые потерями в допустимом отношении «помеха/сигнал», сравнительно94 невелики - они составляют доли и единицы децибел, оказываются в пределах Ддпс < 2 дБ.

94 По сравнению со случаем воздействия однотональной гармонической помехи.

Глава 4. Повышение эффективности нейтрализации интенсивных гармонических помех за счёт предварительных спектрально-пороговых, спектрально-поэлементных и спектрально-весовых преобразований

аддитивной смеси

Рассматриваются две спектральные процедуры предкорреляционной обработки, предназначенные для нейтрализации гармонических помех. Для первой из рассматриваемых процедур, основанной на спектрально-пороговой обработке аддитивной смеси, проведён обоснованный выбор весовой функции предварительного взвешивания - существенно повышены потенциальные возможности подавления гармонической помехи. Вторая процедура основана на спектрально-весовом оценивании параметров мощной помехи с последующей компенсацией. Выполнена аналитическая работа по определению выражений для её функционирования при предварительном взвешивании аддитивной смеси шумоподобного сигнала и гармонической помехи степенными вариациями весовой функции Хеннинга. Достигнута повышенная точность оценивания параметров помехи. Проведён сравнительный анализ эффективности поиска шумоподобного сигнала по задержке на фоне узкополосных помех при применении указанных вариантов предкорреляционной обработки. Исследованы универсальные показатели качества спектральной предкорреляционной обработки: коэффициент подавления помехи, коэффициент прохождения сигнала и коэффициент подпомеховой видимости. Сделан обоснованный выбор весовой функции из перечня рассмотренных классических и неклассических вариантов.

4.1. Повышение эффективности спектрально-пороговой режекции

гармонических помех

На эффективность обработки шумоподобных сигналов при подавлении интенсивной гармонической помехи на основе Фурье-режекции существенно влияет «эффекта пьедестала» [57; 58]. Для нивелирования влияния данного эффекта при Фурье-режекции используют предварительное умножение аддитивной смеси на весовые (оконные) функции, т.е. применяют так называемое взвешивание. В известных трудах для этих целей рассматривались различные ВФ, к примеру: Ханна, Блэкмана, Парзена (Валле-Пуссена) и некоторые другие [58; 59]. Однако данные исследования нельзя считать законченными по причине наличия значительного количества ВФ [148; 149; 210-212]. Для повышения эффективности спектрально-пороговой режекции гармонических помех проведено статистическое исследование, в результате которого продемонстрировано повышение допустимого превышения помехи над сигналом за счёт предварительного взвешивания степенными вариациями ВФ Хеннинга (по сравнению с прочими рассмотренными классическими ВФ) [69-71; 73].

4.1.1. Спектрально-пороговый алгоритм режекции гармонических помех (и его преимущества в сравнении с оптимальным)

Борьба с гармонической помехой производится различными возможными способами. Например, путём применения так называемой субполосной фильтрации, основанной на включении «банка» полосно-пропускающих фильтров, АЧХ которых равномерно распределены по всей полосе частот сигнала, предполагающей отключение (ограничение) любой из парциальных субполос95 [60-62]. Кроме того, к известным способам подавления ГП относится адаптивная фильтрация (АФ), обеспечивающая требуемую АЧХ режектора за счёт расчёта весовых коэффициентов, исходя из различных возможных критериев оптимальности [14; 43; 152].

95 о

В случае превышения порогового уровня.

Существуют способы борьбы с ГП, основанные на оценивании её параметров и компенсации [8; 14; 49-51; 72; 151] (и др.). Наконец, применяются частотные режекторы (ЧР) на базе прямого и обратного ДПФ (ЧР-ДПФ-ОДПФ), основанные на спектрально-пороговой обработке аддитивной смеси и нейтрализации того участка спектра, который содержит мощные спектральные компоненты, выявляемые за счёт сравнения с пороговым уровнем [14; 57-59; 73] (и др.).

Все перечисленные варианты имеют преимущества и недостатки. В монографии [14] показано, что паритетными по эффективности применения являются адаптивная фильтрация (с трансверсальной структурой) и спектрально-пороговая режекция на основе ДПФ-ОДПФ. Там же отмечено, что спектрально-пороговый способ ЧР-ДПФ-ОДПФ выигрывает по нескольким показателям, таким как быстродействие, ресурсозатратность, сложность практической реализации [14].

