Предельно допустимые оценки в задачах параметрической идентификации математических моделей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор наук Кантор Ольга Геннадиевна

• Кантор Ольга Геннадиевна
• доктор наук
• 2020

Оглавление диссертации доктор наук Кантор Ольга Геннадиевна

ВВЕДЕНИЕ

1. ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

1.1. Сущность и задачи математической обработки наблюдений

1.2. Эволюция подходов к решению задач параметрической идентификации (статистический и нестатистический подходы)

1.3. Задачи исследования

2. КАЧЕСТВО МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

2.1. Качество моделей математической обработки наблюдений

2.2. Информативность и контроль качества моделей

3. ИНТЕРВАЛЬНЫЙ ПОДХОД К ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

3.1. Метод Л.В. Канторовича выявления областей неопределенности параметров математических моделей

3.2. Предельно допустимые оценки

4. МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

4.1. Чебышевские приближения

4.2. Формализация метода решения задачи параметрической идентификации

4.3. Оценка информативности моделей

4.3.1. Описание метода

4.3.2. Учет фактора «старения» информации

4.4. Алгоритмы решения задач параметрической идентификации

5. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ НА ПРИМЕРЕ ЗАДАЧИ УФ СПЕКТРОМЕТРИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

ФУЛЕРЕНСОДЕРЖАЩИХ СМЕСЕЙ

5.1. Постановка задачи и методы ее решения

5.2. Алгоритм определения содержания фуллерена и его замещенных производных в смесях

5.3. Численная реализация задачи количественного анализа фулеренсодержащих смесей

5.4. Описание программы для количественного анализа смесей фуллеренсодержащих продуктов

6. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ И КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ ХИМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

6.1. Контроль качества простейших моделей химической кинетики

6.2. Контроль качества моделей каталитических реакций

6.2.1. Постановка задачи оптимизации дробной подачи окислителя

в реакции получения 4- трет-бутилпирокатехина

6.2.2. Моделирование режима дробной подачи окислителя

6.2.3. Анализ результатов и определение оптимального режима

6.3. Моделирование порядка химической реакции

7. ПРЕДЕЛЬНО ДОПУСТИМЫЕ ОЦЕНКИ В ЗАДАЧАХ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ СЛАБОСТРУКТУРИРОВАННЫХ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

7.1. Построение расширенной производственной функции

Кобба-Дугласа

7.2. Параметрическая идентификация моделей системной динамики

7.2.1. Концептуальный подход к построению модели численности населения Российской Федерации

7.2.2. Алгоритм и программная реализация расчета предельно допустимых оценок параметров модели

7.3. Параметрическая идентификация диффузной модели Басса

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Предельно допустимые оценки в задачах параметрической идентификации математических моделей»

ВВЕДЕНИЕ

Построение математических моделей исследуемых объектов на основе экспериментальных данных является важным инструментом при проведении как теоретических, так и прикладных исследований. Достигнутый уровень и тенденции развития современных технологий обусловливают высокие требования к математическим моделям, что, прежде всего, выражается в необходимости учета максимального количества информации об объекте исследования. От того, насколько хорошо полученные результаты будут соотносится с этой информацией, зависит востребованность модели в контексте достижения целей исследования. Качественная математическая модель может предоставить важную информацию о свойствах изучаемой системы и ее поведении, которая в дальнейшем может быть использована в дальнейших исследованиях, в том числе и в модельных экспериментах.

Сложность объектов исследования, в том числе дороговизна или принципиальная невозможность проведения экспериментов, приводят к необходимости учета факторов неопределенности при построении моделей. К числу таких факторов, помимо прочих, относятся неточность исходной информации и ее неполнота. Неточность исходной информации может выражаться в использовании приближенных величин, величин, заданных интервалами своих возможных значений, отношений с нечеткими границами и пр. Неполнота исходных данных характеризуется тем, что в силу разных причин в распоряжении исследователя может оказаться лишь ограниченное количество экспериментальных данных, что не позволит использовать полный спектр методов моделирования. В частности, малое количество наблюдений может исключить возможность применения статистических методов их обработки.

Неопределенность может выражаться и в неоднозначности вида самой модели. В таких ситуациях целесообразным является анализ потенциально

приемлемых моделей с позиций их соответствия введенным критериям качества.

В некоторых ситуациях неопределенность можно уменьшить за счет проведения дополнительных исследований, однако при изучении сложных систем неопределенность часто носит объективный характер и является неустранимой. Так, например, в химической кинетике неосуществимым является измерение абсолютно точного значения констант скоростей химических реакций, в социально-экономических макросистемах - точных стоимостных показателей и т.д. В этой связи значимой может стать задача определения интервалов значений искомых величин, обеспечивающих достоверность модели.

Стремление получить такие модели обусловливает актуальность разработки методов параметрической идентификации, гарантирующих требуемый уровень качественных характеристик и позволяющих учесть и отобразить всю априорную информацию о специфике объекта исследования. Важным аспектом такого исследования является анализ информативности полученной модели, призванный способствовать улучшению ее качественных характеристик и выявлению наиболее приоритетных направлений доработки.

Степень изученности проблемы. Задачи построения функциональных зависимостей по известным экспериментальным данным исследовалась в работах Н.С. Райбмана, А.Б. Куржанского, Я.З. Цыпкина, В.Д. Фурасова, Л. Льюнга, П. Эйкхоффа, Дж. Нортона, Д. Гропа, И. Густавсона, Т. Содерстрёма в рамках развиваемой ими теория идентификации. В работах В.Н. Вапника, Ю.П. Пытьева, Д. Дюбуа, А. Прада идентичное направление исследований получило название восстановление функциональных зависимостей. Базовыми задачами для данного направления являются задачи распознавания образов, восстановления регрессии и интерпретации результатов косвенных экспериментов. Теория интерполирования и приближения функций получила

развитие в работах П.Л. Чебышева, Е.Я. Ремеза, Н.И. Ахиезера, В.К. Дзядыка, В.Л. Гончарова, И.К. Даугавета, В.А. Даугавета и др.

Всю совокупность существующих подходов к решению задач параметрической идентификации можно разделить на две группы: статистические и нестатистические. Статистические методы на сегодняшний день представляют собой наиболее распространенный инструмент прикладного анализа наблюдений. Возникновение нестатистических методов было обусловлено наличием задач, для которых характерно отсутствие достоверной информации о числовых характеристиках статистических распределений. Формирование статистического подхода как целостной методологии обработки экспериментальных данных состоялось в том числе благодаря известнейшим работам К. Доугерти, М. Кендалла, А. Стюарта, С.А. Айвазяна, Б.В. Гнеденко, В.С. Мхитаряна, В.В. Налимова,

B.В. Федорова и др. На современном этапе осуществляется совершенствование применения статистических методов с учетом особенностей объектов исследования. В частности, активное исследования ведутся у нас в стране применительно к системам телекоммуникации (Ю.Н. Орлов, К.Е. Самуйлов, Л.А. Севастьянов, М.А. Шнепс-Шнеппе,

C.Я. Шоргин, Ю.В. Гайдамака, Б.С. Гольдштейн и др.), в рамках относительно недавно сформировавшегося направления хемометрики (Ю.А. Золотов, А.Л. Померанцев, О.Е. Родионова, Ю.П. Адлер, Е.В. Быстрицкая, В.Г. Горский, Ю.В. Грановский, Г.Е. Заиков, О.Н. Карпухин, Е.Б. Рудный и др.), эконометрики (А.А. Пересецкий, В.Л. Макаров, Ю.Б. Рубин, В.И. Суслов, А.Р. Бахтизин и др.) и т.д.

Нестатистические методы параметрической идентификации развиваются в рамках теории нечетких множеств (Т. Такаги, М. Сугено, А.П. Вощинин, Г.Р. Сотиров, Ф. Хоффман, Р.Р. Ягер и др.) и теории возможностей (Д. Дюбуа, А. Прад, Ю.П. Пытьев, Р.Р. Ягер и др.).

Принципиально другая методология обработки наблюдений была предложена Л.В. Канторовичем [96]. Суть ее состоит в том, чтобы на основании максимально полного использования всей имеющейся информации об объекте исследования для каждого из параметров определять

интервалы, вариация значений внутри которых обеспечивает требуемый уровень качественных характеристик модели.

Идеи, высказанные Л.В. Канторовичем, заложили основу нового подхода к математической обработке наблюдений, которое активно развивается в рамках интервального анализа, благодаря работам зарубежных и российских авторов (Э. Мур, Г. Алефельд, Ю. Херцбергер, Г. Бельфорте, Е. Вальтер, В. Крейнович, М. Миланезе, Г.Р. Сотиров, Н.Н. Яненко, Ю.И. Шокин, А.Ф. Бочкова С.П. Шарый, А.В. Максимов, Н.М. Оскорбин и др.), а также в отдельных научных направлениях. Одно из них связано с решением обратных задач химической кинетики при исследовании механизмов сложных химических реакций (С.И. Спивак, В.Г. Горский, Г.С. Яблонский, В.М. Белов, Э.Ф. Брин, В.И. Быков, С.А. Мустафина, В.А. Суханов и др.).

В настоящей работе осуществляется развитие идеи Л.В. Канторовича для определения границ интервалов значений параметров, обеспечивающих требуемое качество математического описания в условиях неопределенности экспериментальных данных, обусловленной их неточностью и неполнотой.

Целью диссертационной работы является разработка методов решения задач параметрической идентификации систем линейных уравнений и автономных систем дифференциальных уравнений на основе предельно допустимых оценок параметров, обеспечивающих достижение требуемого качества описания экспериментальных данных в условиях неопределенности, обусловленной их неточностью и неполнотой, а также применение разработанных методов при моделировании исследованных химических и социально-экономических систем.

Для достижения цели в контексте исследованных типов математических моделей потребовалось решение следующих задач.

1. Разработка метода параметрической идентификации, позволяющего осуществлять синтез решения обратных задач математической обработки наблюдений и задач контроля качества моделей исследуемых систем.

2. Формализация процедуры расчета предельно допустимых оценок параметров моделей.

3. Разработка метода анализа информативности математических моделей в условиях неопределенности исходных данных.

4. Разработка методики идентификации системы уравнений Фирордта, применяемой в рамках количественного анализа многокомпонентных смесей.

5. Разработка математического и программного обеспечения для анализа механизма реакции и решения обратных задач химической кинетики.

6. Проверка состоятельности разработанного метода параметрической идентификации при построении классических моделей социально-экономических систем (расширенной производственной функции Кобба-Дугласа, модели системной динамики, диффузной модели Басса).

Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы системного анализа, математического моделирования, оптимизации, химической кинетики, УФ спектрометрического анализа, подход Л.В. Канторовича к определению областей неопределенностей математических моделей, численные методы, методы параллельного программирования.

Положения, выносимые на защиту

1. Методы параметрической идентификации систем линейных уравнений и автономных систем дифференциальных уравнений на основе использования предельно допустимых оценок параметров, обеспечивающие контроль качества моделей исследуемых систем.

2. Метод анализа информативности математических моделей, основанный на расчете количественных характеристик, получаемых с использованием предельно допустимых оценок параметров.

3. Методическое и алгоритмическое обеспечение процедуры расчета предельно допустимых оценок.

4. Методика количественного анализа многокомпонентных фуллеренсодержащих смесей, обеспечивающая применимость метода Фирордта с учетом погрешности экспериментальных данных.

5. Схема планирования кинетического эксперимента для решения задачи оптимизации дробной подачи окислителя в реакции получения 4-трет-бутилпирокатехина на основе селективного окисления 4-трет-бутилфенола растворами пероксида водорода в присутствии титаносиликатных катализаторов.

