Роль чувственных представлений в овладении математическими понятиями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 19.00.01, кандидат психологических наук Шварц, Анна Юрьевна

• Шварц, Анна Юрьевна
• кандидат психологических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат психологических наук Шварц, Анна Юрьевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРОБЛЕМЫ.

1.1 Введение. Проблема чувственности в философии и истории математики.

1.1.1 Противопоставление чувственного и логического в математике.

1.1.2 Априорный и эмпирический источники математической интуиции в современных представлениях философии математики.

1.1.3 Выводы из философского введения.

1.2 Чувственные представления в овладении математическим знанием и математическом познании.

1.2.1 Проблема чувственных элементов мышления: историческое введение.

1.2.2 Классический взгляд на чувственные представления в математике.

1.2.3 Чувственные представления в математике: деятельностный подход.

1.3 Структура математического понятия.

1.3.1 Структура понятия как проблема психологии.

1.3.2 Математическое понятие: современные модели.

1.4 Рабочая модель математического понятия.

ГЛАВА 2. ЭМПИРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМЫ РЕПРЕЗЕНТАЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПОНЯТИЯ.

2.1 Экспериментальное исследование предъявления наглядных изображений на овладение математическими понятиями.

2.2 Качественное исследование системы репрезентаций математического понятия: пре-трансцедентальный феноменологический анализ.

2.3 Количественное исследование системы репрезентаций математических понятий у студентов разного уровня математической подготовки.

2.3.1 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. Анализ структуры представлений математических понятий.

2.3.2 ЧАСТЬ ВТОРАЯ. Анализ содержания чувственных представлений.

2.3.3 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. Анализ связи профиля репрезентации математических понятий и зрительных и пространственных способностей.

2.3 Выводы из эмпирических исследований:.

ГЛАВА 3. ОВЛАДЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИМИ ПОНЯТИЯМИ ПРИ ПАТОЛОГИИ ЗРЕНИЯ.

3.1 Когнитивные особенности слепых и слабовидящих.

3.2 Основные проблемы обучения математике слепых и слабовидящих.

3.3 Эмпирические исследования.

3.3.1 Овладение математическими понятиями при патологии зрения в отсутствии средств наглядности.

3.3.2 Система репрезентаций школьных математических понятий при патологии зрения.

3.4 Выводы из исследований студентов с патологией зрения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Роль чувственных представлений в овладении математическими понятиями»

Актуальность работы

Проблема соотношения чувственного и абстрактного в понятии, безусловно, является одной из классических для психологии (О. Кюльпе, Дж. Брунер, Ж. Пиаже, JI.C. Выготский,

A.Н. Леонтьев, В.В. Давыдов и др.). О ее сложности и неразрешенности в современной науке говорят противоречивые позиции классических и современных теорий. В отечественной науке доминирует представление о вербально-логическом мышлении как высшем и ведущем у взрослого человека. В когнитивной психологии также широко распространены амодальные представления о понятийной структуре. Однако в настоящее время существует множество эмпирических данных об укорененности абстрактного знания в модальном и телесном опыте, в том числе, со стороны нейрофизиологии (например, работы Barsalou L., Nunez R., Boroditsky L., Borghi A., Ashby F.G.). Развиваются теории, непосредственно связывающие понятийную организацию знания с чувственным восприятием и действием (JI. Барсалоу, Дж. Лакофф, М. Джонсон). Проведенный анализ позволяет выйти за рамки представлений о понятии как родовидовой структуре, определяемой системой признаков. Мы, вслед за

B.В. Давыдовым, рассматриваем понятие как способ действия, позволяющего выявить скрытые существенные отношения. Такой взгляд на понятие позволяет интегрировать чувственные представления в понятийную структуру значений, сохранив при этом специфику понятия, как обобщения высшего уровня, позволяющего строить математическое знание.

Данная работа восполняет существующий пробел в области изучения математического мышления в России: будучи пионерами в этой области (работы A.B. Крутецкого, В.В. Давыдова), в настоящее время российские психологи редко обращаются к этой теме. В зарубежной психологии последние 25 лет наблюдается всплеск интереса к вопросу о визуальных материалах и роли чувственного опыта в математическом мышлении и образовании (N. Presmeg, R. Nunez, L. Edwards, D.A. Stylianou, A. Arcavi, F. Rivera и др.), широко обсуждается природа и структура математических понятий (Е. Dubinsky, А. Sierpinska, R. Nunez, G. Lakoff, A. Gagatsis, R. Duval, F. Hitt и др.). Зрительно-пространственные математические модели понимаются в основном в контексте семиотического подхода (R. Duval, N. Presmeg), в наиболее поздних работах начинает учитываться активность субъекта в прочтении знаковых систем и роль коммуникации и культурных средств для передачи значения (W.-M. Roth, L. Radford). Однако западные исследователи не стремятся интегрировать данные о математическом мышлении в общепсихологический контекст, а также можно отметить дефицит теоретических обобщений. Цель нашей работы - рассмотрение чувственных оснований математического знания именно в ключе психологического изучения понятийного знания в целом. В работе показывается эффективность деятельностного подхода в разрешении противоречий, стоящих перед западными коллегами.

Особенную актуальность работа приобретает в связи с распространением интегративного образования, в том числе, для людей с нарушениями зрительного анализатора. В диссертации раскрываются как преимущества наглядных материалов в обучении незрячих, так и ограничения. Ставится принципиальный вопрос, в каких случаях тактильные инструменты в обучении незрячих могут становиться наглядными.

Цель исследования. Построить рабочую модель математического понятия, отвечающую современным представлениям о понятийном мышлении и отражающую специфику математического знания. Выявить место чувственных представлений в структуре математического понятия у субъектов, в разной степени владеющих математическими понятиями.

Объектом исследования является система представлений математических понятий у студентов разного уровня математической подготовки и разной степени сохранности зрительного анализатора.

Предмет исследования: место и значение чувственных представлений в репрезентации математического понятия, роль зрительной чувственности в овладении математическим знанием.

Общие гипотезы исследования:

1. Математическое понятие в системе значений конкретного субъекта является сложным системным образованием, опирающимся на практические действия, предметом которых являются знаково-символические модели разных типов.

2. Овладение математическими понятиями не может протекать в обход зрительно-пространственных моделей. В ходе освоения математического материала у учащегося формируются чувственные представления, отражающие специфические понятийные способы работы с соответствующими моделями.