При реализации ЧР-ДПФ-ОДПФ для минимизации влияния «эффекта пьедестала», как уже отмечалось, используется предварительное взвешивание различными ВФ [14; 58; 59]. В статье [59] для взвешивания применена ВФ Хэмминга. В статье [57] используют единичную (прямоугольную) ВФ, обсуждают возникающие при этом негативные особенности. В статье [58] рассматривают набор из семи различных ВФ, дают обоснование использованию ВФ Ханна и Парзена, но не демонстрируют статистические зависимости, характеризующие качество приёма ШПС. В монографии [14] для реализации ЧР-ДПФ-ОДПФ применена ВФ Парзена [14]. Там же [14] приводятся данные для сравнительного анализа параметров эффективности ЧР-ДПФ-ОДПФ и АФ. Таким образом, известно большое разнообразие ВФ [210-212], отличающихся сложностью математического описания и характеристиками, поэтому далее рассмотрен целесообразный и практически полезный вопрос сравнительного анализа и рационального выбора96 ВФ для избранной (п. 3.1) задачи обработки ШПС, наблюдаемых на фоне шума и гармонической помехи.

96 Для реализации Фурье-режектора (ЧР-ДПФ-ОДПФ).

На рисунке 4.1 показана структурная схема частотного режектора -Фурье-режектора, реализуемого на основе прямого и обратного ДПФ с промежуточной спектрально-пороговой обработкой. Структурные схемы, подобные рисунку 4.1, неоднократно встречаются в литературных источниках, к примеру в [14; 59] и др.

Рисунок 4.1 - Структурная схема Фурье-режектора (ЧР-ДПФ-ОДПФ), использующего предварительное взвешивание аддитивной смеси

(см., например, [14; 59])

Приведённая структурная схема поясняется аналитическим описанием - выражениями (4.1)-(4.3). На вход Фурье-режектора поступает аддитивная смесь (3.6), содержащая полезный ФМ-ШПС ус(г) вида (2.11), гармоническую помеху уп (г) вида (2.1) и белый шум. Дискретизация аддитивной смеси (3.6), т.е. её представление в дискретном времени97 гк = кТд, записывается в виде

У*(к) = У*(гк) = ^сУс (гк-тс) + АУп (гк) + Уш (гк,<) Уп(Ч) = со8(ш гк +Фп), к = ОД...,К-1.

(4.1)

В выражениях (4.1) все использованные обозначения прежние, однако в качестве повторного уточнения, нацеленного на облегчение восприятия последующих формализмов, следует отметить, что к - номер временной выборки; К - объём выборки.

97

Т = 1//д - как и ранее, шаг дискретизации.

Рассматриваемый Фурье-режектор (рисунок 4.1), предназначенный для подавления гармонической (узкополосной) помехи, основан на пороговой обработке спектральных отсчётов (СО) Y (l), формируемых на основе ДПФ от смеси (4.1) [14; 59; 212]:

K-1

7 (l ) = F [ yz( k) w (k)] = X Уг( k) w (k) exp (-j 2n lk/K),

к=0 (4.2)

l = 0,1,..., K -1,

где произведение (k)w(k) дискретизированной смеси (k) (4.1) и отсчётов весовой функции w(k) представляют собой взвешенную реализацию; символ оператора преобразования Фурье, использованный ранее для интегральной формы, здесь и далее означает операцию ДПФ (или ОДПФ при наличии соответствующего указателя); l - номер СО. Дальнейшая реализация Фурье-режектора в виде процедуры ЧР-ДПФ-ОДПФ предусматривает обнуление неконтролируемого числа значений комплексного спектра (4.2) при условии, если модуль (4.2) \Y (l )1 оказывается большим либо равным значению порога гп = const [14]:

1 K-1

Учр(k) = F-1 Y (l)] = -XY>z (l)exp(j2nlk/K),

K l = 0

i>z (l ) =

Y (l), |Y(l)|<ZD, (4'3)

0, Y>(l)|az„.

В выражении (4.3) использованы обозначения: учр(к) - отсчёты

выходного процесса процедуры ЧР-ДПФ-ОДПФ; У (I) - спектральные

отсчёты (4.2), к которым применена пороговая обработка (4.3) - СО с подавленными мощными помеховыми компонентами (при выполнении условия \У(I)1 >гп). Выражение для вычисления ОДПФ в (4.3) приведено согласно [212].