6. Методики параметрической идентификации математических моделей слабоструктурированных социально-экономических систем, основанные на использовании предельно допустимых оценок (в рамках построения расширенной функции Кобба-Дугласа, модели системной динамики численности населения Российской Федерации, диффузной модели Басса).

Научная новизна:

1. Разработан метод параметрической идентификации математических моделей систем линейных уравнений и автономных систем дифференциальных уравнений, основанный на использовании предельно допустимых оценок параметров. Метод обеспечивает синтез решения обратных задач математической обработки наблюдений и задач контроля качества моделей исследуемых систем и включает соответствующее математическое и алгоритмическое обеспечение. Его применение позволяет проводить исследования в условиях ограниченного числа экспериментальных данных и с учетом погрешности их измерений (п. 2 паспорта специальности 05.13.18).

2. В развитие подхода Л.В. Канторовича к идентификации областей неопределенностей осуществлена формализация задачи расчета предельно допустимых оценок, используемых в качестве границ множества значений параметров исследованных типов математических моделей, обеспечивающих требуемое качество описания экспериментальных данных (п. 6 паспорта специальности 05.13.18).

3. Разработан метод анализа информативности идентифицированных зависимостей с позиций исследования обусловленного обратного влияния

неопределенности исходных данных, в том числе, с учетом «старения» информации (п. 7 паспорта специальности 05.13.18).

4. Разработана методика количественного анализа многокомпонентных фуллеренсодержащих смесей, обеспечивающая применимость метода Фирордта с учетом погрешности, возникающей в результате применения физико-химических методов обработки экспериментальных данных; создано соответствующее алгоритмическое и программное обеспечение (п. 6 паспорта специальности 05.13.18).

5. Разработано математическое и программное обеспечение для решения задачи оптимизации дробной подачи окислителя в реакции получения 4-трет-бутилпирокатехина на основе селективного окисления 4-трет-бутилфенола растворами пероксида водорода в присутствии титаносиликатных катализаторов, применение которого позволяет определять режимы проведения реакции, обеспечивающие увеличение выхода конечного продукта при одновременном сокращении расхода окислителя. Основу разработанного подхода составляют качественные методы исследования кинетических моделей с использованием предельно допустимых оценок констант скоростей реакции (п. 7 паспорта специальности 05.13.18).

6. На основе предельно допустимых оценок с использованием статистических данных Российской Федерации решены задачи построения модели системной динамики численности населения, шестифакторной функции Кобба-Дугласа, устанавливающей связь между трудовыми ресурсами и валовым внутренним продуктом, и модели диффузии инноваций Басса; создано соответствующее алгоритмическое и программное обеспечение (п. 7 паспорта специальности 05.13.18).

Практическая значимость результатов. Разработанный метод параметрической идентификации математических моделей является действенным инструментом для подготовки и организации численных экспериментов по определению оптимальных наборов параметров моделей

заданной спецификации, обеспечивающих достижение качественных характеристик и учет значимой априорной информации. Его применение позволило решить ряд важных практических задач.

1. Решена задача определения состава многокомпонентных смесей на основании УФ спектрометрических данных с учетом погрешности в экспериментальной информации.

2. В Уфимском институте химии Уфимского научного центра РАН для проведения количественного анализа многокомпонентных фуллеренсодержащих смесей внедрено и применяется программное обеспечение «Определение содержания фуллерена и его замещенных производных в смеси фуллеренсодержащих продуктов», зарегистрированное в ФСИС (Роспатент).

3. Разработанный метод оптимизации режима дробной подачи пероксида водорода в реакции получения 4-трет-бутилпирокатехина на основе окисления 4-трет-бутилфенола в присутствии титаносиликатных катализаторов применяется для планирования экспериментов в Институте нефтехимии и катализа Уфимского научного центра РАН.

4. Разработанный метод параметрической идентификации моделей системной динамики на основе использования авторского алгоритма распараллеливания процесса перебора элементов многомерных областей, зарегистрированного в ФСИС (Роспатент), внедрен в учебную программу кафедры математического моделирования ФГБОУ ВО «Башкирский государственный университет».

5. Показана состоятельность разработанного метода при решении задач параметрической идентификации исследованных моделей социально-экономических систем (системной динамики, расширенной производственной функции Кобба-Дугласа и диффузной модели Басса), что создает задел для проведения исследований на основе моделей данных типов с различными данными.

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертационном исследовании, подтверждаются корректностью представленных моделей, построенных на основе разработанного метода параметрической идентификации функциональных зависимостей. Достоверность алгоритмов и численных методов подтверждена свидетельствами о регистрации электронных ресурсов.

Личный вклад автора. Автором в рамках коллективной работы по развитию идей Л.В. Канторовича предложено использовать термин «предельно допустимые оценки параметров» для обозначения границ множества, аппроксимирующего область значений приемлемых параметров модели. Автором лично предложено осуществлять синтез решения обратных задач математической обработки наблюдений и задач контроля качества моделей исследуемых систем; разработан методический подход для осуществления анализа информативности моделей, ключевым этапом которого является оценка обусловленного обратного влияния неопределенности исходных данных; разработаны алгоритмы и ряд программ для анализа прикладных задач химической кинетики и системной динамики.

Связь с научными программами. Отдельные разделы работы выполнены при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00749 «Качество моделей математической обработки наблюдений в социальных и экономических системах»).

Апробация работы. Основные положения работы и результаты исследований докладывались и обсуждались на следующих международных и всероссийских конференциях:

- Международная научная школа-семинар «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск, 2011, 2012, 2013, 2014);

- 15th GAMM-IMACS International Symposium on Scientific Computing, Computer Arithmetics and Verified Numerics (Novosibirsk, 2012);

- I Международная научная конференция «Формирование основных направлений развития современной статистики и эконометрики» (Оренбург, 2013);

- Международная научно-практическая конференция «Экономико-математические методы исследования современных проблем экономики и общества» (Уфа, 2013);

- Международная научная конференция «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий» (Воронеж, 2014, 2016);

- International Conference on «Information Technologies for Intelligent Decision Making Support» (Ufa, 2015, 2016);

- III международная конференция «Устойчивость и процессы управления» (Санкт-Петербург, 2015);

- V Международная конференция-школа по химической технологии ХТ'16. Сателлитная конференция ХХ Менделеевского съезда по общей и прикладной химии (Волгоград, 2016);

- Distributed computer and communication networks: control, computation, communication (DCCN-2019) (Москва, 2019);

- Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики (Воронеж, 2019);

- 1st International Conference on Control Systems, Mathematical Modelling, Automation and Energy Efficiency (SUMMA) (Lipetsk, 2019);

- XIV Международная научная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании» (Саранск, 2019);

- Всероссийская конференция «Статистика. Моделирование. Оптимизация» (Челябинск, 2011);

- II Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием с элементами научной школы для молодежи

«Высокопроизводительные вычисления на графических процессорах» (Пермь, 2014);

- Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Математическое моделирование процессов и систем» (Стерлитамак, 2014, 2016, 2017);

- Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Фундаментальные и прикладные проблемы механики, математики, информатики» (Пермь, 2015);

- VII Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Инновационные технологии управления социально-экономическим развитием регионов России» (Уфа, 2015);

- Всероссийская научно-практическая конференция «Математическое моделирование на основе статистических методов» (Бирск, 2015);

- Первая летняя школа-конференция «Физико-химическая гидродинамика: модели и приложения» (Уфа, 2016).

Публикации. По теме диссертационного исследования в числе наиболее значимых опубликовано 57 работ, из них 10 - в изданиях, входящих в Web of Science и Scopus, 20 - из списка изданий, рекомендованных ВАК, 8 - в других рецензируемых научных журналах. Автором получены 4 свидетельства о регистрации электронных ресурсов и программ для ЭВМ.

Объем и структура диссертации. Материалы диссертационного исследования изложены на 272 страницах основного текста, включают 42 рисунка, 33 таблицы, 7 приложений. Работа состоит из введения, 7-и глав, заключения и списка использованных источников из 285 наименований.

1. ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

1.1. Сущность и задачи математической обработки наблюдений

Изучение задач математической обработки наблюдений осуществляется в рамках таких разделов математики, как теория приближений (П.Л. Чебышев [217], Е.Я. Ремез [161], Н.И. Ахиезер [10], В.К. Дзядык [66], В.Л. Гончаров [56], И.К. Даугавет [63], В.А. Даугавет [62]), восстановление функциональных зависимостей (В.Н. Вапник [30], Ю.П. Пытьев [79, 155-157], Д. Дюбуа, А. Прад [74]), теория идентификации (Н.С. Райбман [160], А.Б. Куржанский [116, 117], Я.З. Цыпкин [215, 216], В.Д. Фурасов [210], Л. Льюнг [125], П. Эйкхофф [223], Дж. Нортон [265, 266], Д. Гроп [60], И. Густавсон [251, 252], Т. Содерстрём [276, 277]). Методы, применяемые в теории приближений, базируются на использовании специальных функций: обыкновенных и тригонометрических полиномов, сплайнов, отрезков рядов Фурье и пр. [55]. Базовыми задачами восстановления функциональных зависимостей являются задачи распознавания образов, восстановления регрессии и интерпретации результатов косвенных экспериментов. Методы идентификации в большей степени ориентированы на применение специально разработанных алгоритмов и вычислительных процедур.

Несмотря на существующие особенности каждого из перечисленных разделов, по сути, обработка наблюдений с использованием их методов и инструментов сводится к решению задачи определения лучшей в некотором смысле функциональной зависимости, описывающей имеющиеся экспериментальные данные. В настоящем диссертационном исследовании за основу принята терминология, используемая в рамках теории идентификации.

Под идентификацией математической модели понимают определение ее структуры (спецификации) и параметров, которые обеспечивают

наилучшее соответствие экспериментальных данных и рассчитанных по модели значений функции (расчетных значений). По сути, идентификация представляет собой процедуру построения модели на основе имеющейся экспериментальной информации. При этом на выбор подходов и методов для непосредственного построения модели существенное влияние оказывают следующие факторы:

- объем имеющейся информации об объекте исследования;

- тип экспериментальных данных;

- тип исследуемого объекта;

- вид математической модели;

- критерий качества модели.

В зависимости от имеющейся информации об объекте исследования различают методы непараметрической и параметрической идентификации. В первом случае считается, что структура объекта исследования неизвестна, а потому неизвестной является и спецификация модели, которая описывает его. Во втором случае структура модели, используемой для описания исследуемого объекта известна, и задача заключается в определении ее параметров. Таким образом, задача параметрической идентификации является составной частью задачи непараметрической идентификации. По этой причине задачи непараметрической идентификации иногда называют задачами идентификации в широком смысле, а параметрической - в узком [129, 160, 223].

Будем рассматривать задачу параметрической идентификации для модели:

У = / (а,х ), (1.1)

где х е X с Яп, у е У с Я1, /(•) - функция заданной спецификации, непрерывная по совокупности своих аргументов, а = ...} - вектор числовых параметров, подлежащих определению.

Экспериментальные данные задаются множеством

К = {(х,, у( = 1, т}, I - номер наблюдений, т - количество наблюдений.

Предполагается их априорная неточность и неполнота. Первое

* *

предположение означает, что истинные значения исходных данных х^ и у1 принадлежат некоторым неизвестным интервалам е [ху(, х^ ], у**е [у у ],

^ = 1, т, у = 1, п; второе - что количество наблюдений т мало, причем настолько, что не обеспечивает применимость статистических методов обработки данных.

