Вычисление тензора абсолютной проницаемости керна по его цифровой модели с использованием функционалов Минковского тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Волков Евгений Александрович

• Волков Евгений Александрович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Волков Евгений Александрович

Введение

Глава 1. Задача определения абсолютной проницаемости керна

1.1 Обзор существующих подходов к решению задачи определения абсолютной проницаемости керна

1.1.1 Введение

1.1.2 Лабораторные методы

1.1.3 Эмпирические модели

1.1.4 Сеточные и перколяционные модели

1.1.5 Прямые методы моделирования течения флюидов

1.2 Краткое описание разработанного метода вычисления тензора абсолютной проницаемости керна по его цифровой модели

1.2.1 Введение

1.2.2 Схема подхода

1.2.3 Фильтрация цифровых моделей внутреннего строения

керна

1.2.4 Мультиклассовая сегментация цифровых моделей внутреннего строения керна

1.2.5 Численное моделирование течения флюида

1.3 Выводы к главе

Глава 2. Описание предлагаемого метода вычисления тензора

абсолютной проницаемости керна

2.1 Разработка библиотеки дискретного преобразования Хартли

2.1.1 Введение

2.1.2 Представление многомерного дискретного преобразования Хартли (КБ-БЫТ) в виде последовательности одномерных дискретных преобразований Хартли (Ш-ЭЫТ)

2.1.3 Быстрое дискретное преобразование Хартли (РЭЫТ)

2.1.4 Матричное представление дискретного преобразования Хартли

2.1.5 Параллельная реализация многомерного дискретного преобразования Хартли (ND-DHT)

2.1.6 Выводы

2.2 Фильтрация цифровой модели керна с ипользованием преобразования Хартли

2.2.1 Введение

2.2.2 Эффект наведённой анизотропии

2.2.3 Алгоритм 3D-фильтрации цифровой модели образца

керна с ипользованием преобразования Хартли

2.3 Мультиклассовая сегментация цифровой модели керна

с использованием функционалов Минковского

2.3.1 Введение

2.3.2 Функционалы Минковского

2.3.3 Цифровые изображения

2.3.4 Вычисление полей функционалов Минковского

с помощью преобразования Фурье

2.3.5 Вычисление полей функционалов Минковского

с помощью преобразования Хартли

2.3.6 Кластеризация методом к-средних++ (k-means++)

2.3.7 Кластеризация методом Gaussian Mixture Model (GMM)

2.4 Мультиклассовая сегментация цифровой модели керна

с помощью нейронной сети 3D U-Net

2.4.1 Введение

2.4.2 Обучение нейронной сети

2.5 Вычисление тензора абсолютной проницаемости керна

с помощью численного моделирования течения флюида

2.5.1 Введение

2.5.2 Метод решёточных уравнений Больцмана

2.5.3 Перенос результатов моделирования течения флюида на

весь образец (экстраполяция/интерполяция IDW)

2.5.4 Вычисление тензора абсолютной проницаемости на

основе закона Дарси

2.5.5 Определение главных компонент и направлений тензора проницаемости

2.6 Вычисление тензора абсолютной проницаемости керна

с помощью нейронной сети 3D U-Net

2.6.1 Введение

2.6.2 Обучение нейронной сети

2.7 Выводы к главе

Глава 3. Применение предлагаемого метода вычисления

тензора абсолютной проницаемости керна

3.1 Анализ вычислительной производительности библиотеки дискретного преобразования Хартли

3.1.1 Описание и результаты вычислительного эксперимента

3.1.2 Выводы

3.2 Анализ процесса фильтрации цифровых моделей керна

3.3 Булева модель пористой среды

3.3.1 Введение

3.3.2 Модель со слоистой структурой

3.3.3 Создание модели с помощью кубической интерполяции

3.3.4 Выводы

3.4 Анализ процесса мультиклассовой сегментации цифровых

моделей керна

3.4.1 Вычисление полей функционалов Минковского

3.4.2 Оценка сходства Mean Intersection over Union (MeanloU)

3.4.3 Описание эксперимента

3.4.4 Сегментация с применением метода к-средних++

3.4.5 Сегментация с применением метода смеси гауссовых распределений (GMM)