Далее, проведён выбор ВФ w(k) для спектрально-порогового Фурье-режектора ЧР-ДПФ-ОДПФ ((4.2), (4.3)) с целью повышения алгоритмической

ло

эффективности обработки ШПС на фоне шума и интенсивной гармонической помехи.

4.1.2. Повышение эффективности спектрально-порогового алгоритма режекции гармонических помех за счёт выбора весовой функции предварительного взвешивания аддитивной смеси

Для обоснованного выбора конкретной ВФ предварительного взвешивания аддитивной смеси (3.6), представленной в дискретизированном виде (4.1), с целью применения в качестве предкорреляционной обработки, подавляющей помеху уп (г), проведено исследование двух видов. Интересуясь применением Фурье-режектора ЧР-ДПФ-ОДПФ для конкретной задачи обработки ШПС, осуществлено статистическое исследование99. Получены зависимости вероятности правильного выполнения поиска ФМ-ШПС по задержке (на основе Фурье-процедуры (3.1)) от отношения «помеха/сигнал» дпс =10^( Рп / Рс). Основные условия статистического моделирования соответствуют условиям, принятым в п. 3.3.1. Квантование по уровню не использовалось, количество статистических испытаний ^исп = 2 • 104, частоты помехи устанавливались как фиксированными, так и случайными величинами [73].

На рисунках 4.2-4.9 показаны полученные семейства зависимостей вероятности Р правильного выполнения поиска ШПС по задержке от отношения «помеха/сигнал» дпс. Номера кривых на рисунках 4.2-4.9 означают применение в (4.2) конкретной весовой функции w(k): кривые 1 соответствуют ВФ Ханна [149]; кривые 2 получены при взвешивании ВФ

98

В первую очередь для поиска ШПС по задержке.

С использованием ранее описаннои методики.

Блэкмана [149]; кривые 3 - при применении ВФ Парзена (Валле-Пуссена) [149]; семейства кривых 4, 4а, 4б рассчитаны при использовании степенных вариаций ВФ Хеннинга 8тр(%k/K) [149] для в= 3,4,5 соответственно; кривые 5 - при использовании прямоугольной ВФ; кривые 6 получены при отсутствии мер подавления помехи, т.е. без предкорреляционной обработки на основе ЧР-ДПФ-ОДПФ [73].

Зависимости, представленные на рисунках 4.2-4.6 и рисунке 4.8, соответствуют неизменной (фиксированной) частоте100 гармонической помехи, «попадающей» в главный лепесток спектра ФМ-ШПС. Зависимости, изображённые на рисунках 4.7 и 4.9, получены при случайной101 частоте помехи. Рисунки 4.2, 4.4, 4.6 и 4.8 получены при энергетическом потенциале дэп = 40дБГц, а рисунки 4.3, 4.5, 4.7 и 4.9 - при дэп = 45дБГц. Каждое семейство зависимостей получено при различном количестве когерентных накоплений M в корреляторе: рассмотрены случаи формирования отклика Фурье-процедуры поиска при обработке ФМ-ШПС на интервале одного периода ПСП (M =1), а также при M-кратном увеличении интервала. Зависимости, представленные на рисунках 4.2-4.9, демонстрируют повышение алгоритмической эффективности Фурье-режектора ЧР-ДПФ-ОДПФ при взвешивании реализаций (4.1) при вычислении (4.2) с весовыми функциями Хеннинга (в= 3, 4, 5) [73].

При проведении статистических экспериментов дополнительно рассматривались и другие ВФ, например: весовые функции Бартлетта, Бомана, Блэкмана - Хэрриса, Гаусса, Кайзера, Натталла, Тьюки, Хэмминга, Хеннинга (при в= 1 - синус-окно) и некоторые другие из [149].

100 Значения частот выбирались некратными частоте дискретизации аддитивной смеси.

101 В каждом испытании. Частота помехи принимала равновероятные значения в пределах спектрального интервала главного лепестка спектра ФМ-ШПС.