Введем обозначения:

- Ку = {У1,Ут};

- К^ = [у, у ]х... х [у ,ут ] - множество возможных значений у(,

t = 1, m;

=\xlt,xlt ]x...x\xnt,xnt ] - множество возможных значений

вектора xt, t = 1, m;

- H = H(a)={h = {y ,•••,ym}}, где yt = f(a,xt) - расчетное значение

0 'aI a - a - a, i = 1, q} - множество возможных значений

функции (1.1) в t-м наблюдении, t = 1, m;

- Л0 ={a^a;- - ai - ai,i = 1,q) параметров a.

_^ Q

Определение 1. Вектор a еЛ называется оптимальным набором значений параметров функции (1.1), если

d (к ,H (a* ))= mind (к ,H (a ))= mindKv ,H ),

V y v " аеЛ0 V y ' heH V У '

где d(к ,H) - расстояние между К и множеством H в смысле некоторой введенной в К нормы ||о||.

_*

Задача отыскания вектора a называется задачей параметрической идентификации.

Теорема 1. Если К^ ПН ф 0, то оптимальный набор значений

параметров а в задаче параметрической идентификации существует. Доказательство.

Введем в рассмотрение множества К_ = [хи, хи ] ], t = 1, ш.

Каждое из этих множеств является компактным. Л0 - компакт. Тогда

V t = 1, ш множество Л0 х К- также является компактным.

Так как f (•) - непрерывна по совокупности своих аргументов, у -непрерывна на Л0 х К- . Следовательно, у( - равномерно непрерывна на Л0 х К- и достигает на этом множестве своего минимального значения у и

хг —I

максимального значения у . Получим, что у е[у , у ], t = 1,

ш

Рассмотрим

У1' У.

х ... х

У гп , Уш

]. Это

множество содержит все

возможные расчетные значения у, t = 1, ш функции (1.1). Следовательно

" _ " " _ "

У1, у1. х... х Уш,Уш -

Допустим, что 3 а*. Тогда V к е^ ПН d(к ,к, что означает

v С > 0:

Ку - к

> С.

В силу того, что К - компакт и К еК , 3г >0: К <г. Аналогично

в силу того, что Н - компакт и к е Н, 3 г2 > 0:

к

< г2.

К „ - к < К* + к

У У

< Г1 + г2 .

Получили противоречие, доказывающее теорему.

_*

Условия для определения вектора а записываются в виде:

□

Л = У, t = 1,ш. (1.2)

Найти точное решение системы уравнений (1.2) не всегда представляется возможным. Поэтому ищется приближенное решение,

которое должно обеспечивать требуемый уровень качественных характеристик модели (1.1) и учитывать специфику исследуемых систем. Разработка и реализация именно такого подхода составляют предмет исследования диссертации.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Кантор Ольга Геннадиевна, 2020 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Айвазян, С. А. Прикладная статистика и основы эконометрики / С. А. Айвазян, В. С. Мхитарян. - М.: ЮНИТИ, 1998. - 1022 с.

2. Айвазян, С. А. Прикладная статистика. Исследование зависимостей / С. А. Айвазян, И. С. Енюков, Л. Д. Мешалкин. - М.: Финансы и статистика, 1985. - 488 с.

3. Айвазян, С. А. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных / С. А. Айвазян, И. С. Енюков, Л. Д. Мешалкин. - М.: Финансы и статистика, 1983. - 471 с.

4. Айвазян, С. А. Теория вероятностей и прикладная статистика / С. А. Айвазян, В. С. Мхитарян. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 656 с.

5. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей / Под ред. В. Н. Вапника. - М.: Наука, 1984. - 816 с.

6. Алимов, Ю. И. Альтернатива методу математической статистики / Ю. И. Алимов. - М.: Знание, 1980. - 64 с.

7. Анциферов, Е. Г. Методы оптимизации и их приложения. Ч. 1. Математическое программирование / Е. Г. Анциферов, Л. Т. Ащепков, В. П. Булатов. - Новосибирск: Наука, 1990. - 160 с.

8. Аоки, М. Введение в методы оптимизации / М. Аоки. - М.: Наука, 1977. - 334 с.

9. Аристархов, А. В. Определение областей пространства кинетических параметров и интервалов неопределенности для частных реакций гидроалюминирования олефинов / А. В. Аристархов, С. И. Спивак, И. М. Губайдуллин // Вестник Башкирского университета. - 2009. - Т.14, № 4. - С. 1331-1334.

10. Ахиезер, Н. И. Лекции по теории аппроксимации / Н. И. Ахиезер. -М.: Наука Гл. ред. физ.-мат. лит., 1965. - 408 с.

11. Ашманов, С. А. Линейное программирование / С. А. Ашманов. -М.: Наука, 1981. - 340 с.

12. Ашманов, С. А. Условия устойчивости задач линейного программирования / С. А. Ашманов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1981. - Т. 21, № 6. - С. 1402-1410.

13. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2011. - 640 с.

14. Бахитова, Р. Х. Интервальное оценивание в задачах математической обработки физико-химических измерений / Р. Х. Бахитова, С. И. Спивак // Вестник Башкирского университета. - 1997. - Т.2, № 3. -С. 18-21.

15. Беллман, Р. Принятие решений в расплывчатых условиях / Р. Белман, Л. Заде / Вопросы анализа и процедуры принятия решений / Под ред. И. Ф. Шахнова. - М.: Мир, 1976. - С. 172-215.

16. Белов, В. М. Обзор основных статистических методов определения параметров аппроксимирующих функций / В. М. Белов, В. А. Суханов, Ф. Г. Унгер. - Препринт № 46, ТНЦ СО АН СССР, Томск, 1990. - 34 с.

17. Белов, В. М. Теоретические и прикладные аспектыметода центра неопределенности / В. М. Белов, В. А. Суханов, Ф. Г. Унгер. - Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1995. - 144 с.

18. Берштейн, И. Я. Спектрофотометрческий анализ в органической химии / И. Я. Берштейн, Ю. А. Каминский. - Л.: Химия, 1986. - 200 с.

19. Биглова, Ю. Н. Количественное определение методом УФ спектроскопии производных метанофуллеренов с различной степенью замещения / Ю. Н. Биглова, В. А. Крайкин, В. В. Михеев, С. А. Торосян, С. В. Колесов, А. Г. Мустафин, М. С. Мифтахов // Журнал структурной химии. - 2013. - Т. 54, № 4. - С. 674-678.

20. Биглова, Ю. Н. УФ-спектроскопия производных метанофуллеренов с различной степенью замещения / Ю. Н. Биглова, В. А. Крайкин, С. А. Торосян, С. В. Колесов, М. С. Мифтахов, В. В. Михеев, А. Г. Мустафин // Журнал физической химии. - 2013. - Т. 87, № 10. -С. 1705-1708.

21. Блехман, И. И. Прикладная математика: предмет, логика, особенности подходов / И. И. Блехман, А. Д. Мышкис, Я. Г. Пановко. - Киев: Наукова думка, 1976. - 260 с.

22. Болч, Б. Многомерные статистические методы для экономики / Б. Болч, К. Дж. Хуань. - М.: Статистика, 1979. - 317 с.

23. Большой толковый словарь русского языка / гл. ред. С. А. Кузнецов. - СПб.: Норинт, 2004. - 1534 с.

24. Бояринов, А. И. Методы оптимизации в химической технологии / А И. Бояринов, В. В. Кафаров. - М.: Химия, 1969. - 564 с.

25. Брин, Э. Ф. Обратные задачи химической кинетики как метод исследования механизмов сложных реакций / Э. Ф. Брин // Успехи химии. -1987. - Т. 65, № 3. - С. 428-446.

26. Бродский, А. И. Физическая химия. Т. 2: Растворы, электрохимия, химическая кинетика, фотохимия / А. И. Бродский. - М.-Л.: Государственное научно-техническое издательство химической литературы, 1948. -С. 491-998.

27. Буравлев, А. И. Трехфакторная производственная модель Кобба-Дугласа / А. И. Буравлев // Экономика и управление: проблемы, решения. -2012. - № 3. - С. 13-19.

28. Вандерскрик, К. Демографический анализ / К. Вандерскрик / Пер. с фр. Н. Калмыковой. - М.: Академический проект; Гаудеамус, 2005. - 272 с.

29. Вант-Гофф, Я. Г. Очерки по химической динамике / Я. Г. Вант-Гофф. - Л.: ОНТИ-Химтеорет, 1936. - 178 с.

30. Вапник, В. Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным / В. Н. Вапник. - М.: Наука, 1979. - 448 с.

31. Васильев, Ф. П. Линейное программирование / Ф. П. Васильев, А. Ю. Иваницкий. - М.: Факториал, 1998. - 174 с.

32. Васильев, Ф. П. Методы оптимизации / Ф. П. Васильев. -М.: Факториал Пресс, 2002. - 824 с.

33. Васильева, М. В. Параллельное программирование на основе библиотек: учебное пособие / М. В. Васильева, П. Е. Захаров, И. К. Сирдитов, П. А. Попов, М. С. Еремеева. - Якутск: Издательско-полиграфический комплекс СВФУ, 2011. - 94 с.

34. Васин, В. В. Метод квазирешений Иванова и его эффективная реализация / В. В. Васин // Известия УрГУ. - 2008. - № 58. - С. 59-77.

35. Введение в математическое моделирование / Под ред.

B. П. Трусова. - М.: Логос, 2005. - 440 с.

36. Воеводин, В. В. Математические проблемы параллельных вычислений / Труды Всероссийской научной конференции «Научный сервис в сети Интернет: технологии распределенных вычислений». - М. - 2005. -

C. 3-8.

37. Воеводин, В. В. Параллельные вычисления / В. В. Воеводин, Вл. В. Воеводин. - СПб: БХВ-Петербург. - 2002. - 608 с.

38. Волошинов, В. В. Параметрические свойства обратных задач оптимизации / В. В. Волошинов, Г. Г. Коткин. - М.: Вычислительный центр АН СССР, 1990. - 46 с.

39. Волькенштейн, М. В. Энтропия и информация / М. В. Волькенштейн. - М.: Наука, 1986. - 193 с.

40. Вольперт, А. И. Качественные методы исследования уравнений химической кинетики / А. И. Вольперт. Черноголовка: Изд. ОИХФ ЛН СССР, 1976. - 19 с.

41. Воронов А. А. Основы теории автоматического управления: Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем / А. А. Воронов. - М.: Энергия, 1980. - 312 с.

42. Вощинин, А. П. Задачи анализа с неопределенными данными -интервальность и/или случайность? / А. П. Вощинин // Интервальная математика и распространение ограничений: Рабочие совещания. - МКВМ-2004. - С. 147-158.

43. Вощинин, А. П. Оптимизация в условиях неопределенности /

A. П. Вощинин, Г. Р. Сотиров. - Москва-София: Изд-во МЭИ (СССР), «Техника» (НРБ), 1989. - 224 с.

44. Гайнанов, Д. А. Оценка уровня социально-экономического развития территориальных систем на основе метрического анализа / Д. А. Гайнанов, О. Г. Кантор, В. В. Казаков // Вестник Томского государственного университета. - 2009. - № 322. - С. 138-144.

45. Гаркави, А. Л. О чебышевском центре и выпуклой оболочке множества / А. Л. Гаркави // Успехи математических наук. - 1964. - Т. 19, вып. 6 (120). - С. 139-145.

46. Гасс, С. Линейное программирование / С. Гасс. - М.: Физматгиз, 1961. - 303 с.