Задачи исследования:

1. Теоретический анализ подходов к проблеме соотношения чувственных представлений и понятийных структур в математике на различных уровнях методологии: философском, теоретико-психологическом, конкретно-психологическом, методическом. Анализ материалов, посвященных математическим знаниям людей с патологией зрения.

2. Разработка рабочей модели математического понятия, раскрывающей место чувственных представлений в структуре понятия.

3. Проведение качественного исследования понимания математики студентами для выявления способов представления математических понятий.

4. Создание и апробация опросниковой методики, позволяющей выявить индивидуальный профиль понимания математических понятий.

5. Проверка рабочей модели математического понятия путем анализа индивидуальных вариантов представления школьных математических понятий в группах с разным уровнем математической подготовки, среди зрячих студентов и студентов со зрительными патологиями, в зависимости от развития зрительно-пространственных способностей. Анализ специфики чувственных представлений студентов разных групп.

6. Исследование деформации структуры математических понятий при полном отсутствии в обучении наглядных материалов (на материале студентов с патологией зрения).

Теоретико-методологические основы работы. Философскими основаниями данной работы явились понятие схемы, предложенное И. Кантом; пересмотр понятий абстрактного и конкретного в философии диалектического направлении, в частности, в работах Э.В. Ильенкова; а также теория развивающегося понятия B.C. Библера. При выборе и построении метода качественной части исследования мы опирались на идеи феноменологического анализа Э. Гуссерля.

Общим теоретико-методологическим основанием работы является деятельностный подход в психологии (А.Н. Леонтьев, C.J1. Рубинштейн). В основу рабочей модели математического понятия положены различные аспекты решений проблемы понятий J1.C. Выготским, C.J1. Рубинштейном, А.Н. Леонтьевым, В.И. Асниным, П.Я. Гальпериным,

B.В. Давыдовым, Ж. Пиаже, L. Barsalou, М. Джонсоном, Дж. Лакоффом. Кроме того, в работе использованы представления о математическом знании как системе из многих разно-модальных регистров (R. Duval), о понимании в математике как обращении к телесно-воплощенному опыту (embodiment mind) (G. Lakoff, R. Nunez), подход конструкционизма (S. Papert), APOS (действие-операция-объект-схема) теория математического знания (Е. Dubinsky). Вопрос о встраивании чувственных представлений в математическое знание решается с опорой на положения о значении активности субъекта (А.Н. Леонтьев,

C.Д. Смирнов) и роли его перцептивных и познавательных действий (П.Я. Гальперин, A.B. Запорожец) в построении образа.

Эмпирическая часть работы проведена в качественно-количественной методологии. Использованы методические приемы качественного анализа: пре-трансцедентальный феноменологический анализ (A. Giorgi), приемы "укорененной" (grounded) теории.

Научная новизна исследования. Разработана теоретическая модель математического понятия как координации схем действий с знаково-символическими структурами разных типов. Данная модель, в отличие от других, позволяет рассматривать математическое понятие и как застывшее научное знание, и как инструмент и результат индивидуального мышления. В эмпирической части работы субъективный опыт овладения математическими понятиями проанализирован с помощью пре-трансцедентального феноменологического анализа, данные методы анализа ранее не применялись к подобным переживаниям в области математики. Разработан опросник, позволяющий анализировать индивидуальный профиль способов репрезентации математических понятий. Исследование зрительной патологии, являвшееся ранее средством изучения общепсихологических вопросов о функционировании восприятия и формировании образа мира, применено нами для изучения процессов мышления и репрезентации абстрактных знаний.

Теоретическое значение исследования. Работа направлена на интеграцию западных представлений о математическом мышлении и образовании и отечественных теорий развития понятийных структур. В работе критически обсуждается ключевая роль вербально-логического мышления при овладении научными понятиями в области математики (J1.C. Выготский, Н.Ф. Талызина), обосновывается необходимость выхода за рамки вербальных и формальных представлений для полноценного овладения математическими понятиями. Пересматриваются классические и современные амодальные модели понятий, распространенные в когнитивной психологии. Альтернативная модель строится на основе представлений о понятии как способе действия и как интеграции схем, характерных для работ В.В. Давыдова и Ж. Пиаже. Предложенная рабочая модель математического понятия позволяет интегрировать ряд важных аспектов различных представлений о математических понятиях (G. Lakoff, R. Nunez, Е. Dubinsky, R. Duval), а также учитывает активность и целенаправленность субъекта, овладевающего математическим понятием.

Деятельностный подход в понимании природы чувственных представлений (А.Н. Леонтьев, П.Я. Гальперин, A.B. Запорожец, С.Д. Смирнов) позволяет комплексно объяснить противоречивые данные о необходимости наглядных материалов в обучении и избегании чувственных репрезентаций математических понятий студентами различной компетентности.

Практическая значимость исследования. Результаты диссертационной работы могут быть использованы и уже используются при подготовке математических курсов для неспециалистов. Средства наглядности следует специальным образом включать в обучение: делать акцент не на формальном обучении, сопровождаемом иллюстративным материалом, а выстроить систему понятийных действий с различными знаково-символическими моделями. Особенно важно тщательно выстроить способы использования наглядных инструментов в математическом образовании незрячих. Рельефные копии наглядных пособий для зрячих могут не передавать существенных черт при тактильном восприятии. Для незрячих необходимо подбирать особые наглядные пособия, позволяющие ухватить существенные аспекты понятий.

В ходе исследований разработан опросник для анализа системы репрезентаций математических понятий. Эта методика может использоваться для дальнейшего исследования процесса овладения математическими понятиями, а также для фиксации результатов обучения математике.

Достоверность и обоснованность результатов. Качественные исследования проведены в соответствии с принципами, разработанными для проведения психологических исследований в качественной методологии. Достоверность количественных результатов обеспечивается адекватными математическими методами обработки данных, достаточным объемом выборки. Всего в исследованиях приняло участие 194 человека.

Положения, выносимые на защиту:

1. Хорошо усвоенное математическое понятие для конкретного субъекта является системой схем или способов действий по преобразованию знаково-символических моделей разного рода. Каждая знаково-символическая модель может быть зафиксирована субъектом в виде представления.

2. Существует конвенциональное математическое знание, представленное в зрительно-пространственной форме и входящее в структуру математического понятия. Визуальные репрезентации хорошо усвоенных понятий лишены примесей индивидуального знания и не отражают индивидуальный путь усвоения понятия. Они представляют собой стандартные пространственные модели, которые сопряжены в сознании субъекта с определенными способами их восприятия и использования. В репрезентациях хуже усвоенных понятий наблюдаются субъективные представления, индивидуальные ассоциации, образы, оторванные от математических действий с ними.