Рисунок 4.2 - Зависимость вероятности правильного выполнения поиска ФМ-ШПС от отношения «помеха/сигнал». Условия эксперимента: дэп = 40 дБГц, М = 2

Рисунок 4.3 - Зависимость вероятности правильного выполнения поиска ФМ-ШПС от отношения «помеха/сигнал». Условия эксперимента: дэп = 45 дБГц, М = 1

Рисунок 4.4 - Зависимость вероятности правильного выполнения поиска ФМ-ШПС от отношения «помеха/сигнал». Условия эксперимента: дэп = 40 дБГц, М = 3

Рисунок 4.5 - Зависимость вероятности правильного выполнения поиска ФМ-ШПС от отношения «помеха/сигнал». Условия эксперимента: дэп = 45 дБГц, М = 2

Рисунок 4.6 - Зависимость вероятности правильного выполнения поиска ФМ-ШПС от отношения «помеха/сигнал». Условия эксперимента: qэп = 40 дБГц, M = 4

Рисунок 4.7 - Зависимость вероятности правильного выполнения поиска ФМ-ШПС от отношения «помеха/сигнал». Условия эксперимента: qэп = 45 дБГц, M = 1

Рисунок 4.8 - Зависимость вероятности правильного выполнения поиска ФМ-ШПС от отношения «помеха/сигнал». Условия эксперимента: дэп = 40 дБГц, М = 5

Рисунок 4.9 - Зависимость вероятности правильного выполнения поиска ФМ-ШПС от отношения «помеха/сигнал». Условия эксперимента: дэп = 45 дБГц, М = 1

Полученные статистические зависимости (рисунки 4.2-4.9) позволяют сделать выводы качественного и количественного характера: сравнить характер поведения данных зависимостей, дать оценку повышения эффективности поиска ФМ-ШПС по задержке на фоне помехи при различных весовых функциях предварительного взвешивания в спектрально-пороговой процедуре ЧР-ДПФ-ОДПФ [73].

4.1.3. Результаты статистического исследования качества процедуры поиска шумоподобного сигнала на фоне гармонических помех при предварительном взвешивании наблюдений степенными вариациями весовой функции Хеннинга и последующей спектрально-пороговой режекции

Как следует из рисунков 4.2-4.9, вид используемой весовой функции предварительного взвешивания существенным образом влияет на качество функционирования частотного режектора гармонической помехи и, следовательно, на эффективность Фурье-процедуры поиска ФМ-ШПС по задержке при наблюдении на фоне помехи и шума. Для рассмотренных условий наблюдения (4.1) сигнала (2.11) все зависимости, полученные при предварительной Фурье-режекции с использованием ВФ (отличной от прямоугольной), обладают монотонно убывающим поведением в области сравнительно высоких отношений «помеха/сигнал» (дпс >100 дБ) и практически постоянным (равномерным) начальным участком. Визуализация и анализ количественных значений полученных вероятностных кривых позволяют обоснованно выбрать вид весовой функции, способствующей (обеспечивающей) повышение эффективности Фурье-процедуры поиска ШПС. Установлено, что для всех полученных семейств вероятностных зависимостей, превосходство в эффективности поиска имеет место при использовании степенных вариаций ВФ Хеннинга (кривые 4, 4а, 4б). Весовая функция Парзена (кривые 3) в составе Фурье-режектора ЧР-ДПФ-ОДПФ

в задаче поиска ШПС при оговоренных условиях всегда уступает кубической вариации ВФ Хеннинга (в = 3, кривые 4) и оказывается на «втором месте». При повышении показателя степени (в=4, 5, кривые 4а, 4б соответственно) в модели ВФ Хеннинга наблюдается «расширение» области отношений «помеха/сигнал», при которых вероятность принимает большие значения (по сравнению со случаями применения ВФ Парзена, кривые 3). При показателе степени ВФ Хеннинга в = 4 и в=5 наблюдается уменьшение вероятности P при сравнительно малых отношениях дпс. Применение для предварительного взвешивания аддитивной смеси весовых функций Ханна и Блэкмана (кривые 1, 2) обеспечивает близкие характеристики эффективности, позволяет достичь преимуществ в сравнении с прямоугольной ВФ (кривые 5). Однако все они заметно уступают применению ВФ Хеннинга и Парзена. Как видно из рисунков, кривые 5 и 6 обладают поведением, подобным показанному кривыми 1-4, но занимают положение в окрестности существенно меньших значений отношения дпс. Прочие перечисленные и рассмотренные весовые функции для установленных условий экспериментов не обеспечили повышения эффективности поиска ШПС. Исключение составила ВФ Бомана, так как при её применении достигаются характеристики, паритетные со случаями применения ВФ Парзена [73].