47. Гафарова, Е. А. Моделирование регионального развития на основе производственных функций / Е. А. Гафарова // Интернет-журнал Науковедение. - 2013. - № 3 (16). - С. 10.

48. Геловани, В.А. Информационное клонирование в процессах глобализации / В.А. Геловани, В.Б. Бритков, С.В. Дубровский // Общественные науки и современность. - 2005. - № 6. - С. 121-127.

49. Геловани, В. А. Об одной задаче управления в глобальной динамической модели Форрестера / В. А. Геловани, В. А. Егоров,

B. Б. Митрофанов, А. А. Пионтковский. - Доклады Академии наук. - 1975. -Т. 220(3). - С. 536-539.

50. Геловани, В. А. Решение одной задачи управления для глобальной динамической модели Форрестера / В. А. Геловани, В. А. Егоров, В. Б. Митрофанов, А. А. Пионтковский. - ИПМ АН СССР, 1974. - 54 с.

51. Геловани, В. А. Эволюция концепций стратегической стабильности: ядерное оружие в XX-XI веке. 2-е изд. / В. А. Геловани, А. А. Пионтковский. - М.: Изд-во ЛКИ, 2008. - 111 с.

52. Гермейер, Ю. Б. Введение в теорию исследования операций / Ю. Б. Гермейер. - М.: Наука, 1971. - 384 с.

53. Гоготов, А. Ф. Опытно-промышленные испытания третбутилпирокатехина в качестве ингибитора полимерообразования в пироконденсатах / А. Ф. Гоготов, В. В. Амосов, В. А. Таюрский [и др.] // Производство и использование эластомеров. - 2002. - № 1. - С. 3-9.

54. Гоготов, А. Ф. Промышленные испытания третбутилпирокатехина в качестве ингибитора в производствах ЭП-300 и «Пиротол» Ангарского завода полимеров / А. Ф. Гоготов, В. В. Амосов, А. В. Иванова [и др.] // Нефтепереработка и нефтехимия. - 2004. - № 3. - С. 31-33.

55. Голубинский, А. Н. Методы аппроксимации экспериментальных данных и построения моделей / А. Н. Голубинский // Вестник Воронежского института МВД России. - 2007. - № 2. - С. 138-143.

56. Гончаров, В. Л. Теория интерполирования и приближения функций / В. Л. Гончаров. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954. - 328 с.

57. Грант, Р. Современный стратегический анализ / Р. Грант. - СПб.: Питер, 2008. - 560 с.

58. Гришунин, С. И. Антиинтуитивизм в контексте современной науки / С. И. Гришунин // Вестник РУДН, серия Философия. - 2010. - № 1. -С. 13-23.

59. Гришунин, С. И. Моделирование, интуиция и принятие решений / С. И. Гришунин // Электронное научное издание Альманах Пространство и Время. - 2015. - Т. 9, вып. 2.

60. Гроп, Д. Методы идентификации систем / Д. Гроп. - М.: Мир, 1979. - 296 с.

61. Гунькин, И. Ф. Влияние природы органического растворителя на характер спектра поглощения фуллерена С60 / И. Ф. Гунькин, Н. Ю. Логинова // Журнал общей химии. - 2006. - Т. 76, № 12. -С. 2000-2002.

62. Даугавет, В. А. Введение в теорию приближения функций / В. А. Даугавет. - Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1977. - 184 с.

63. Даугавет, И. К. Теория приближенных методов. Линейные уравнения / И. К. Даугавет. - СпБ.: БХВ-Петербург, 2006. - 288 с.

64. Деккер, К. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений: Пер. с англ. / К. Деккер, Я. Вервер. - М.: Мир, 1988. - 334 с.

65. Демография: Учебник / Под общ. ред. Н. А. Волгина. - М.: Изд-во РАГС, 2003. - 384 с.

66. Дзядык, В. К. Введение в теорию равномерного приближения полиномами / В. К. Дзядык. - М.: Наука Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. - 512 с.

67. Дилигенский, Н. В. Нечеткое моделирование и многокритериальная оптимизация производственных систем в условиях неопределенности: технология, экономика, экология / Н. В. Дилигенский, Л. Г. Дымова, П. В. Севастьянов. - М.: Машиностроение - 1, 2004. - 397 с.

68. Димитров, В. И. Простая кинетика / В. И. Димитров. -Новосибирск: Наука, 1982. - 383 с.

69. Домбровская, И. Н. К теории некоторых линейных уравнений в абстрактных пространствах / И. Н. Домбровская, В. К. Иванов // Сибирский математический журнал. - 1965. - Т. 6, № 3. - С. 499-508.

70. Доугерти, К. Введение в эконометрику / К. Доугерти. - М.: Инфра-М, 2001. - XIV. - 402 с.

71. Дрейпер, Н. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х кн. Кн. 1 / Н. Драйпер, Г. Смит. - М.: Финансы и статистика, 1986. - 366 с.

72. Дубровский, С. В. Глобальное моделирование: вопросы теории и практики / С. В. Дубровский // Век глобализации. - 2010. - Т. 2, № 6. -С. 47-67.

73. Дубровский, С. В. Объект моделирования - цикл Кондратьева / С. В. Дубровский // Математическое моделирование. - 1995. - Т. 7, № 6. -С. 65-74.

74. Дюбуа, Д. Теория возможностей / Д. Дюбуа, А. Прад. - М.: Радио и связь, 1990. - 288 с.

75. Егоров, В. А. Математические модели глобального развития /

B. А. Егоров, Ю. Н. Каллистов, В. Б. Митрофанов, А. А. Пионтковский. -Л.: Гидрометеоиздат, 1980. - 192 с.

76. Еремин, И. И. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования / И. И. Еремин, Н. Н. Астафьев. - М.: Физматлит, 1976. - 192 с.

77. Желовицкая, А. В. Окисление органических соединений с помощью гидроксид-радикала, генерируемого в растворах химическим и электрохимическими методами / А. В. Желовицкая, Е. А. Ермолаева, А. Ф. Дресвянников // Вестник Казанского технологического университета. -2008. - № 6. - С 211-229.

78. Жолен, Л. Прикладной интервальный анализ / Л. Жолен, М. Кифер, О. Дидри, Э. Вальтер. - М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. - 468 с.

79. Жучко, О. В. Восстановление функциональной зависимости теоретико-возможностными методами / О. В. Жучко, Ю. П. Пытьев. // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2003. -Т. 43, № 5. - С. 767-783.

80. Закгейм, А. Ю. Общая химическая технология. Введение в моделирование химико-технологических процессов / А. Ю. Закгейм. -М.: Логос, 2009. - 302 с.

81. Зельдович, Я. Д. Элементы прикладной математики / Я. Д. Зельдович, А. Д. Мышкис. - М.: Наука Гл. ред. физ.-мат. лит., 1972. -592 с.

82. Зуховицкий, С. И. Линейное и выпуклое программирование /

C. И. Зуховицкий, Л. И. Авдеева. - М.: Наука, 1967. - 460 с.

83. Зуховицкий, С. И. Об алгорифмах для решения некоторых задач нелинейного чебышевского приближения и нелинейного программирования / С. И. Зуховицкий / В сб. «Исследование по современным проблемам конструктивной теории функций». - Баку: Академия наук Азербайджанской ССР, 1965. - 639 с.

84. Иванов, В. К. О некорректно поставленных задачах / В. К. Иванов // Математический сборник. - 1963. - Т. 61(103), № 2. - С. 211-223.

85. Ильин, В. А. Основы математического анализа: В 2 ч. Часть I /

B. А. Ильин, Э. Г. Позняк. - М.: Наука, Физматлит, 1998. - 616 с.

86. История человечества: Под ред. А. Н. Сахарова. - Т.1-8. -М.: ЮНЕСКО, 2003. - 682 с.

87. Кабанихин, С. И. Обратные и некорректные задачи /

C. И. Кабанихин. - Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. -457 с.

88. Кавалеров, Г. И. Введение в информационную теорию измерений / Г. И. Кавалеров, С. М. Мандельштам. - М.: Энергия, 1974. - 375 с.

89. Калиткин, Н. Н. Численные методы / Н. Н. Калиткин. - М: Наука, 1978. - 512 с.

90. Калмыков, С. А. Методы интервального анализа / С. А. Калмыков, Ю. И. Шокин, З. Х. Юлдашев. - Новосибирск: Наука, 1986. - 223 с.

91. Кантор, О. Г. Параметрическая идентификация математических моделей химической кинетики / О. Г. Кантор, С. И. Спивак, Р. Р. Талипова // Системы и средства информатики. - 2017. - Т. 27, № 3. - С. 145-154.

92. Кантор, О. Г. Оптимизация режима дробной подачи окислителя в реакции получения 4-трет-бутилпирокатехина / О. Г. Кантор, Р. Р. Талипова // Вестник Башкирского университета. - 2017. - Т. 22, № 1. -С. 77-82.

93. Кантор, О. Г. Оценка качества моделей химической кинетики / О. Г. Кантор, С. И. Спивак // Известия УНЦ РАН. - 2017. - № 2. - С. 11-17.

94. Кантор, О. Г. Планирование экспериментов на основе контроля качества кинетических моделей / О. Г. Кантор, Р. Р. Талипова, С. И. Спивак // Вестник Башкирского университета. - 2017. - Т. 22, № 3. - С. 12-18.

95. Канторович, Л. В. Математическое оптимальное программирование в экономике / Л. В. Канторович, А. Б. Горстко. - М.: Знание, 1968. - 96 с.

96. Канторович, Л. В. О некоторых новых подходах к вычислительным методам и обработке наблюдений / Л. В. Канторович // Сибирский математический журнал. - 1962. - Т. 3, № 5. - С. 701-709.

97. Канторович, Л. В. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов / Л. В. Канторович. - М.: Издательство Академии наук СССР, 1960. - 348 с.

98. Капица, С. П. Общая теория роста человечества / С. П. Капица. -М.: Наука, 1999. - 190 с.

99. Капица, С. П. Синергетика и прогнозы будущего / С. П. Капица, С. П. Курдюмов, Г. Г. Малинецкий. - М.: УРСС, 2003. - 288 с.

100. Карманов, В. Г. Математическое программирование / В. Г. Карманов. - 5 изд. - М.: Физматлит, 2004. - 264 с.

101. Карпов, В. Е. Введение в распараллеливание алгоритмов и программ / В. Е. Карпов. // Компьютерные исследования и моделирование. -2010. - Т. 2, № 3. - С. 231-272.

102. Кафаров, В. В. Математическое моделирование основных процессов химических производств / В. В. Кафаров, М. Б. Глебов. -М.: Высшая школа, 1991. - 399 с.

103. Кендалл, М. Многомерный статистический анализ и временные ряды / М. Кендалл, А. Стьюарт. - М.: Наука, 1976. - 736 с.

104. Кендалл, М. Статистические выводы и связи / М. Кендалл, А. Стюарт. - М.: Наука, 1973. - 899 с.

105. Кендалл, М. Теория распределений / М. Кендалл, А. Стюарт. - М.: Наука, 1966. - 588 с.

106. Киреев, В. А. Курс физической химии / В. А. Киреев. - М.: Химия, 1975. - 776 с.

107. Комлев, Н. Г. Словарь иностранных слов / Н. Г. Комлев. - М.: ЭКСМО-Пресс, 2000. - 671 с.

108. Коплярова, Н. В. О параметрических алгоритмах идентификации нелинейных динамических систем / Н. В. Коплярова, Н. А. Сергеева // Вестник СибГАУ. - 2012. - Т. 51, № 5. - С. 39-44.