3. Влияние чувственности на овладение понятием проявляется не только в деятельности со зрительно-пространными моделями. Действия с алгебраическими моделями разворачиваются в пространстве и времени; предметом этих действий являются знаки, доступные непосредственному восприятию. Алгебраическая репрезентация является результатом свернутых предметных действий и имеет чувственный компонент.

4. Наглядные материалы являются только "поводом" для создания чувственно наполненной модели математического понятия. Сами по себе, как «изображения», они не могут репрезентировать понятия. Чувственные представления, будучи содержанием индивидуального сознания, существуют вместе со способами действий по их использованию и схемами, позволяющими правильно воспринимать соответствующие внешние знаковые модели.

5. Математические понятия не ограничиваются набором заранее выделенных признаков. Субъект представляет понятия как сочетание нескольких репрезентаций. Их система меняется в зависимости от степени владения данным понятием. Плохо усвоенное понятие представлено субъекту как набор ассоциаций в разной форме (образы, обозначения, конкретные примеры), никак не вскрывающих специфических способов действия, характерных для понятия. На следующем уровне владения материалом выявляются представления, включающие новые способы действий. Однако эти представления еще не оторваны от самих действий и потому имеют динамический характер. Хорошо усвоенные понятия включают выработанные схемы действий, которые сворачиваются и фиксируются как знаковые структуры разных типов: вербальные характеристики, алгебраические формулы, пространственные изображения.

Заключение диссертации по теме «Общая психология, психология личности, история психологии», Шварц, Анна Юрьевна

3.4 Выводы из исследований студентов с патологией зрения.

Проведенные нами эмпирические исследования показывают, что структура репрезентаций математических понятий сильно зависит от путей его освоения.

Если обучение шло в условиях недостатка наглядных материалов, понятия репрезентируются студентами с ПЗ преимущественно алгебраически и операционально: как элементы формул, используемых для решения задач. Такая репрезентация позволяет решать математические задачи, предъявляемые студентам в ходе обучения, однако не создает субъективного чувства понимания понятий. Если в ходе обучения использовались наглядные инструменты и обучение строилось на основе разработанной для незрячих технологии (в специальных школах для детей с ограничениями по зрению), то студенты с ПЗ пользуются чувственными репрезентациями столь же часто, как и зрячие. На первый план выходит редкость алгебраической репрезентации понятий: трудности в выполнении алгебраических преобразований ведут к уменьшению соответствующих репрезентаций.

Таким образом, мы видим, что нарушение функций зрительного анализатора сказывается не только на зрительно-пространственной репрезентации понятий, но и на знаковой, алгебраической. Это говорит о том, что сама по себе знаковая репрезентация не может рассматриваться как абстрактная, оторванная от конкретной практики. Она также является результатом свернутых предметных действий, действий со знаковыми выражениями сообразно определенным правилам. Поскольку утрата возможности зрительного восприятия и отсутствие тактильного восприятия ведет к снижению использования алгебраических репрезентаций, можно говорить, что сама алгебраическая репрезентация имеет чувственный компонент.

Сложности восприятия пространственных моделей, необходимость специального обучения такому восприятию при патологии зрения вскрывает процесс, незаметный при восприятии зрячих: любая модель математического понятия правильно соотносится с понятием только при включении ее в адекватные математические действия.

Однако выявленное нами отставание пространственных представлений незрячих свидетельствует и об обратной стороне пространственных моделей математических понятий: они работают с учетом непосредственного, естественного восприятия. Как мы видим, тактильные копии тех моделей математических понятий, которые были сконструированы для зрячих, не являются для незрячих столь же удобным средством овладения понятиями. Этот факт ставит практическую задачу по разработке таких пространственных знаково-символических моделей для незрячих, которые бы столь же органично встраивались в математические действия, как это происходит с моделями для зрячих. С теоретической точки зрения мы видим, что чувственные представления математических понятий возникают как переплетение непосредственных, естественных способов восприятия и новых, специфически-математических действий.

Заключение

Пересмотр понятия чувственности, исходя из положений деятельностного подхода, позволяет разрешить противоречия, существующие в исследованиях математического мышления и обучения математике. Чувственное представление, в отличие от внешней модели, существует вместе со схемой действий по его восприятию и использованию.

Рабочая модель математического понятия, разработанная в данной работе, позволяет интегрировать различные аспекты математических понятий, отраженные в ряде теорий понимания математики. Математическое понятие предлагается представлять как систему скоординированных схем действия по преобразованию знаково-символических моделей. Знаково-символические модели отражены в сознании субъекта в виде различных представлений, в том числе чувственных.

На основе качественного исследования способов представления математических понятий был создан опросник, позволяющий устанавливать профиль способов репрезентации математического понятия. Этот опросник позволил проанализировать характер репрезентаций у субъектов в разной степени усвоивших понятия. Специальный анализ чувственных представлений показал, что они являются часто используемым способам представлять понятия, усвоенные в разной степени. Была показана специфика чувственных представлений в зависимости от уровня усвоения понятия.

Изучение роли чувственности в овладении понятием осуществлялось путем сопоставления данных о репрезентации понятий зрячими студентами и студентами со зрительной патологией.

Дальнейшим продолжением работы может быть прослеживание динамики представлений в ходе реального процесса усвоения математических понятий учащимися. Только тогда мы можем быть уверены, что единственных путь образования чувственных представлений - через действия с соответствующими знаково-символическими моделями. Кроме того, к перспективам данной работы относится поиск способов изучения уже не представлений математических понятий, а самих схем действий, предположительно лежащих в основе понятий. Существенный интерес также представляет вопрос о координации различных схем в рамках одного понятия.

Проделанная работа позволяет сделать следующие выводы:

1. Предъявление в обучении знаково-символических моделей понятий, представленных в очень простой зрительно-пространственной форме, не способствует усвоению понятий. Наиболее ярко это проявляется, если данные модели полностью вырваны из их употребления и представлены как статичные иллюстрации. Мы полагаем, что модель становится способом представления понятия, только если сформированы соответствующее способы ее преобразования.