В таблицах 4.1 и 4.2 приведены некоторые количественные данные по сравнению эффективности применения двух «лидирующих» весовых функций - Хеннинга (при в= 3, кривые 4) и Парзена (кривые 3). Там представлены округлённые значения разностей Ддпс отношений «помеха/сигнал» дпс, при которых достигаются заданные вероятности (P=const) для каждой из двух указанных ВФ. При получении

количественных оценок применена интерполяция показанных вероятностных зависимостей. Данные таблицы 4.1 получены в результате обработки кривых на рисунках 4.3 и 4.5 (в скобках показано значение Ддпс, соответствующее данным рисунка 4.7 - при случайной частоте помехи). Данные таблицы 4.2 получены при обработке кривых с рисунков 4.6, 4.8 [73].

Таблица 4.1 - Разность Аqпс значений отношения «помеха/сигнал», при которых поиск ФМ-ШПС выполняется с вероятностями P = 0.9, 0.99

при применении весовых функций Хеннинга (в= 3) и Парзена (количественная фиксация эффективности применения ВФ Хеннинга) [73]

Количество когерентных накоплений M Разность в значениях отношения «помеха/сигнал», требуемых для обеспечения вероятности правильного выполнения поиска Р при двух сравниваемых ВФ, А4пс , дБ

P = 0.9 P = 0.99

1 34.2 (17.2) —

2 16.6 33.7

Таблица 4.2 - Разность А дпс значений отношения «помеха/сигнал», при которых поиск ФМ-ШПС выполняется с вероятностями P = 0.9, 0.99

при применении весовых функций Хеннинга (в= 3) и Парзена (количественная фиксация эффективности применения ВФ Хеннинга) [73]

Количество когерентных накоплений M Разность в значениях отношения «помеха/сигнал», требуемых для обеспечения вероятности правильного выполнения поиска Р при двух сравниваемых ВФ, А4пс , дБ

P = 0.9 P = 0.99

4 22.9 —

5 19.1 59.1

Как видно из рисунков 4.2-4.9 и данных таблиц 4.1, 4.2, результаты статистических вычислительных экспериментов102 убедительно свидетельствуют, что фиксированная вероятность правильного выполнения поиска ШПС достигается при существенно различных отношениях «помеха/сигнал» в зависимости от вида ВФ предварительного взвешивания. Таким образом, для рассмотренной задачи поиска ФМ-ШПС установлено и продемонстрировано повышение эффективности на десятки децибел. Коэффициент подавления помехи и коэффициент прохождения сигнала зависят от вида ВФ и количества подавляемых спектральных отсчётов [73].

102

Для рассмотренных условий наблюдения и параметров ШПС.

4.2. Нейтрализация интенсивной гармонической помехи за счёт спектрально-весового оценивания её параметров

Одним из возможных вариантов нейтрализации мощной гармонической помехи является её компенсация, основанная на формировании в приёмнике копии помехи с последующим вычитанием из аддитивной смеси [14]. При стационарности параметров помехи, а также при сравнительно медленном изменении её параметров представляет интерес спектрально-весовое оценивание, реализуемое путём дополнительной обработки спектральных отсчётов комплексного спектра реализации помехи, предварительно взвешенной весовой функцией [242-250]. В данном параграфе аналитически получены выражения для процедуры СВО при взвешивании реализации помехи с использованием степенных вариаций весовой функции Хеннинга. Проведён сравнительный анализ точности оценивания параметров помехи при использовании различных ВФ. На основе СВО-процедуры реализован алгоритм компенсации интенсивной гармонической помехи. Выполнено его сравнение с Фурье-режектором на основе ДПФ-ОДПФ.

4.2.1. Спектрально-весовое оценивание параметров гармонической помехи при взвешивании наблюдений степенными вариациями весовой функции Хеннинга

В п. 4.1.1-4.1.3 продемонстрировано, что эффективным решением для подавления гармонических помех является частотная Фурье-режекция, реализуемая за счёт вычисления ДПФ аддитивной смеси, спектрально-пороговой обработки и последующего выполнения ОДПФ. Кроме того, обеспечено повышение эффективности процедуры ЧР-ДПФ-ОДПФ. Однако общие тенденции в прикладных науках таковы, что требования, предъявляемые к системам, алгоритмам и устройствам, всегда нарастают быстрее возникновения соответствующего научно-технического «ответа».

Таким образом, несмотря на высокую эффективность ЧР-ДПФ-ОДПФ, проработка и реализация вариантов для повышения эффективности возможных решений всегда актуальны, поскольку со временем требования, предъявляемые к показателям качества технических систем, как правило, возрастают.