109. Корицкий, А. В. Динамика частных и социальных норм отдачи образования в России / А. В. Корицкий // Вопросы инновационной экономики. - 2011. - № 1. - С. 11-29.

110. Кофман, А. Введение в теорию нечетких множеств / А. Кофман. -М.: Радио и связь, 1982. - 432 с.

111. Кремер, Н. Ш. Исследование операций в экономике: учебное пособие для вузов / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман. - М.: ЮНИТИ, 2005. - 407 с.

112. Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. Том 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функций многих переменных. Гармонический анализ / Л. Д. Кудрявцев. - М.: Физматлит, 2003. - 424 с.

113. Кузнецов, С. И. Количественный УФ спектрометрический анализ смесей замещенных фуллеренов С60 / С. И. Кузнецов, Д. С. Юнусова, Р. Х. Юмагулова, М. С. Мифтахов, С. В. Колесов, С. И. Спивак, О. Г. Кантор // Журнал прикладной спектроскопии. - 2015. - Т. 82, № 4. -С. 608-615.

114. Кузнецов, С. И. Фуллеренсодержащие полимеры. УФ-спектроскопическое исследование / С. И. Кузнецов, Р. Х. Юмагулова, Ф. Ф. Хамидуллин, Н. А. Медведева, С. В. Колесов // Высокомолекулярные соединения. Серия А. - 2012. - Т. 54, № 6. - С. 859-864.

115. Кузнецов, Ю. Н. Математическое программирование / Ю. Н. Кузнецов, В. И. Кузубов, А. Б. Волощенко. - М.: Высшая школа, 1980. - 302 с.

116. Куржанский, А. Б. Задача идентификации - теория гарантированных оценок / А. Б. Куржанский. // Автоматика и телемеханика. - 1991. - № 4. - С. 3-26.

117. Куржанский, А. Б. Идентификация нелинейных процессов -гарантированные оценки / А. Б. Куржанский, В. Д. Фурасов. // Автоматика и телемеханика. - 1999. - № 6. - С. 70-86.

118. Курс общей химии / Э. И. Мингулина, Г. Н. Масленникова, Н. В. Коровин. Э. Л. Филиппов; Под ред. Н. В. Коровина. - М.: Высшая школа, 1990. - 446 с.

119. Леванов, А. В. Введение в химическую кинетику / А. В. Леванов, Э. Е. Антипенко. - М.: МГУ, 2006. - 51 с.

120. Ловцов, Д. А. Информационная теория эргасистем: тезаурус / Д. А. Ловцов / Изд. 2-е, испр. и доп. - М.: Наука, 2005 (Краснодар: ООО Просвещение-Юг). - 245 с.

121. Лукашин, Ю. П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов / Ю. П. Лукашин. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 416 с.

122. Лычкина, Н. Н. Динамическое имитационное моделирование развития социально-экономических систем и его применение в информационно-аналитических решениях для стратегического управления / Н. Н. Лычкина // Стратегия бизнеса. - 2013. - № 2. - С. 44-50.

123. Лычкина, Н. Н. Имитационное моделирование экономических процессов: Учеб. Пособие / Н. Н. Лычкина. - М.: ИНФРА-М, 2014. - 254 с.

124. Лычкина, Н. Н. Ретроспектива и перспектива системной динамики. Анализ динамики развития / Н. Н. Лычкина // Журнал «Бизнес-информатика». - М.: НИУ ВШЭ. -2009. - № 3 (9). - С. 55-67.

125. Льюнг, Л. Идентификация систем. Теория для пользователя / Л. Льюнг. - М: Наука, 1991. - 432 с.

126. Марков В. А. О функциях, наименее уклоняющихся от нуля в данном промежутке. [Электронный ресурс]. - СПб.: Типография Императорской академии наук, 1892. - 112 с. - URL: http: //nasledie.enip.ras .ru/ras/view/publication/general. html?id=42073619 (дата обращения: 25.08.2016).

127. Мартынова, Е. А. Интервалы неопределенности констант в температурных зависимостях типа Аррениуса или Антуана / Е. А. Мартынова, С. И. Спивак // Журнал физической химии. - 1990. - Т. 64, № 8. - С. 2567-2570.

128. Махов, С. А. Математическое моделирование мировой динамики и устойчивого развития на примере модели Форрестера / С. А. Махов // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. - 2005. - № 6. - 24 с.

129. Медведев, А. В. Теория непараметрических систем. Моделирование / А. В. Медведев // Вестник СибГАУ. - 2010. - Т. 30, № 4. -С. 4-9.

130. Месарович, М. Общая теория систем: математические основы / М. Месарович, Я. Такахара. - М.: Мир, 1978. - 311 с.

131. Мину, М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы / М. Мину. - М.: Наука, 1990. - 488 с.

132. Моделирование процессов глобального развития / Сб. трудов ВНИИСИ. Вып. 8. - М., 1979. - 123 с.

133. Моисеев, Н. Н. Математические задачи системного анализа / Н. Н. Моисеев. - М.: Наука Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. - 488 с.

134. Моисеев, Н. Н. Методы оптимизации / Н. Н. Моисеев, Ю. П. Иванилов, Е. М. Столярова. - М.: Физматлит, 1978. - 352 с.

135. Моисеев, Н. Н. Человек и биосфера / Н. Н. Моисеев, В. В. Александров, А. М. Тарко. - М.: Наука, 1985. - 272 с.

136. Монахов, В. М. Методы оптимизации / В. М. Монахов, Э. С. Беляева, Н. Я. Краснер. - М.: Просвещение, 1978. - 174 с.

137. Моргунов, Е. В. О применении системно-динамического подхода к формированию энергетической политики государства / Е. В. Моргунов / В сб. «Проблемы развития рыночной экономики» / под ред. чл.-корр. РАН В. А. Цветкова. Вып. 4. - М.: ИПР РАН, 2008. - С. 53-58.

138. Мостеллер, Ф. Анализ данных и регрессия / Ф. Мостеллер, Дж. Тьюки. - М.: Финансы и статистика, 1982. - 556 с.

139. Мустафина, С. А. Расчет оптимальной температуры в условиях неопределенности по кинетическим константам / С. А. Мустафина, С. И. Спивак // Башкирский химический журнал. - 1999. - Т.6, № 1. -С. 64-66.

140. Мухачева, Э. А. Математическое программирование / Э. А. Мухачева, Г. Ш. Рубинштейн. - Новосибирск: Наука, 1987. - 274 с.

141. Налимов, В. В. Теория эксперимента / В. В. Налимов. - М.: Наука, 1971. - 208 с.

142. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения / Под ред. Р. Р. Ягера. - М.: Радио и связь, 1986. - 408 с.

143. Новый справочник химика и технолога. Аналитическая химия. Ч III. - СПб: АНО НПО «Мир и Семья», АНО НПО «Профессионал», 2004. -692 с.

144. Определение содержания фуллерена и его замещенных производных в смеси фуллеренсодержащих продуктов: свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ / Д. С. Юнусова, О. Г Кантор, С. И. Спивак // ФСИС (Роспатент) №2015617284, дата регистрации 06.07.2015.

145. Орлов, А. И. Некоторые нерешенные вопросы в области математических методов исследования / А. И. Орлов // Заводская лаборатория. - 2002. - Т. 68, № 3. - С.52-56.

146. Орлов, А.И. Прикладная статистика. Учебник / А.И. Орлов. - М.: Экзамен, 2004. - 656 с.

147. Орловский, С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации / С. А. Орловский. - М.: Наука Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. - 208 с.

148. Палий, И. А. Линейное программирование. Учебное пособие / И. А. Палий. - М.: Эксмо, 2008. - 256 с.

149. Перебор параметров, определенных в многомерной области, путем распараллеливания: свидетельство о государственной регистрации

программы для ЭВМ / Г. Н. Юсупова, О. Г. Кантор, С. И. Спивак // ФСИС (Роспатент) №2015611655, дата регистрации 03.02.2015.

150. Пестель, Э. За пределами роста / Э. Пестель. - М.: Прогресс, 1978.

- 270 с.

151. Петросян, Л. А. Введение в математическую экологию / Л. А. Петросян, В. В. Захаров. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986. - 224 с.

152. Полетаев, А. М. К определению понятия информативности / А. М. Полетаев, А. Н. Жегалов // Информация и космос. - 2010. - № 1. -С. 66-74.

153. Построение информационных множеств в моделях системной динамики: свидетельство о регистрации электронного ресурса / С. И. Спивак, О. Г. Кантор, Г. Н. Юсупова // ИНИПИ РАО ОФЭРНиО. №19737, дата регистрации 09.12.2013. (Спивак С. И., Кантор О. Г., Юсупова Г. Н. Электронный информационно-образовательный ресурс: «Построение информационных множеств в моделях системной динамики» [Электронный ресурс] / С. И. Спивак, О. Г. Кантор, Юсупова Г. Н. // Хроники объединенного фонда электронных ресурсов «Наука и образование». - 2013.

- № 12(55).)

154. Программное обеспечение по корректировке и анализу модели: свидетельство о регистрации электронного ресурса / С. И. Спивак, И. Р. Салахов, О. Г. Кантор // ИНИПИ РАО ОФЭРНиО. №19666, дата регистрации 11.11.2013. (Спивак С. И., Салахов И. Р., Кантор О. Г. Электронный информационно-образовательный ресурс: «Программное обеспечение по корректировке и анализу модели» [Электронный ресурс] / С. И. Спивак, И. Р. Салахов, О. Г. Кантор // Хроники объединенного фонда электронных ресурсов «Наука и образование». - 2013. - № 11(54).)

155. Пытьев, Ю. П. Возможность как альтернатива вероятности. Математические и эмпирические основы, применение / Ю. П. Пытьев. -М.: Физматлит, 2007. - 464 с.

156. Пытьев, Ю. П. Возможность. Элементы теории и применения / Ю. П. Пытьев. - М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 192 с.

157. Пытьев, Ю. П. Методы анализа и интерпретации эксперимента / Ю. П. Пытьев. - М.: МГУ, 1990. - 286 с.

158. Рабочая сила, занятость и безработица в России (по результатам выборочных обследований рабочей силы). 2018: Стат.сб. / Росстат. - М., 2018. - 142 с.

159. Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания / Под ред. проф. А. Н. Яковлева. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002. - 348 с.

160. Райбман, Н. С. Что такое идентификация? / Н. С. Райбман. -М.: Наука, 1970. - 118 с.

161. Ремез, Е. Я. Основы численных методов чебышевского приближения / Е. Я. Ремез. - Киев: Наукова думка, 1969. - 623 с.

162. Ризниченко, Г. Ю. Математические модели в биофизике и экологии / Г. Ю. Ризниченко. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 184 с.

163. Самарский, А. А. Численные методы решения обратных задач математической физики / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич. -М.: Издательство ЛКИ, 2009. - 480 с.

164. Севастьянов, П. В. Оптимизация финансовых параметров инвестиций в условиях неопределенности / П. В. Севастьянов, Д. П. Севастьянов // Управление капиталом. - 1998. - № 1. - С. 33-37.

165. Семиохин, И. А. Кинетика химических реакций: Учебное пособие / И. А. Семиохин, Б. В. Страхов, А. И. Осипов. - М.: МГУ, 1995. -351с.

166. Семиохин, И. А. Физическая химия / И. А. Семиохин. - М.: МГУ, 2001. - 272 с.