2. Математические понятия не ограничиваются набором заранее выделенных признаков. Субъект представляет понятия как сочетание нескольких репрезентаций разных типов. Система репрезентаций понятия меняется в зависимости от степени владения данным понятием. а. Если понятие усвоено плохо, то оно представлено субъекту как набор ассоциаций в разной форме (образы, обозначения, конкретные примеры), никак не вскрывающие специфических способов действия, характерных для понятия. б. У студентов средней силы понятия репрезентируются через динамические образы и через элементы в решении задач. Эти представления еще не оторваны от действий по преобразованию и использованию соответствующих моделей, но при этом они уже включают новые способы действий. У студентов сильной группы такие репрезентации отсутствуют. Это является косвенным свидетельством того, что усвоение понятия, в том числе возникновение зрительно-пространственных представлений, происходит через решение задач и работу с наглядными материалами, и подтверждает положение нашей рабочей модели о понятиях как схемах математических действий. в. Только у хорошо усвоивших понятия студентов выработанные схемы действий сворачиваются и фиксируются как знаковые структуры разных типов: вербальные характеристики, алгебраические формулы, пространственные изображения. Вербальный способ репрезентации понятий характерен для студентов хорошо усвоивших понятия в большей степени, чем для остальных. Динамические представления в этой подгруппе встречаются редко, однако статичные изображения могут быть развернуты в план реализации действия, в схему, как только это будет необходимо в соответствующей задаче.

3. Чувственные представления присутствуют в репрезентации как хорошо усвоенных понятий, так и понятий усвоенных не в полной мере. Если понятие усвоено не до конца, то оно может репрезентироваться индивидуальным чувственным представлением, отражающим историю обучения и развития данного субъекта. Если понятие усвоено хорошо, то чувственные представления отражают конвенциональные пространственные модели математических понятий.

4. По нашим данным предпочтение визуальных или иных способов репрезентации математических понятий не определяется степенью развития зрительно-пространственных способностей. Мы полагаем, что визуальные репрезентации математических понятий имеют высокую степень абстрактности и при этом, как правило, незначительную нагрузку на способности к анализу зрительно-пространственной информации.

5. Анализ способов представления понятий при зрительной патологии показывает, что сохранность ведущего чувственного анализатора влияет как на формирование зрительно-пространственных представлений математических понятий, так и на возникновение у субъекта алгебраических представлений, в частности формул. Знаковые модели любого уровня абстрактности усваиваются в ходе предметной деятельности и потому также требуют участия чувственного восприятия для полноценного усвоения. В силу этого, мы полагаем, что любое представление знаково-символической модели математического понятия, позволяющее разворачивать соответствующие математические операции, может быть названо чувственным.

6. Итогом нашей работы является комплексное подтверждение теоретически разработанной модели математического понятия. Результаты включения зрительно-пространственных изображений в обучение, данные о структуре представлений школьных математических понятий у студентов разного уровня подготовленности, сравнение представлений математических понятий в норме и при патологии зрительного анализатора -все полученные данные согласуются с теоретическими положениями нашей рабочей модели. Мы полагаем, что математическое понятие, как система значений конкретного субъекта, является системой схем или способов действий по преобразованию знаково-символических моделей разного рода. Каждая знаково-символическая модель может быть зафиксирована субъектом в виде представления. Если возникающее у субъекта представление помещено в контекст соответствующих понятийных способов действия, оно является репрезентацией математического понятия.

7. В ходе освоения математического знания, представление субъектом понятия может наполниться соответствующими схемами и способами действия только в результате овладения необходимыми действиями в ходе учебной или математической деятельности. В данном контексте мы не видим принципиальной границы, разделяющей знаково-символические модели на чувственно-наполненные и формальные: как кучка яблок, так и обозначение N становятся моделью понятия натурального числа. И та и другая модели являются существенными для представления данного понятия и отражают различные схемы его функционирования: пересчет предметов или обозначение всей совокупности натуральных чисел для решения коммуникативных задач.

8. Таким образом, говоря о роли чувственных представлений в овладении математическими понятиями, мы заключаем, что такие представления являются необходимой составляющей зрелого математического понятия у субъекта. При этом под чувственным представлением следует понимать не статичный образ, а сложное психологическое образование, представленное субъекту в виде пространственного образа или формальной записи и готовое для преобразования и использования сообразно соответствующим понятийным действиям. Представление понятия станет чувственно наполненным только в ходе правильного овладения понятием, средствами которого являются знаково-символические модели, помещенные в понятийные схемы действия в ходе математической и учебной деятельности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат психологических наук Шварц, Анна Юрьевна, 2011 год

1. Арнольд В.И. Антинаучная революция и математика // Вестник российской академии наук. 1999. Том 69. № 6. С. 553-558.

2. Арнхейм Р. Визуальное мышление. // Психология мышления: хрестоматия по психологии / под ред. Ю. Б. Гиппенрейтер, В. А. Спиридонова, М. А. Фаликман, В. В. Петухова. 2-е изд., перераб. и доп. М. : ACT: Астрель, 2008. С. 182-190.

3. Арнхейм Р. В защиту визуального мышления // Арнхейм Р. Новые очерки по психологии искусства. М.: Прометей, 1994. С. 153-173

4. Ахутина Т.В., Пылаева Н.М. Диагностика развития зрительно вербальных функций (альбом). М.: ACADEMiA, 2003.

5. Беляев Е.А., Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы математики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981

6. Берлянд И.Е. «Числа бывают разные» // Число: Сб. статей. М.: МАКС Пресс, 2009. С. 6678.

7. Библер B.C. Понятие как элементарная форма движения науки (логическая постановка проблемы) // Арсеньев A.C., Библер B.C., Кедров Б.М. Анализ развивающегося понятия. М. 1968. С. 18-98.

8. Блинникова И.В. Роль зрительного опыта в развитии психических функций. М., Изд-во ИПРАН, 2003.

9. Богоявленский Д.Н., Менчинская H.A. Психология усвоения знаний в школе. М.:Изд-во АПН РСФСР, 1959.

10. Болтянский В. Г. Формула наглядности — изоморфизм плюс простота. // Советская педагогика. 1970. № 5. С.

11. Босс В. Интуиция и математика. М.: Айрис-пресс, 2003

12. Брунер. Дж. Психология познания. М.: Прогресс, 1977,

13. БСЭ (Большая советская энциклопедия). М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

14. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. Изд. 4-е. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010.

15. Буткин Г.А., Володарская И.А., Талызина Н.Ф. Усвоение научных понятий в школе. М.: Полиграф сервис, 1999.

16. Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: Физматлит, 1959

17. Вейль Г. Математическое мышление: пер. с М.: Наука, 1979.