С учётом высокой эффективности спектральных методов обработки сигналов рассматриваемая альтернатива для ЧР-ДПФ-ОДПФ также относится к алгоритмам спектрального типа, она предполагает сочетание компенсационного подхода и предварительного спектрально-весового оценивания [242-250] параметров помехи: амплитуды, частоты и начальной фазы. Известная алгоритмизация СВО, приводимая, в частности, в [246-249], включает следующие шаги: умножение отсчётов сигнала на отсчёты ВФ; вычисление СО «взвешенной» реализации; специальная дополнительная обработка СО, обеспечивающая формирование оценок искомых параметров. Точность спектрально-весового оценивания зависит, в частности, от вида ВФ [72; 246; 248; 249]. Для повышения эффективности спектральной обработки сигналов рассмотрены различные ВФ [57; 58; 73] и показано, что предпочтение следует отдать ВФ Хеннинга (см. п. 4.1.3 и труды автора [69-71; 73]). В трудах [248; 249] представлены аналитические выражения для реализации СВО при использовании некоторых типовых ВФ, в частности, при «взвешивании» весовыми функциями Ханна, Гаусса и др., в то время как необходимые выражения для применения степенных вариаций ВФ Хеннинга не представлены [248; 249]. Таким образом, для реализации СВО с участием степенных вариаций ВФ Хеннинга выполнена вычислительная работа и получена необходимая аналитика. Далее исследуется точность процедуры СВО и эффективность её применения для компенсации интенсивной гармонической помехи. Демонстрируется повышение эффективности поиска ФМ-ШПС на фоне гармонической помехи за счёт реализации алгоритма компенсации, основанного на спектрально-весовом оценивании её параметров с использованием степенных вариаций ВФ Хеннинга [69-71; 73].

Модель наблюдения по-прежнему основана на (3.6) с учётом дискретизации (4.1) и предполагает наличие аддитивной смеси полезного ШПС, интенсивной гармонической помехи и шума. Введём обоснованное допущение, основанное на том, что, как правило, ухудшение качества приёма ШПС в присутствии ГП имеет место при её энергетическом превосходстве, т.е. при выполнении условия Ап >> Ас [21; 78; 87;151; 153] (и др.). Таким образом, для ситуации (3.6), (4.1), относящейся к РЭС со слабоинтенсивными сигналами Ас<<аш, скрытыми собственным шумом приёмника, справедливо упрощение (4.1):

ЬЛу^ )=А,::;«:;;1,. (4.4)

Как видно из выражения (4.4), при указанных условиях (Ап >> Ас; Ас << ), компенсация помехи возможна за счёт оценивания её

/ч /ч

параметров - амплитуды Ап, частоты соп = 2л/п и начальной ; п, формирования копии Ап уп (гк) помехи и последующего вычитания из смеси (4.1), что приведёт к «фильтрованной» смеси уф(к) с существенно ослабленной103 помехой [14; 152]:

Уф(к) = Уф( Ч) = у,(г,) - А. у„(Ч) = уг(к) - А. . (4.5)

При выполнении оценок параметров исключительно по ДПФ смеси (4.1) в отсутствие кратности частоты гармонического сигнала (в данном случае /п) частоте дискретизации /д смеси точность оценок снижается. Известно, что применение СВО параметров гармонического сигнала позволяет успешно преодолеть такое ограничение [249].

103 т-т

При высокой точности оценок её параметров.

Для практической реализации СВО параметров гармонической помехи

/ч /ч

(оценок её амплитуды \, частоты /п и начальной фазы срп) необходимо «взвесить» реализацию аддитивной смеси (4.1) y£ (k )w(k) весовой функцией w(k) ^W(l), обладающей комплексным спектром W(l), а также выявить номер lmax СО (так называемого бина) ДПФ (4.2), который соответствует максимуму модуля ДПФ (4.2) [242-249]:

max{| 7(l^ ^lmax. (4.6)

Затем производится формирование массива X из двух СО (4.2) с номерами (lmax ±1), определяемыми относительно (4.6), а также находится максимальный из них и определяется его номер Lmax [242-249]:

X ={| Y (lmax-1) |, |Y (lmax+1)|}, (4

max { X Lmax =1,2.

С использованием максимального из модулей СО X (4.7) вычисляется отношение O = X(Lmax)/IY(lmax)l, которое имеет теоретическое значение O = IW (1 -a)I/IW (a)i, содержащее вспомогательный параметр a, являющийся индивидуальным для каждой ВФ и используемый для искомых спектрально-весовых оценок обозначенных выше параметров [242-249].