167. Сидоров, Л. Н. Фуллерены: Учебное пособие / Л. Н. Сидоров, М. А. Юровская, А. Я. Борщевский, И. В. Трушков, И. Н. Иоффе. -М.: Экзамен, 2005. - 690 с.

168. Сложенко, Е. Г. Применение каталитической системы H2O2 -Fe2+(Fe3+) при очистке воды от органических соединений / Е. Г. Соложенко, Н. М. Соболева, В. В. Гончарук // Химия и технология воды. - 2004. - Т. 26, № 3. - С. 219-241.

169. Снаговский, Ю. С, Моделирование кинетики гетерогенных каталитических процессов / Ю. С. Снаговский, Г. М. Островский. - М.: Химия, 1976. - 248 с.

170. Соловьев, В. И. Методы оптимальных решений: Учебное пособие /

B. И. Соловьев. - М.: Финансовый университет, 2012. - 364 с.

171. Спивак, С. И. Алгоритм получения прогнозируемых параметров социально-экономических систем / С. И. Спивак, О. Г. Кантор, И. Р. Салахов // Системы управления и информационные технологии. - 2013. - № 4(54) - С. 43-45.

172. Спивак, С. И. Алгоритм распараллеливания в задачах перебора значений многомерных величин на основе декомпозиции по данным /

C. И. Спивак, О. Г. Кантор, Г. Н. Юсупова // Системы управления и информационные технологии. - 2014. - № 2(56). - С. 52-57.

173. Спивак, С. И. Вычислительная реализация оценки управляющих параметров модели системной динамики / С. И. Спивак, О. Г. Кантор, И. Р. Салахов // Вестник Башкирского университета. - 2012. - Т. 17, № 4. -С. 1658-1660.

174. Спивак, С. И. Вычислительные аспекты оценки управляющих параметров модели системной динамики / С. И. Спивак, О. Г. Кантор, И. Р. Салахов // Журнал СВМО. - 2012. - Т. 14, № 4. - С. 14-17.

175. Спивак, С. И. Информативность кинетических измерений / С. И. Спивак // Химическая промышленность сегодня. - 2009. - № 9. -С. 52-56.

176. Спивак, С. И. Информационная поддержка моделирования численности населения / С. И. Спивак, И. Р. Салахов, О. Г. Кантор // Вестник Башкирского университета. - 2015. - Т. 20, № 3. - С. 790-794.

177. Спивак, С. И. Информационные технологии при определении точного вида модели системной динамики численности населения РФ / С. И. Спивак, О. Г. Кантор, Г. Н. Юсупова / Proceedings of the 3rd International Conference on «Information Technologies for Intelligent Decision Making Support». - Ufa: USATU. - 2015. - Vol. 1. - P. 194-199.

178. Спивак, С. И. Качество моделей математической обработки наблюдений социально-экономических систем / С. И. Спивак, О. Г. Кантор // Системы управления и информационные технологии. - 2012. - № 2(48) -С.44-49.

179. Спивак, С. И. Математические модели химической кинетики: Учебное пособие / С. И. Спивак, А. С. Исмагилова. - Уфа: РИЦ БашГУ, 2010. - 98 с.

180. Спивак, С. И. Метод распараллеливания перебора параметров, заданных в многомерной области / С. И. Спивак, О. Г. Кантор, Г. Н. Юсупова / Формирование основных направлений развития современной статистики и эконометрики: материалы I Международной научной конференции. - Том III. - Оренбург: ООО ИПК «Университет». - 2013. -С. 201-207.

181. Спивак, С. И. Методы построения кинетических моделей каталитических стационарных реакций: Дис. ... канд. техн. наук / С. И. Спивак. - Новосибирск, 1976. - 139 с.

182. Спивак, С. И. Методы построения кинетических моделей стационарных реакций / С. И. Спивак, В. И. Тимошенко, М. Г. Слинько // Химическая промышленность сегодня. - 1979. - № 3. - С. 33-36.

183. Спивак, С. И. О программе, корректирующей систему уравнений / С. И. Спивак, О. Г. Кантор, И. Р. Салахов // Журнал СВМО. - 2011. - Т. 13, № 4. - С. 87-93.

184. Спивак, С. И. Об одном алгоритме упорядочения наборов дискретных значений параметров / С. И. Спивак, О. Г. Кантор, Г. Н. Юсупова / Высокопроизводительные вычисления на графических процессорах:

материалы II Всероссийской науч.-практ. конф. с междунар. участием с элементами науч. шк. для молодежи, 2-6 июня 2014 г. / отв. за вып. С. В. Русаков, М. М. Бузмакова. - Пермь: Перм. гос. нац. исслед. ун-т. - 2014. - С. 58-63.

185. Спивак, С. И. Об одном подходе к оценке погрешности и значимости измерений в линейных задачах / С. И. Спивак, О. Г. Кантор, Д. С. Юнусова // Журнал СВМО, 2014. - Т. 16, № 2. - С.14-19.

186. Спивак, С. И. Области неопределенности в математической теории анализа измерений / С. И. Спивак, А. С. Исмагилова, О. Г. Кантор // Системы управления и информационные технологии. - 2014. - Т. 58, № 4. - С. 17-21.

187. Спивак, С. И. Оценка качества спецификации моделей системной динамики / С. И. Спивак, О. Г. Кантор // Журнал СВМО. - 2012. - Т. 14, № 2. - С. 34-39.

188. Спивак, С. И. Оценка параметров моделей системной динамики / С. И. Спивак, О. Г. Кантор, И. Р. Салахов // Журнал СВМО. - 2011. - Т. 13, № 3. - С.107-113.

189. Спивак, С. И. Оценка погрешности и значимости измерений для линейных моделей / С. И. Спивак, О. Г. Кантор, Д. С. Юнусова, С. И. Кузнецов, С. В. Колесов // Информатика и ее применения. - 2015. -Т. 9, вып. 1. - С. 87-97.

190. Спивак, С. И. Оценка погрешности и значимости измерений методами линейного программирования / С. И. Спивак, О. Г. Кантор, Д. С. Юнусова // Известия УНЦ РАН. - 2014. - № 2. - С. 64-69.

191. Спивак, С. И. Предельно допустимые оценки расчета параметров физико-химических моделей / С. И. Спивак, О. Г. Кантор, Д. С. Юнусова, С. И. Кузнецов, С. В. Колесов // Доклады Академии наук. - 2015. -Т. 464, № 4. - С. 437-439.

192. Спивак, С. И. Предельно-допустимые оценки параметров физико-химических моделей / С. И. Спивак, О. Г. Кантор, Д. С. Юнусова // Башкирский химический журнал. - 2015. - Т. 22, № 3. - С. 12-17.

193. Спивак, С. И. Прогнозные оценки в моделях системной динамики / С. И. Спивак, О. Г. Кантор, И. Р. Салахов // Журнал СВМО. - 2013. - Т. 15, № 3. - С. 133-139.

194. Спивак, С. И. Программный модуль для построения модели системной динамики / С. И. Спивак, О. Г. Кантор, Г. Н. Юсупова / Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий: сб. тр. VII междунар. конф. «ПМТУКТ-2014»; под ред. И. Л. Батаронова, А. П. Жабко, В. В. Провоторова. - Воронеж: Издательство «Научная книга». - 2014. - 474 с. - С. 355-357.

195. Спивак, С. И. Риск ошибочных прогнозных оценок параметров социально-экономических систем / С. И. Спивак, О. Г. Кантор // Управление риском. - 2013. - Т. 65, № 1. - С. 2-6.

196. Спивак, С. И. Чебышевское приближение в задачах эконометрического моделирования / С. И. Спивак, О. Г. Кантор // Информационные технологии. - 2015. - Т. 21, № 10. - С. 764-771.

197. Способ получения 4-третбутилпирокатехина /

B. И. Пономаренко, Г. А. Толстиков, С. А. Чаусов, Б. Р. Ирхин, Б. Т. Левандовский // Патент СССР № 592812, опубл. 15.02.1978.

198. Суханов, В. А. Исследование эмпирических зависимостей: нестатистический подход: сборник научных статей / под ред. Н. А. Оскорбина, П. И. Кузьмина. - Барнаул: Алт. ун-т, 2007. - 290 с. -

C. 115-127.

199. Талипова, Р. Р. Жидкофазное окисление 4-трет-бутилфенола пероксидом водорода на оксиде титана и титаносиликатах / Р. Р. Талипова, Р. У. Харрасов, В. А. Веклов, О. В. Магаев, Б. И. Кутепов // Химическая технология. - 2015. - Т. 16, № 3. - С. 152-156.

200. Талипова, Р. Р. Превращения 4-трет-бутилфенола в растворах пероксида водорода на титаносодержащих материалах / Р. Р. Талипова, Р. У. Харрасов, И. Е. Алехина, О. В. Магаев // Вестник Башкирского университета. - 2014. - Т. 19, № 2. - С. 427-433.

201. Теория автоматического управления. В 2-х ч. Ч. I. Теория линейных систем автоматического управления / Н. А. Бабаков, А. А. Воронов, А. А. Воронова и др. - М.: Высшая школа, 1986. - 367 с.

202. Тихонов, А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач / А. Н. Тихонов // ДАН СССР. - 1963. - Т. 153, № 1. - С. 49-52.

203. Тихонов, А. Н. Численные методы решения некорректных задач /

A. Н. Тихонов, А. В. Гончарский, В. В. Степанов, А. Г. Ягола. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1990. - 232 с.

204. Торосян, С. А. Бис(аллилоксикарбонил)метанопроизводные фуллерена С60 / С. А. Торосян, Ф. А. Гималова, В. В. Михеев, А. А. Фатыхов, Ю. Н. Биглова, М. С. Мифтахов // Журнал органической химии. - 2011. -Т. 47, № 12. - С. 1771-1774.

205. Указ Президента Российской Федерации от 9 октября 2007 г. № 1351 (с изм. от 1 июля 2014 г.) [Электронный ресурс]. - URL: base.garant.ru/191961/ (дата обращения: 29.08.2016).

206. Федеральная служба государственной статистики. [Электронный ресурс]. - URL: gks.ru (дата обращения: 29.08.2018).URL: gks.ru.

207. Федосеев, В. В. Экономико-математические методы и прикладные модели / В. В. Федосеев, А. Н. Гармаш, Д. М. Дайитбегов и др. - М.: ЮНИТИ, 1999. - 391 с.

208. Фидлер, М. Задачи линейной оптимизации с неточными данными / М. Фидлер, Й. Недома, Я. Рамик, И. Рон, К. Циммерманн. - М.- Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2008. - 288 с.

209. Физическая химия. Теоретическое и практическое руководство / Под. ред. Акад. Б. П. Никольского. - Л.: Химия, 1987. - 880 с.

210. Фурасов, В. Д. Задачи гарантированной идентификации /

B. Д. Фурасов. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. - 150 с.

211. Хайрер, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи / Э. Хайрер, С. Нерсетт, Г. Ваннер. - М.: Мир, 1990. - 512 с.

212. Хамис, И. Алкилирование пирокатехина / И. Хамис, И. Назек // Химическая промышленность. - 1964. - № 14. - С. 245-251.

213. Холохонова, Л. И. Кинетика химических реакций: Учебное пособие / Л. И. Холохонова, Е. В. Короткая. - Кемерово: Кемеровский институт пищевой промышленности, 2004. - 80 с.

214. Цей, Р. Число обусловленности матрицы как показатель устойчивости при решении прикладных задач / Р. Цэй, М. М. Шумафов // Труды ФОРА. - 2011. - № 16. - С. 61-67.

215. Цыпкин, Я. З. Информационная теория идентификации / Я. З. Цыпкин. - М.: Наука, Физматлит, 1995. - 336 с.