18. Веккер Л.М. Психика и реальность единая теория психических процессов. М.: Смысл, 1998

19. Величковский Б.М. Когнитивная наука: Основы психологии познания. Т.2. М.: Издательский центр «Академия», 2006

20. Воронин В.М. Психолого-педагогические аспекты обучения учащихся с нарушениями зрения с применением компьютерной техники // Дефектология. 1985. №1.

21. Выготский JI. С. Мышление и речь: психологические исследования. М.; JL: Гос. учеб.-пед. изд-во, 1934.

22. Выготский, Л. С. Нарушение понятий при шизофрении / Л. С. Выготский // Избр. психол. исслед. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1956. С. 481-496.

23. Гальперин П. Я. Психология мышления и учение о поэтапном формировании умственных действий. // Исследования мышления в советской психологии. М., 1966. С. 236-276.

24. Гальперин П.Я. Типы ориентировки и типы формирования действий и понятий // Доклады АПН РСФСР. 1959. № 2. С.75-78.

25. Гальперин П.Я.О формировании чувственных образов и понятий: материалы совещания по психологии (июль 1955). М.: Изд-во АПН РСФСР, 1957. С. 417 -425.

26. Гальперин П.Я., Георгиев J1.C. Основной ряд действий, ведущих к образовании начальных математических понятий //Доклады АПН РСФСР. 1960. № 3. С.37-41.

27. Глазерсфельд Э. фон. Введение в радикальный конструктивизм // Цоколов С. Дискурс радикального конструктивизма. Традиции скептицизма и теории познания в современной философии и теории познания. Мюнхен. 2000. С. 74-98.

28. Грегори Р. Разумный глаз. М.: Едиториал УРСС, 2003.

29. Гутнер Г.Б. Комментарии к Берлянд И.Е. «Числа бывают разные» //Число: Сб. статей. М.: МАКС Пресс, 2009. С. 77-78.

30. Давыдов В. В. Образование начального понятия о количестве у детей // Вопросы психологии. 1957. № 2.

31. Давыдов В.В. Анализ строения счета как предпосылка построения программы по арифметике // Вопросы психологии учебной деятельности младших школьников. М.: АПН РСФСР, 1962.

32. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении: Логико-психологические проблемы построения учебных предметов. М.: Педагогическое общество России, 2000.

33. Давыдов В.В. Деятельностная теория мышления. М.: Научный мир, 2005

34. Давыдов В.В., Зинченко В.П. Предметная деятельность и онтогенез познания // Вопросы психологии. 1998. №5

35. Денискина В.З. Особенности овладения слепыми школьниками элементами геометрии и навыками черчения и некоторые методические рекомендации // Дефектология. 1979. №4.

36. Дьедонне Ж. Абстракция и математическая интуиция // Математики о математике. М.: Знание, 1982.

37. Запорожец А. В., Луков Г. Д. Развитие рассуждений у ребёнка младшего школьного возраста // Научные записки Харьковского гос. пед. института (Про розвиток м1ркування у дитини молодшого вису // HayKOBi Записки Харк. Держ. Педаг. Инст.), т. VI, 1941.

38. Запорожец А. В., Венгер Л. А., Зинченко В. П., Рузская А. Г. Восприятие и действие. М.: «Просвещение», 1967.

39. История математики. С древнейших времен до начала Нового времени. / Под ред. А.П. Юшкевича. М.: Наука, 1970. Т.1.

40. Кант. И. Критика чистого разума. Перевод Н.Лосского. М.: Мысль, 1994.

41. Кассирер Э. Познание и действительность. М.: Гнозис, 2006.

42. Катречко С.Л. К вопросу об "априорности" математического знания // Математика и опыт, ред. А.Г. Бабабашев. М.: МГУ, 2003.

43. Квале С.К. Исследовательское интервью. М.: Смысл, 2003.

44. Клушина Н.В. Математический прибор Клушиной для II классов школ слепых и слабовидящих // Дефектология. 1973. №5.

45. Кондюхова Т.Н. Психологические особенности личности при нарушениях зрения. СПб.: Экспресс, 2003.

46. Костючек Н.С. Значение предметных представлений для коррекции речи слепого младшего школьника // Дефектология. 1988. №3.

47. Кравцов Л.Г. Психологические средства управления мышлением в структуре научного понятия : Дис. канд. психол. наук. Москва, 2002

48. Кричевец А.Н. Трансцендентальный субъект и многообразие познавательных установок // Математика и опыт, ред. А.Г. Бабабашев. М.: МГУ, 2003.

49. Кричевец А.Н. Значение числовой переменной и смысл действительного числа // Число: Сб. статей. М.: МАКС Пресс, 2009. С. 133-142.

50. Крогиус A.A. Вюрцбургская школа экспериментального мышления // Психология мышления: хрестоматия / Под ред. Ю.Б. Гиппенрейтер, В.Ф. Спиридонова, М.В. Фаликман, В.В. Петухова. М.: Астрель, 2008. С. 370 374.

51. Крогиус A.A. Психология слепых и её значение для общей психологии. Саратов: б.и., 1926

52. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М.: Просвещение, 1968.

53. Кулагин Ю. А. Восприятие средств наглядности учащимися школыслепых: Автореферат диссертации доктора педагогических наук (по специальной психологии). М. 1967.

54. Кюльпе О. Психология мышления // Психология мышления: хрестоматия / Под ред. Ю.Б. Гиппенрейтер, В.Ф. Спиридонова, М.В. Фаликман, В.В. Петухова. М.: Астрель, 2008. С. 38-44.

55. Лакатос И. Бесконечный регресс и основания математики // Современная философия науки: знание, рациональность, ценности в трудах мыслителей Запада: хрестоматия. Сост. A.A. Печенкин. Издание 2-е, переработанное и дополненное. М.: Логос, 1996. С. 106-135

56. Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы. Источник. Пер. с англ. И.Н. Веселовского. М.: Наука, 1967.

57. Лакофф Д. Джонсон М. Метафоры, которыми мы живем: научно-популярная литература / пер. с англ. А. Н. Баранова, А. В. Морозовой; под ред. и с предисл. А. Н. Баранова. М.: УРСС, 2004.

58. Лакофф Дж. Женщины, огонь и опасные вещи: Что категории языка говорят нам о мышлении. М.: Гнозис, 2011.

59. Леонтьев А.Н. Доклад в ВИЭМ'е // Становление психологии деятельности: Ранние работы / под ред. A.A. Леонтьева, Д.А. Леонтьева, Е.Е. Соколовой. М.: Смысл, 20036. С. 308-315.