Итак, для предварительного взвешивания реализации (4.1) или (4.4) степенными вариациями весовой функции Хеннинга [149], продемонстрировавшей (п. 4.1.2) высокую эффективность при Фурье-режекции ЧР-ДПФ-ОДПФ, вспомогательный параметр a необходимо формализовать. Для использования указанной ВФ в процедуре СВО, аналитическим путём получено теоретическое значение отношения O . Для этого вычислен спектр данной ВФ W(l), а также его модуль IW(l)l, и, таким

образом, получено отношение модулей IW(1 - a)I/IWW(a)l.

Для вычисления преобразования Фурье кубической вариации ВФ Хеннинга w(к) = 8т3(пк/К), к=0,1,...,К-1, рассмотрена её модель w(t) в непрерывном времени104 на интервале ге [0,Тс] [149]:

w(г) = бш3^), у = п/Тс. (4.8)

Определён комплексный Фурье-спектр УУ (ю) ^ w(t) ВФ (4.8) [72]:

Тс Тс

УУ (ю) = | w (г) ехр (-) ¿г = 181п3(уг) ехр (-) ¿г =

0 0

= 6у3 (1+ехр (-]ютс)) = 6 (п/Тс )3 (1+е"^) (49)

= 9у'-Юу2ю2 +ю4 = 9(п/Тс)4-10(п/Тс)2ю2 +ю4'

При вычислительной работе в (4.9) учтено известное выражение105 и табличный интеграл106 [252].

Спектр (4.9) рассмотрен на частотах = 2п/д//К = 2п//КТд [72]:

(ю)= 6 (п/КТд )3 (1+ехр (-](2п/д//К) КТд)) =

УУ (Ю/ ) — 4 2 2 4 —

9(п/КТд) -10(п/КТд) (2п/д//К) +(2п/д//К)

= 6 Кт (^ехр(-/2^) п д (9 - 40/ 2+16/4) .

Выделен модуль спектра ВФ (4.10), получено выражение [72]

(4.10)

УУ (Ю/ )|= УУ (/ )| =

6 КТ (1+ехр(-]2п/)) п д (9 - 40/2+16/4)

6 КТ |1+ехр (-]2п/)| = Кт ^/1 + :с8(2п/)

(4.11)

п д 9 - 40/2+16/1 п

9-40/2+16/4

104 Рассмотрение задачи в непрерывном времени, подобно [251], позволяет применить интегральное преобразование, что удобно для выполнения вычислений.

105 А именно, эт3(х) = (38т(х)-8т(3х))/4 [252, с. 190].

106 Интеграл |ехр(ах)вт(Ьх)¿х = ехр(ах)[авт(Ьх)-Ь:о8(Ьх)]/[а2 + Ь2] + С [252, с. 152].

При упрощении (4.11) учтено, что 11+е 12п/ 1=72^/1+ео8(2л/). Применение методики [242-249] с учётом полученного выражения (4.11) приводит к выражению для искомого отношения [72]:

+ ео8( 2п(1-а)) (1-а)| 9 - 40 (1-а) +16 (1 -а) ^1+ео8( 2п(1-а))

X

(а) х/1+ёо8(^са) ^1+ео8( 2па)

19 - 40а2+16а41 9 - 40а2+16а41 19 - 40а2+16а4

(4.12)

X

9 - 40 (1-а)2+16 (1-а)4 9 - 40 (1-а)2+16 (1-а)

2а+3 5 - 2а

При упрощении (4.12) учтено, что при значениях параметра -0.5<а<0.5 значение сомножителя + ео8(2п(1 - а))/д/1+ео8(2па)

стремится к единице, т.е. 1+ео8(2п(1 - а))/^/1+ео8(2па) ^1, а полученное значение отношения (4.12) 1(2а+3)/(5 - 2а)1=(2а+3)/(5 - 2а). Решение уравнения (2а+3)/(5 - 2а) = О позволило получить аналитическое выражение для вспомогательного параметра а, необходимое для спектрально-весового оценивания амплитуды, частоты и начальной фазы на основе ДПФ при предварительном взвешивании реализации с использованием ВФ вида (4.8). Искомое выражение для а при использовании ВФ (4.8) имеет вид [72]

а(р=3)=1(£/|+ТГ1- (4Л3)

Сопоставление параметра107 а=(2О -1)/(О+1) [248; 249], относящегося к ВФ Ханна (р = 2, ^(к)=8т2(лк/К) = (1 - ео8(2пк/К))/2), с полученным выражением (4.13) ((5/2)О - 3/2)/(О+1) [72], соответствующим рассмотренной вариации (в = 3, w(k) = 8т3(лк/К)) ВФ Хеннинга (4.8),

4

107 Здесь и далее приведён без знака.