216. Цыпкин, Я. З. Основы информационной теории идентификации / Я. З. Цыпкин. - М.: Наука Гл. ред. физ.-мат. лит. 1984. - 320 с.

217. Чебышев, П. Л. Избранные труды / П. Л. Чебышев. - М.: Издательство АН СССР, 1955. - 929 с.

218. Чечулин, В. Л. О месте модели Кобба-Дугласа в иерархии моделей / В. Л. Чечулин // Вестник пермского университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. - 2013. - № 1 (13). - С. 46-49.

219. Шарый, С. П. Конечномерный интервальный анализ / С. П. Шарый. - Новосибирск: Издательство «ХУ7», 2018. - 628 с.

220. Шарый, С. П. Сильная согласованность в задаче восстановления зависимостей при интервальной неопределенности данных / С. П. Шарый // Вычислительные технологии. - 2017. - Т. 22, № 2. - С. 150-172.

221. Шокин, Ю. И. Интервальный анализ / Ю. И. Шокин. -Новосибирск: Наука, 1981. - 112 с.

222. Щиголев, Б. М. Математическая обработка наблюдений / Б. М. Щиголев. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. - 344 с.

223. Эйкхофф, П. Основы идентификации систем управления. Оценивание параметров и состояния / П. Эйкхофф. - М.: Мир, 1975. - 680 с.

224. Эконометрика. Учебник / И. И. Елисеева, С. В. Курышева, Т. В. Костеева и др.; под ред. И. И. Елисеевой. - 2-е изд., перераб. и доп. -М.: Финансы и статистика, 2007. - 576 с.

225. Эмануэль, Н. М. Окисление этилбензола, модельная реакция / Н. М. Эмануэль, Д. Тал. - М.: Наука, 1984. - 376 с.

226. Юдин, Д. Б. Задачи и методы линейного программирования / Д. Б. Юдин, Е. Г. Гольштейн. - М.: Советское Радио, 1961. - 494 с.

227. Юмагулова, Р. Х. О радикальной (со)полимеризации аллилметакрилата в присутствии фуллерена С6о / Р. Х. Юмагулова, Ю. Н. Биглова, С. В. Колесов, Ю. Б. Монаков // Доклады РАН. - 2006. -Т. 48, № 5. - С. 625-626.

228. Юрко, В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач / В. А. Юрко. - М.: Физматлит, 2007. - 384 с.

229. Юсупова, Г. Н. Алгоритм и программное обеспечение для определения точного вида модели системной динамики численности населения РФ / Г. Н. Юсупова, С. И. Спивак, О. Г. Кантор / Сборник докладов всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Фундаментальные и прикладные проблемы механики, математики, информатики». - Пермь: ФГБОУ ВПО ПГНИУ. -2015. - С. 248-251.

230. Яблонский, Г. С. Кинетические модели каталитических реакций / Г. С. Яблонский, В. И. Быков, А. Н. Горбань. - Новосибирск: Наука, 1983. -254 с.

231. Яблонский, Г. С. Математические модели химической кинетики / Г. С. Яблонский, С. И. Спивак. - М.: Знание, 1977. - 64 с.

232. Ягола, А. Г. Некорректные задачи с априорной информацией // Сибирские электроннные математтические известия. - 2010. - Т. 7. - С. 343-361.

233. Alefeld, G. Interval analysis: theory and applications / G. Alfred, G. Mayer // Journal of Computational Applied Mathematics. - 2000. - Vol. 121. -P. 421-464.

234. Amdahl, G. Validity of the single-processor approach to achieving large-scale computing capabilities / G. Amdahl // Proc. 1967 AFIPS Conf., AFIPS Press. - 1967. - V. 30. - P. 483.

235. Arends, I. W. C. E. Activities and stabilities of heterogeneous catalysts in selective liquid phase oxidations: recent developments / I. W. C. E. Arends, R. A. Sheldon // Applied Catalysis A: General. - 2001. Vol. 212, no. 1-2. - P. 175187.

236. Bass, Frank M. A New Product Grows for Model Consumer Durables / Frank M. Bass // Management Science. - 1969. - V. 15, no. 5. - P. 215-227.

237. Bellman, R. E. Decision-Making in Fuzzy Environment / R. E. Bellman, L. A. Zadeh // Management Science. - 1970. - Vol. 17, no. 4. -P. 141-164.

238. Brereton, R. G. Chemometrics in analytical chemistry-part II: modeling, validation, and applications / R. G. Brereton, J. Jansen, J. Lopes [etc.] // Analytical and Bioanalytical Chemistry. - 2018. - V. 410, no 26. - P. 6691-6704.

239. Cao, T. Free radical copolymerization of styrene and C60 / T. Cao, S. E. Webber // Macromolecules. - 1996. - Vol. 29, no. 11. - P. 3826-3830.

240. Cao, T. Free-radical copolymerization of fullerenes with styrene / T. Cao, S. E. Webber // Macromolecules. - 1995. - Vol. 28, no. 10. -P. 3741-3743.

241. Caprani, O. Mean value forms in interval analysis / O. Caprani, K. Madsen // Computing. - 1980. -Vol. 25, no. 2. - P. 147-154.

242. Cardullo, F. Bis- through Tetrakis-Adducts of C60 by Reversible Tether-Directed Remote Functionalization and systematic investigation of the changes in fullerene properties as a function of degree, pattern, and nature of functionalization / F. Cardullo, P. Seiler, L. Isaacs [etc.] // Helvetica Chimica Acta. - 1997. - Vol. 80. - P. 343-371.

243. Clerici, M. G. Liquid Phase Oxidation via Heterogeneous Catalysis: Organic Synthesis and Industrial Applications / M. C. Clerici, O. A. Kholdeeva. -Canada, New Jersey: Wiley, 2013. - 546 p.

244. Cobb, C. Theory of Production / C. Cobb, P. Douglas // American Economic Review, Supplement, 18, March 1928. - P. 139-165.

245. Forrester, J. W. Industrial Dynamics / J. W. Forrester. - Portland, OR: Productivity Press, 1961. - 464 p.

246. Forrester, J. W. Urban Dynamics / J. W. Forrester. - Portland, OR: Productivity Press, 1969. - 285 p.

247. Forrester, J. W. World Dynamics. (2 ed.) / J. W. Forrester. - Portland, OR: Productivity Press, 1973. - 144 p.

248. Fourt, L. A. Early prediction of Market success for new grocery products / L. A. Fourt, J. W. WoodLock // Journal of Marketing. - 1960. - Vol. 26, no. 2. - P. 31-38.

249. Geerts, Y. H. Synthesis of mesogenic phthalocyanine-C60 donor-acceptor dyads designed for molecular heterojunction photovoltaic devices [Electronic resource] / Y. H. Geerts, O. Debever, C. Amoto, S. Sergeyev // Beilstein Journal of Organic Chemistry - 2009. - No. 49. - URL: http://www.beilstein-journals.org/bjoc/content/pdf/1860-5397-5-49.pdf (online; accessed 22.08.2016).

250. Griese, J. Beschreibung des Verfahrens der adaptiven Einflussgrossenkombination. In Prognoserechnung / J. Griese, G. Matt / Herausgegeben von Peter Mertens. - Wurzburg-Wien: Physica-Verlag, 1973. -P. 160-166.

251. Gustavsson, I. Comparison of different methods for identification of industrial processes / I. Gustavson // Automatica. - 1972. - Vol. 8, no. 2. -P. 127-142.

252. Gustavsson, I. Identification of a process in loop-identiflcability and accuracy aspects / J. Gustavsson., L. Ljung, T. Soderstrom // Automatica. - 1977. - Vol. 13, no. 1. - P. 59-75.

253. Hansen, E. R. Interval arithmetic in matrix computations part I / E. R. Hansen // SIAM Journal on Numerical Analysis: Series B. - 1965. - Vol. 2, no. 2. - P. 308-320.

254. Hasen, E. On linear algebraic equations with interval coefficients / Topics in interval analysis / Ed. by E. Hansen. - Oxford: Clarendon Press, 1969. -P. 35-46.

255. Hirsch, A. Fullerene Chemistry in Three Dimensions: Isolation of Seven Regioisomeric Bisadducts and Chiral Trisadducts of Сбо and Di(ethoxycarbonyl)methylene / A. Hirsch, I. Lamparth, H. R. Karfunkel // Angewandte Chemie International Edition in English. - 1994. - Vol. 33. - P. 437438.

256. Kaufmann, A. Introduction to fuzzy arithmetic-theory and applications / A. Kaufmann, M. Gupta. - NY: Van Nostrand Reinhold, 1985. - 349 p.

257. Kearfott, R. B. Standardized notation in interval analysis / R. B. Kearfott, M. T. Nakao, A. Neumaier, S. M. Rump, S. P. Shary, P. van Hentenryck // Вычислительные технологии. - 2010. - Т. 15, № 1. - С. 7-13.

258. Lychkina, N. N. Synergetics and development processes in socioeconomic systems: Search for effective modeling constructs / N. N. Lychkina // Business Informatics. - 2016. - No. 1. - P. 66-79.

259. Markov, S. M. A non-standard substraction of intervals / S. M. Markov // Serdica. - 1977. -Vol. 3. - P. 359-370.

260. Meadows, D.H. The Limits to Growth / D.H. Meadows, D.L. Meadows, J. Randers, W.W. Behrens III. - New York: Universe Books, 1972. - 205 p.

261. Meadows, D. L. Dynamics of Growth in a Finite World /

D. L. Meadows, W. W. Behrens III, D. H. Meadows, R. F. Naill, J. Randers,

E. K. Zahn. - Portland, OR: Productivity Press, 1977. - 637 p.

262. Meadows, D. L. Toward Global Equilibrium: Collected Papers /

D. L. Meadows, D. H. Meadows. - Portland, OR: Productivity Press, 1973. - 358 p.

263. Mesarovic, М. Mankind at the Turning Point / М. Mesarovic,

E. Pestel. - New York, NY: Dutton, 1974. - 267 p.

264. Moore, R. E. Interval analysis. Englewood Cliffs / R. E. Moore. N.J.: Prentice-Hall, 1966. - 250 p.

265. Norton, J. P. An Introduction to Identification. / J. P. Norton. - London: Academic Press Inc., 1986. - 310 p.

266. Norton, J. P. Identification and Application of Bounded-parameter Models / J. P. Norton // Automatica. - 1987. - Vol. 23, no. 4. - P. 497-507.

267. Parra, A. First and second derivative spectrophotometric determination of cefoperazone and sulbactam in injections / A. Parra, J. Garcia-Villanova, V. Rodenas, M. D. Gomez // Journal of Pharmaceutical and Biomedical Analysis. - 1994. - Vol. 12, no. 5. - P. 653-657.

268. Pignatello, J. J. Dark and photoassisted iron(3+)-catalyzed degradation of chlorophenoxy herbicides by hydrogen peroxide / J. J. Pignatello // Environmental Science and Technology. - 1992. - Vol. 26, no 5. - P. 944-951.

269. Pomerantsev, A. L. Kinetic analysis of non-isothermal solid-state reactions: multi-stage modeling without assumptions in the reaction mechanism / A. L. Pomerantsev, A. V. Kutsenova, O. Y. Rodionova // PCCP: Physical Chemistry Chemical Physics. - 2017. - V. 19, no 5. - P. 3606-3615.

270. Preparation of porous crystalline synthetic material comprised of silicon and titanium oxides / M. Taramasso, G. Perego, B. Notari // Pat. US4410501 A, publ. 18.10.1983.