60. Леонтьев А.Н. Материалы о сознании // Становление психологии деятельности: Ранние работы / под ред. A.A. Леонтьева, Д.А. Леонтьева, Е.Е. Соколовой. М.: Смысл, 2003в. С. 353-372.

61. Леонтьев А.Н. Овладение учащимися научными понятиями как проблема педагогической психологии // Становление психологии деятельности: Ранние работы / под ред. A.A. Леонтьева, Д.А. Леонтьева, Е.Е. Соколовой. М.: Смысл, 2003а. С. 316-352.

62. Леонтьев А.Н. Мышление // Вопросы философии, 1964, № 4, с. 85—95.

63. Леонтьев А.Н. Проблема развития интеллекта и обучения в психологии. // Становление психологии деятельности: Ранние работы / под ред. A.A. Леонтьева, Д.А. Леонтьева, Е.Е. Соколовой. М.: Смысл, 2003г. С. 267-278.

64. Леонтьев А.Н. Проблемы развития психики. 3-е изд. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1972.

65. Леонтьев А.Н. Психологические вопросы сознательности учения. // Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. М.: Политиздат, 1975.

66. Леонтьев А.Н., Аснин В.И. Перенос действия как функция интеллекта // Становление психологии деятельности: Ранние работы / под ред. A.A. Леонтьева, Д.А. Леонтьева, Е.Е. Соколовой. М.: Смысл, 2003. С. 263—266.

67. Леонтьев Д.А. Психология смысла: природа, строение и динамика смысловой реальности. 2- изд. М.: Смысл, 2003.

68. Литвак А.Г. Психология слепых и слабовидящих. Спб.: Каро, 2006.

69. Малых Р.Ф. Обучение математике слепых и слабовидящих младших школьников: учебное пособие. СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2004.

70. Мамардашвили М. Превращенные формы // Философская энциклопедия, т.5. М. 1970. С. 385-389.

71. Мамардашвили, М.К. Сознание как философская проблема // Вопросы философии. 1990. № 10 С. 3-18

72. Маркс К., Энгельс Ф. Сочинения. Т.З. С. 1-4

73. Мерфи Г., Медин Д. Роль теорий в обеспечении внутренней согласованности понятий. // Когнитивная психология. История и современность. Хрестоматия. М.: Ломоносов, 2011. С.352-361.

74. Мингазов Э. Г. Гносеологические основы принципа наглядности обучения. // Советская педагогика. 1975, № 9. С. 18-25.

75. Найссер У. Познание и реальность. М.: Прогресс, 1981

76. Незрячие ученые. Изобретатели: Физ.-мат. и техн. науки // Незрячие деятели науки и культуры: Библиогр. указ. М. 1981. Т. 4.

77. Новиков С.П. Вторая половина XX века и ее итог: кризис физико-математического сообщества в России и на западе. // Вестник ДВО РАН. 2006. Вып. 4. С. 3-22

78. Основные направления исследований психологии мышления в капиталистических странах. М.: Наука, 1966.

79. Островская Е.Б. Формирование представление о замкнутом пространстве у слепых и частично видящих младших школьниках. // Дефектология. 1976. №2.

80. Перминов В. Я. Об аргументах Л. Брауэра против закона исключенного третьего // Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты / Под ред. А. Г. Барабашева; М.: МГУ, 1997. С. 199-228

81. Перминов В.Я. Априорность и реальная значимость исходных представлений математики // Стили в математике. Социокультурная философия математики. СПб. 1999. С. 80-110.

82. Перязев H.A. Индивидуальные стили математического мышления // Философия математики: актуальные проблемы. Материалы Международной научной конференции, 15-16 июня 2007. М.: МАКС Пресс, 2007. С. 165-168.

83. Пиаже Ж. Как дети образуют математические понятия. // Вопросы психологии. 1966. №4.

84. Пиаже Ж. Психогенез знания и его эпистемологическое значение // Семиотика. М.: Радуга, 19836. С. 91-100.

85. Пиаже Ж. Психология интеллекта. // Избр. психол. труды. М., 1969.

86. Пиаже Ж. Схемы действия и усвоение языка. // Семиотика. М.: Радуга, 1983а. С. 133-136.

87. Плаксина Л.И. Как научить слабовидящего ребенка видеть и понимать окружающий мир // Дефектология. 1985. №1.

88. Пиаже Ж., Шеминская А. Генезис числа у ребенка // Пиаже Ж. Избранные психологические труды. М.: Просвещение, 1969. С. 233-567.

89. Подколзина E.H. Особенности использования наглядности в обучении детей с нарушением зрения // Дефектология. 2005. №6.

90. Пономарев Я.А. Знание, мышление и умственное развитие. М.: Просвещение, 1967

91. Понтрягин Л.С. Жизнеописание Л. С. Понтрягина, математика, составленное им самим. Рождения 1908 г., Москва. М.: ИЧП "Прима В", 1998.

92. Понтрягин Л.С. О математике и качестве ее преподавания // Коммунист. 1980. №14. С. 99-112.

93. Прасолов В.В. Геометрия Лобачевского. М.: Изд-во МЦНМО, 2004.

94. Пуанкаре А. Интуиция и логика в математике // О науке, М.: Наука, 1989. С. 205-218.

95. Пуанкаре А. Отчет о работах Гильберта, представленных в 1903 г. Казанскому Физико-Матем. Обществу на соискание международной премии имени Лобачевского // Д. Гильберт, Основания геометрии. Л.: "Сеятель", 1923.

96. Пузырей A.A. Культурно-историческая теория Л.С. Выготского и современная психология. М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1986.

97. ЮО.Рашевский П.К. О догмате натурального ряда // В.А. Успенский, Апология математики. М.: Амфора, 2009. С. 537-547.

98. Рубинштейн С.Л. Человек и мир. Бытие и сознание. Человек и мир. М.—СПб. и др.: «Питер», 2003. С. 281-426.

99. Рубинштейн С. Л. Основы общей психологии. СПб: Питер, 2000.

100. Рубинштейн С.Л. Мышление. Глава X. / Основы общей психологии. Спб.: Питер, 2005.

101. Рубинштейн С.Л. О мышлении и путях его исследования. М., 1958.

102. Салмина Н.Г. Знак и символ в обучении. М.: Изд-во Моск. Университета, 1988.