позволило провести обобщение полученных результатов для некоторых целых значений показателя степени в [72]. Целочисленное увеличение в в

модели ВФ Хеннинга w(k) = Б1пв(пк/К) приводит к явным изменениям в числителе выражения для а. Так, при указанном повышении в происходит увеличение слагаемых на 1/2. Отмеченная особенность позволила выдвинуть гипотезу о том, что при показателе в = 4 числитель в выражении а принимает значение 30 - 2. Аналогично выдвигались предположения по поводу дальнейшего повышения (в=5) и уменьшения показателя степени в (до значения в = 1, соответствующего ВФ типа «синус-окно» [149] с числителем в выражении для а, равным (3/2)0 -1/2 [72]). Результаты проведённого анализа (в = 3) и обобщения (для случаев в=1,4,5) сведены в таблицу 4.3. Представленные в таблице 4.3 выражения верифицированы.

Таблица 4.3 - Выражения для параметров а процедуры СВО при применении ВФ w(k) = Б1пв( пк / К)

в а Примечание и источник (при наличии)

1 ((3/2)0 -1/2)/(0+1) Записано в результате обобщения [72]

2 (20-1)/(0+1) Известно из литературных источников, см. [248; 249]

3 ((5/2)0 - 3/2)/(0+1) Получено аналитическим путём, см. (4.9)-(4.13) и [72]

4 (30 - 2)/(0+1) Записано в результате обобщения [72]

5 ((7/2)0 - 5/2)/(0+1) Записано в результате обобщения [72]

Как видно из наполнения таблицы 4.3, увеличение и уменьшение показателя степени в в модели рассматриваемой ВФ не усложняют выражения для параметра а, участвующего в формализации СВО. При дальнейшем повышении в соответствующий параметр а записывается аналогичным образом108 [72].

108 Требует вычислительной проверки.

Применение аналитического результата (4.13), а также записанных на его основе выражений (таблица 4.3) [72] позволяет формализовать зависимость а(в) для произвольных целых неотрицательных значений показателя в. Нетрудно видеть, что первое слагаемое числителей (см. таблицу 4.3, второй столбец) есть числовая последовательность:

р1в = {1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5,...,} = |(в + 2)|, в = 1,2,3,4,5,..., . (4.14)

Второе слагаемое числителей (см. таблицу 4.3, второй столбец) - тоже последовательность:

р2в ={0.5,1.0,1.5, 2.0, 2.5,...,}= 1, в = 1,2,3,4,5,..., . (4.15)

Используя обобщение числовых последовательностей р1р (4.14) и р2р (4.15) в (4.13), записано общее выражение:

а(р) =

(1 1 Л (Р1,О - Р2в) [ 2(в + 2 О - 2 в

(4.16)

(О+1) (О+1)

Полученное выражение (4.16) позволяет формировать спектрально-весовые оценки параметров произвольного гармонического сигнала (в том числе помехового) на основе дополнительной обработки СО (4.2) при «взвешивании» реализации степенными вариациями ВФ Хеннинга w(k) = 8шв(пк/К), причём при произвольном целом значении показателя степени в. Таким образом, выражение (4.13) является частным -соответствует кубической вариации 8т3(пк/К) ВФ Хеннинга (4.8), а выражение (4.16) - соответствует произвольному целому неотрицательному значению показателя степени в.

Использование (4.2), (4.6), (4.7) и (4.16), учёт знака (4.16) за счёт множителя (-1)Ьшах, а также подстановка образованной таким образом

«конструкции» (-1) 1шх((0(в + 2)/2)/(0+1)) в общие выражения [245-249] для СВО амплитуды, частоты и начальной фазы позволили получить следующие формализмы. Использование показанной выше «конструкции» на основе

/ч

(4.16) в выражении для СВО амплитуды А [245; 248; 249] привели к новой формуле, справедливой для произвольных в [72]:

А = 2

* (и)

с с с

К-1

^ w (к)ехр - ] 2п

к=0

V V V

(-1)

•^шах

С1 (в + 2 )0 - 1 в'

2

2

(0+1)

к / К

(4.17)