271. Randers, J. Elements of the System Dynamics Method / J. Randers. -Portland, OR: Productivity Press, 1980. - 488 p.

272. Richardson, G. P. Introduction to System Dynamics Modeling with DYNAMO / G. P. Richardson, A. L. Pugh III. - Portland, OR: Productivity Press, 1981. - 413 p.

273. Rogers, E. M. Diffusion of Innovations (5th ed.) / E. M. Rogers. - New York: Free Press. - 2003. - 576 p.

274. Sendov, B. Some topics of segment analysis / B. Sendov. // Interval Mathematics / Ed. by K. Nickel. - NY: Academic Press, 1980. - P. 203-222.

275. Silvestrini, S. Continuous Flow Synthesis of Methanofullerenes in Microstructured Reactors: A Kinetic Study / S. Silvestrini, D. Dalle Nogare,

T. Carofiglio, E. Menna, P. Canu, M. Maggini // European Journal of Organic Chemistry. - 2011. - Vol. 2011, no. 28. - P. 5571-5576.

276. Soderstrom, T. Convergence of identification method based on instrumental variable methods / T. Soderstrom // Automatica. - 1974. - Vol. 10, no. 6. - P. 685-688.

277. Soderstrom, T. On a method for model selection in system identification / T. Soderstrom // Automatica. - 1981. - Vol. 13, no. 2. -P. 387-388.

278. Sterman, J. D. Business Dynamics Systems Thinking and Modeling for a Complex World / J. D. Sterman. - Boston: Irwin McGraw-Hill, 2000. - 994 p.

279. Talipova, R. R. Selective oxidation of 4-tert-butylphenol by hydrogen peroxide in the presence of titanosilicates / R. R. Talipova, R. U. Kharrasov, M. R. Agliullin, A. D. Badikova, B. I. Kutepov // Applied Petrochemical Research. - 2016. - No. 6. - Pp. 419-426.

280. Torosyan, S. A. Synthesis of fullerene-containing methacrylates / S. A. Torosyan, Y. N. Biglova, V. V. Mikheev, Z. T. Khalitova, F. A. Gimalova, M. S. Miftakhov // Mendeleev Communications. - 2012. - Vol. 22, no. 4. - P. 199200.

281. Wu, P. A career in catalysis: Takashi tatsumi / P. Wu, Y. Kubota, T. Yokoi // ACS Catalysis. - 2014. - Vol. 4. - P. 23-30.

282. Yager, R. A foundation for a theory of possibility / R. Yager // Jourmal of Cybernetics. - 1980. - Vol. 10, no. 1-3. - P. 177-209.

283. Yager, R. Aspects of possibilistic uncertainty / R. Yager // International Journal of Man-Machine Studies. - 1980. - Vol. 12, no 3. - P. 283-298.

284. Yang, C. Heteroanalogues of PCBM: N-Bridged Imino-PCBMs for Organic Field-Effect Transistors / C. Yang, S. Cho, A. J. Heeger, F. Wudl // Angewandte Chemie International Edition in English. - 2009. - Vol. 48. -P. 1592-1595.

285. Zadeh, L. A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility / L. A. Zadeh // Fuzzy Sets and Systems. - 1978. - Vol. 1, no. 1. - P. 3-28.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Определение содержания фуллерена и его замещенных производных в смеси фуллеренсодержащих продуктов: свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Фрагмент программного кода процедуры формирования информационного множества задачи параметрической идентификации

модели (6.15)

double h1, h2, k1, k2, imax, plus, Acp1, Acp2;

double a1_k1, a1_k2, a1_k3, a1_k4, a2_k1, a2_k2, a2_k3, a2_k4;

int str = 2, h = 1, n1 = 100, n2 = 100;

double k1max = 0.253, k1min = 0.243, k2max = 0.58, k2min = 0.52;

a1 = new double[(int)floor(60/(h*1.)+1.5)];

a2 = new double[(int)floor(60/(h*1.)+1.5)];

h1=(k1max-k1min)/(n1*1.);

h2=(k2max-k2min)/(n2*1.);

for (int j1=0;j1<=n1;j1++) {

k1=k1min+j1*h1;

for (int j2=0;j2<=n2;j2++) {

k2=k2min+j2*h2; imax=60/(h*1.); a1[0]=a1_0; a2[0]=a2_0;

for (int i=1;i<=imax;i=i+h) {

plus=0;

if ((i—21)||(i—41)) {

plus=0.08;

}

a1_k1=-k1*a1[i-1]*(a2[i-1]+plus); a2_k1=a1_k1-2*k2*pow(a2[i-1]+plus,2);

a1_k2=-k1*(a1[i-1]+a1_k1/2)*(a2[i-1]+plus+a2_k1/2.);

a2_k2=a1_k2-2*k2*pow(a2[i-1]+plus+a2_k1/2.,2);

a1_k3=-k1*(a1[i-1]+a1_k2/2)*(a2[i-1]+plus+a2_k2/2.);

a2_k3=a1_k3-2*k2*pow(a2[i-1]+plus+a2_k2/2.,2);

a1_k4=-k1*(a1[i-1]+a1_k3)*(a2[i-1]+plus+a2_k3);

a2_k4=a1_k4-2*k2*pow(a2[i-1]+plus+a2_k3,2);

a1[i]=a1[i-1]+(h/6.)*(a1_k1+2*a1_k2+2*a1_k3+a1_k4);

a2[i]=a2[i-1]+plus+(h/6.)*(a2_k1+2*a2_k2+2*a2_k3+a2_k4);

}

Acp1=(abs((a1[20]-a1_20)/a1_20)+abs((a1[40]-

a1_4 0)/a1_4 0)+abs((a1[60]-a1_60)/a1_60))/3.; Acp2=(abs((a2[20]-a2_20)/a2_20)+abs((a2[40]-

a2_4 0)/a2_4 0)+abs((a2[60]-a2_60)/a2_60))/3.;

//Вывод

OutPut.createCell("Results", str, 1); OutPut.setCellValue(k1, "Results", str, 1); OutPut.createCell("Results", str, 2); OutPut.setCellValue(k2, "Results", str, 2);

OutPut.createCell("Results", str, 3); OutPut.setCellValue(a1[0], "Results", str, 3); OutPut.createCell("Results", str, 4); OutPut.setCellValue(a1[20], "Results", str, 4); OutPut.createCell("Results", str, 5); OutPut.setCellValue(a1[40], "Results", str, 5); OutPut.createCell("Results", str, 6); OutPut.setCellValue(a1[60], "Results", str, 6);

OutPut.createCell("Results", str, 7); OutPut.setCellValue(a2[0], "Results", str, 7); OutPut.createCell("Results", str, 8); OutPut.setCellValue(a2[2 0], "Results", str, 8); OutPut.createCell("Results", str, 9); OutPut.setCellValue(a2[4 0], "Results", str, 9); OutPut.createCell("Results", str, 10); OutPut.setCellValue(a2[60], "Results", str, 10);

OutPut.createCell("Results", str, 11); OutPut.setCellValue(Acp1, "Results", str, 11); OutPut.createCell("Results", str, 12); OutPut.setCellValue(Acp2, "Results", str, 12);

str++;

//очистка

for(int i=0;i<=imax;i++) {

a1[i]=0; a2[i]=0;

}

}

}

Фрагмент программного кода для решения задачи оптимизации дробной подачи пероксида водорода в реакции получения 4-трет-бутилпирокатехина

double h plus, imax, plus, plus0, plus1, plus2, Acp1, Acp2; double a1_k1, a1_k2, a1_k3, a1_k4, a2_k1, a2_k2, a2_k3, a2_k4; int str=3, h = 1, n = 16;

double plus_max = 0.17, plus_min = 0.01, k1 = 0.233, k2 = 0,535; a1 = new double[(int)floor(60/(h*1.)+1.5)]; a2 = new double[(int)floor(60/(h*1.)+1.5)]; h plus=(plus max-plus min)/(n*1.);

for (int j1=0;j1<=n;j1++) {

plus0=plus min+j1*h plus;

for (int j2=0;j2<=n7j2++) {

plus1=plus min+j2*h plus; for (int j3=0;j3<=n;j3++)

{

plus2=plus min+j3*h plus; imax=60/(h*1.); a1[0]=a1_0; a2[0]=plus0;

for (int i=1;i<=imax;i=i+h) {

plus=0;

if (i==21) {

plus=plus1;

}

if (i==41) {

plus=plus2;

}

a1_k1=-k1*a1[i-1]*(a2[i-1]+plus); a2_k1=a1_k1-2*k2*pow(a2[i-1]+plus,2);

a1_k2=-k1*(a1[i-1]+a1_k1/2)*(a2[i-1]+plus+a2_k1/2.);

a2_k2=a1_k2-2*k2*pow(a2[i-1]+plus+a2_k1/2.,2);

a1_k3=-k1*(a1[i-1]+a1_k2/2)*(a2[i-1]+plus+a2_k2/2.);

a2_k3=a1_k3-2*k2*pow(a2[i-1]+plus+a2_k2/2.,2);

a1_k4=-k1*(a1[i-1]+a1_k3)*(a2[i-1]+plus+a2_k3);

a2_k4=a1_k4-2*k2*pow(a2[i-1]+plus+a2_k3,2);

a1[i]=a1[i-1]+(h/6.)*(a1_k1+2*a1_k2+2*a1_k3+a1_k4);

a2[i]=a2[i-1]+plus+(h/6.)*(a2_k1+2*a2_k2+2*a2_k3+a2_k4);

}

Acp1=(abs((a1[20]-a1_20)/a1_20)+abs((a1[40]-

a1_4 0)/a1_4 0)+abs((a1[60]-a1_60)/a1_60))/3.; Acp2=(abs((a2[20]-a2_20)/a2_20)+abs((a2[40]-

a2_4 0)/a2_4 0)+abs((a2[60]-a2_60)/a2_60))/3.;

//Вывод

OutPut.createCell("Results", str, 1); OutPut.setCellValue(plus0, "Results", str, 1); OutPut.createCell("Results", str, 2); OutPut.setCellValue(plus1, "Results", str, 2); OutPut.createCell("Results", str, 3); OutPut.setCellValue(plus2, "Results", str, 3);

OutPut.createCell("Results", str, 4); OutPut.setCellValue(a1[0], "Results", str, 4); OutPut.createCell("Results", str, 5); OutPut.setCellValue(a1[20], "Results", str, 5); OutPut.createCell("Results", str, 6); OutPut.setCellValue(a1[40], "Results", str, 6); OutPut.createCell("Results", str, 7); OutPut.setCellValue(a1[60], "Results", str, 7);

OutPut.createCell("Results", str, 8); OutPut.setCellValue(a2[0], "Results", str, 8); OutPut.createCell("Results", str, 9); OutPut.setCellValue(a2[20], "Results", str, 9); OutPut.createCell("Results", str, 10); OutPut.setCellValue(a2[40], "Results", str, 10); OutPut.createCell("Results", str, 11); OutPut.setCellValue(a2[60], "Results", str, 11);

OutPut.createCell("Results", str, 12); OutPut.setCellValue(Acp1, "Results", str, 12); OutPut.createCell("Results", str, 13); OutPut.setCellValue(Acp2, "Results", str, 13);

str++;

//очистка

for(int i=0;i<=imax;i++) {

a1[i]=0; a2[i]=0;

}

}

}

}

Фрагмент программного кода моделирования порядка реакции получения 4-трет-бутилпирокатехина

аоиЫе И, k2, alf1, alf2; double imax; double plus;