103. Салмина Н.Г. Сохина В.П. Обучение математике в начальной школе. (На основе экспериментальной программы). М.: Педагогика, 1975.

104. Смирнов С.Д. Психология образа: проблема активности психического отражения. М.: Изд-во МГУ, 1985.

105. Соколова Е.Е. "Неклассическая" психология А.Н. Леонтьева и его школы // Психологический журнал. 2001. Том 22. № 6. С. 14-24.

106. Сокулер 3. А. Людвиг Витгенштейн и его место в философии XX в. Долгопрудный, 1994.

107. Сосинский А. Б. Узлы. Хронология одной математической теории. М.: МЦНМО, 2005.

108. Успенский В.А. Семь размышлений на темы философии математики // Апология математики. СПб.: Амфора, 2009. С. 391-469.

109. Ушинский К. Д. Человек как предмет воспитания: Опыт педагогической антропологии, т. 1. // Собр. соч., 8 т. М.; Л., 1950.

110. Фридман Л.М. Наглядность и моделирование в обучении. М.: Знание, 1984.

111. ХинчинА. Я. Основные понятия математики и математические определения в средней школе. М.: ЛКИ, 2008.

112. Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича. М.: Просвещение, 1976.

113. Чебыкин Е.В. Дробные палочки для слепых учащихся. Процентный круг для слепых учащихся // Дефектология. 1984. №4.

114. Явление чрезвычайное. Книга о Колмогорове: сборник статей. М.: ФАЗИС, МИРОС, 1999.

115. Янков В.А. Опыт и онтология математических объектов // Математика и опыт, ред. А.Г. Бабабашев. М.: МГУ, 2003.

116. Arcavi A. The role of visual representations in the learning of mathematics //Educational studies in mathematics. 2003. Vol. 52. No. 3. P. 215-241.

117. Ashby, F. G., & Ell, S. W. The neurobiology of human category learning. // Trends in Cognitive Sciences. 2001. Vol. 5. P. 181-225.

118. Aspinwall L., Shaw K. L., Presmeg N. C. Uncontrollable mental imagery: Graphical connections between a function and its derivative // Educational Studies in Mathematics. 1997. Vol. 33. No. 3. P. 301-317.

119. Barsalou L.W. Ad hoc categories. // Memory & Cognition. 1983. Vol. 11. P. 211-227.

120. Barsalou L.W. Deriving categories to achieve goals. // The psychology of learning and motivation: Advances in research and theory. G.H. Bower (Ed.). 1991. Vol. 27. P. 1-64.

121. Barsalou L.W. Ideals, central tendency, and frequency of instantiation as determinants of graded structure in categories. // Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition. 1985. Vol. 11. P. 629-654. ,

122. Barsalou L.W. Abstraction in perceptual symbol systems. Philosophical Transactions of the Royal Society of London: Biological Sciences. 2003. Vol. 358. P. 1177-1187.

123. Barsalou L.W. Perceptual symbol systems. // Behavioral and Brain Sciences. 1999. Vol. 22. P. 577-609.

124. Breidenbach, D., Dubinsky, E., Hawks, J., & Nichols, D. Development of the process concept of function. // Educational Studies in Mathematics. 1992. Vol. 23. No. 3. P. 247-285

125. Cahill H., Lindhan C. Blind and partially sighted students' access to mathematics and computer technology in Ireland and Belgium. // Journal of Visual Impairment & Blindness. 1996. Vol. 90. No. 2. P. 105-114.

126. Campbell K. J., Collis K. F., Watsn J. M. Visual processing during mathematical problem solving // Educational studies in mathematics. 1995. Vol. 28. No. 2. P. 177-194.

127. Charmaz K., Henwood K., Grounded theory // C. Willig, W. Stainton-Rogers (eds.) The SAGE Handbook of Qualitative Research in Psychology. London: Sage, 2008. P. 240-260.

128. Cottrill, J., Dubinsky, E., Nichols, D., Schwingendorf, K., Thomas, K., Vidakovic, D. Understanding the limit concept: beginning with a coordinated process schema. // Journal of Mathematical Behavior. 1996. Vol. 15. 167-192.

129. De Cruz H., De Smedt G. Mathematical symbols as epistemic actions // Synthesis. In press. Url: http://dx.d0i.0rg/l 0.1007/sl 1229-010-9837-9

130. Dreyfus, T., Eisenberg, T. On difficulties with diagrams: theoretical issues // G. Booker, P. Cobb, T. de Mendicuti (Eds.), Proceedings of the 14th PME International Conference, 1990. Vol. l.P. 27-36.

131. Duarte J., Brocardo J, Developing algebraic thinking with ICT // Proceedings of the 35th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Vol. 1. Ankara, Turkey: PME, 2011 P. 287

132. Dubinsky E. Reflective abstraction in advanced mathematical thinking. // Advanced mathematical thinking. / Ed. D. Tall, Boston: Kluwer, 1991. P. 95-126.

133. Dubinsky E. Mathematical literacy and abstraction in the 21st century// School Science and Mathematics. 2000a. Vol. 100. No. 6. P. 289-297.

134. Dubinsky E. Meaning and formalism in mathematics. // International Journal of Computers for Mathematical Learning. 2000b. Vol. 5. No. 3.P. 211-240.

135. Dubinsky E., Weller K., McDonald M. A., Brown A. Some historical issues and paradoxes regarding the concept of infinity: an APOS-based analysis: Part 1. Educational Studies in Mathematics. 2005a. Vol. 58. P. 335-359.

136. Dulin D., Hatwell Y. The effects of visual experience and training in raised-line materials on the mental spatial imagery of blind persons // Journal of Visual Impairment & Blindness. Vol. 100. No. 7. 2006. P. 414-424.

137. Duval R. Cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics. // Educational Studies in Mathematics. 2006. Vol.61. P. 103-131.

138. Duval R. The cognitive analysis of problems of comprehension in the learning of mathematics. // Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education. 2002.Vol. 1. No. 2. P. 1-16.

139. Edwards, B. S., Dubinsky, E., & McDonald, M. A. Advanced mathematical thinking // Mathematical Thinking and Learning. 2005. Vol. 7. No. 1. P. 15-25.

140. Eisenberg T., Dreyfus T. On the reluctance to visualize in mathematics. // W. Zimmermann, S. Cunningham (Eds.), Visualization in teaching and learning mathematics. Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1991, P. 26-37.

141. Flamine. A., Goldstein R., Duquette M., Chapman C.E., Voss P., Lepore F. Tactile acuity in the blind: a psychophysical study using a two-dimensional angle discrimination task. // Experimental Brain Research. 2008. No. 4. P. 587-594.

142. Fiehler K., Reuschel J., Rosier F. Early non-visual experience influences proprioceptive-spatial discrimination acuity in adulthood. //Neuropsychology. 2009. Vol. 47. No. 3. P. 897-906.

143. Gagatsis A., Shiakalli, M. Ability to Translate from One Representation of the Concept of Function to Another and Mathematical Problem Solving. Educational Psychology 2004. Vol. 24. No. 5. P 645-657.

144. Giorgi A.P., Giorgi B. Phenomenological Psychology. // C. Willig, W. Stainton-Rogers (eds.) The SAGE Handbook of Qualitative Research in Psychology. London: Sage, 2008. P. 165-178.

145. Hegarty M., Kozhevnikov M. Types of visual-spatial representations and mathematical problem solving. // Journal of educational psychology. 1999. Vol. 91. No.4. P. 684-689.

146. Hitt F. The role of the semiotic representations in the learning of mathematics // Bills, L. (Ed.) Proceedings of the British Society for Research into Learning Mathematics. 1998. Vol. 18(3). P. 23-28.

147. Jackson A. The world of blind mathematicians // Notices of The AMS. 2002. V.49. No.10. P. 1246-1251.

148. Johnson M. The body in the mind: the bodily basis of meaning, imagination and reason. Chicago: University of Chicago Press, 1987.

149. Kaminski J., Sloutsky V.M., Heckler A.F. Do Children Need Concrete Instantiations to Learn an Abstract Concept? // Proceedings of the XXVIII Annual Conference of the Cognitive Science Society. 2006. P. 1167-1172.

150. Kemler Nelson D. G., Russell R., Duke N., Jones K. Two-year-olds will name artifacts by their functions. // Child Development. 2000. Vol. 71. P. 1271-1288.

151. Konyalioglu A.C. An evaluation from students' perspective on visualization approach used in linear algebra instructions // World Applied Sciences Journ. 2009. Vol. 6. No. 8. P. 1046-1052.

152. Kosslyn S.M Mental Imagery // Visual Cognition and Action. An Invitation to Cognitive Science. Visual Cognition Vol. 2 / (Eds.) D. N. Osherson, S.M. Kosslyn, J.M. Hollerbach. 1995. p.84-94

153. Lakoff G., Nünez R. Where mathematics comes from: how the embodied mind brings mathematics into being. New York: Basic Books, 2000. P. 337-383.

154. Miller S.P., Hudson P.J. Helping students with disabilities understand what mathematics means // Teaching exceptional children. 2006. Vol. 39. No.l. P. 28-35.

155. Murphy G.L. The big book of concepts. MIT Press, 2002.

156. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM, 2000.

157. Nünez R. Lakoff, G. What did Weierstrass really define? The cognitive structure of natural and epsilon-delta continuity. // Mathematical Cognition. 1998. Vol. 4. No. 2. P. 85-101.

158. Papert S. Situating Constructionism // Constructionism, ed. I. Harel, S. Papert. Norwood, NJ:Ablex Publishing, 1991

159. Presmeg N., Balderas-Canas P. Visualization and Affect in Nonroutine Problem Solving.// Mathematical Thinking and Learning. 2001. Vol.3. P.289-313.

160. Presmeg N.C. Prototypes, metaphors, metonymies, and imaginative rationality in high school mathematics // Educational studies in mathematics. 1992. Vol. 23. No. 6. P. 595-610.

161. Presmeg, N.C. Visualization and mathematical giftedness // Educational studies in mathematics, 1986. Vol. 17. P. 297-311.

162. Presmeg, N. C. Research on visualization in learning and teaching mathematics: emergence from psychology // In A. Gutierrez, P. Boero (Eds.), Handbook of research on the psychology of mathematics education: past, present and future. 2006. P. 205-235.

163. Radford L. Embodiment, perception and symbols in the development of early algebraic thinking // Proceedings of the 35th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Vol. 4. Ankara, Turkey: PME, 2011. P. 17-25

164. Rivera, Ferdinand D. Toward a visually-oriented school mathematics curriculum: research, theory, practice, and issues. Dordrecht: Springer, 2011.

165. Robertson, S. I. Problem Solving, USA, Philadelphia: Psychology Press, 2001. P. 209-214.

166. Rosch E. Reclaiming Concepts. // Journal of Consciousness Studies, Vol.6. No.l 1-12, 1999. P. 61-77.

167. Rosch E. Principles of Categorization// Cognition and Categorization. Hillsdale, New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates, Inc., Publishers, 1978. P. 27- 48.

168. Roth W.-M., Lawless D. Scientific investigations, metaphorical gestures, and the emergence of abstract scientific concepts // Learning and Instruction. 2002. Vol.12. No. 3 P. 285-304.

169. Roth W.-M. The dawning of signs in graph interpretation. // Semiotics in mathematics education / Luis Radford, Gert Schubring & Falk Seeger (Eds.). Rotterdam: Sense, 2008. P. 83102.

170. Sierpinska, A. Understanding in Mathematics. London: Falmer Press, 1994.

171. Stevens R., Edwards A., Harling P. Access to mathematics for visually disabled students through multimodal interaction // Human-computer interaction. 1997. Vol.12. P. 47-92.

172. Sticken, J., & Kapperman, G. Collaborative and inclusive strategies for teaching mathematics to blind children. 1998 (ERIC Document Reproduction Service No. ED421821)

173. Stylianou D. A. On the interaction of visualization and analysis The negotiation of a visual representation in problem solving. // Journal of Mathematical Behavior. 2002. Vol. 21. No. 3. P. 303-317.

174. Stylianou D.A., Silver E.A., The role of visual representations in advanced mathematical problem solving: an examination of expert-novice similarities and differences // Mathematical thinking and learning. 2004. Vol. 6. No. 4. P. 353-387.

175. Van Garderen D., Montague M. Visual-spatial representation, mathematical problem solving, and students of varying abilities // Learning disabilities research and practice. 2003. Vol. 18. No. 4. P. 246-254.

176. Yeh W., Barsalou L.W. The situated nature of concepts. //American Journal of Psychology. 2006. Vol. 119. P. 349-384.

177. Zazkis R., Dubinsky E., Dauterman J. Coordinating visual and analytic strategies: a study of students' understanding of the group D4. Journal for research in mathematics education. 1996. Vol. 27. No. 4. P. 435^57.