3.4.6 Сегментация с помощью нейронной сети 3D U-Net

3.4.7 Анализ результатов

3.4.8 Сегментация с помощью нейронной сети 3D U-Net томограммы реального образца керна

3.5 Результаты вычисления тензора абсолютной проницаемости керна

3.6 Выводы к главе

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вычисление тензора абсолютной проницаемости керна по его цифровой модели с использованием функционалов Минковского»

Введение

В настоящее время нефтегазодобыча ведётся из пластов со сложным строением и неоднородными фильтрационно-емкостными свойствами. В связи с этим возрастает актуальность корректного определения абсолютной проницаемости керна. Классические лабораторные методы измерения проницаемости сопряжены с высокими финансовыми затратами и длительностью проведения экспериментов. При этом керн неизбежно подвергается необратимым разрушениям, что особенно критично при оценке объёмов трудноизвлекаемых запасов. Эмпирические модели (Козени—Кармана, Verma—Pruess и др.) не учитывают реальную геометрию поровой структуры, что может приводить к значительным погрешностям в расчётах.

Применение численных методов при исследовании горных пород (Digital Rock Physics) позволяет проводить неразрушающий анализ керна, однако существующие подходы имеют ряд ограничений. Сеточные модели (Pore Network Models) и модели, основанные на теории перколяции, упрощают геометрию по-рового пространства. В то же время прямое моделирование течения флюидов по всему образцу с помощью методов решёточных уравнений Больцмана (LBM), конечных элементов и др., требует колоссальных вычислительных и временных ресурсов, что ограничивает их практическое применение.

Одним из современных подходов к описанию породы является использование морфологических и топологических характеристик порового пространства—функционалов Минковского. Применение дискретного преобразования Хартли (DHT) позволяет эффективно строить поля значений этих характеристик, на основе которых цифровую модель можно разделить на зоны однородности. Это, в свою очередь, позволяет повысить эффективность вычислений за счёт проведения моделирования течения на небольших участках внутри каждой зоны.

В данной работе предлагается интегрированный подход к определению проницаемости, объединяющий методы численного моделирования, вычислительной морфологии, обработки изображений, искусственного интеллекта и технологий высокопроизводительных вычислений (HPC). Следует отметить, что предлагаемая модель является упрощенной, поскольку не учитывает эффек-

ты смачиваемости, капиллярные силы и другие физико-химические факторы, что требует отдельных исследований.

Целью диссертационной работы является разработка математических моделей, алгоритмов и программных средств для определения тензора абсолютной проницаемости образца керна на основе бинарной сегментации его цифровой 3D-модели, полученной с помощью рентгеновской микрокомпьютерной томографии (МКТ).

Для достижения поставленной цели соискателем решены следующие задачи:

1. Предложен метод сегментации цифровой модели пористой среды для вычисления тензора абсолютной проницаемости.

2. Разработан и реализован программный модуль мультиклассовой сегментации цифровой 3D-модели образца керна с использованием функционалов Минковского, вычисленных с помощью преобразования Хартли.

3. Создан программный модуль фильтрации (удаление шума и артефактов) цифровой 3D-модели образца керна с использованием дискретного преобразования Хартли.

4. Выполнен сравнительный анализ существующих алгоритмов вычисления многомерного дискретного преобразования Хартли и существующих парадигм параллельного программирования, а также способов адаптации программного кода под различные HPC архитектуры.

5. Разработан подход для повышения вычислительной производительности с помощью нейронной сети для решения двух рассмотренных выше задач: мультиклассовой сегментации цифровой 3D-модели образца керна и определения тензора её абсолютной проницаемости с учётом сегментации.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Метод эффективного вычисления многомерного дискретного преобразования Хартли, разработанный с учётом особенностей современных CPU, ускорителей, в частности GPGPU, и архитектур суперкомпьютеров.

2. Алгоритм построения полей функционалов Минковского с помощью дискретного преобразования Хартли с целью дальнейшего проведения мультиклассовой сегментации цифровых моделей образцов керна.

3. Метод вычисления тензора абсолютной проницаемости образца керна по его цифровой модели, основанный на синергии МКТ, вычислительной морфологии, моделирования течения в пористой среде и нейронных сетей.

Научная новизна:

1. Разработан оригинальный подход и алгоритм вычисления тензора абсолютной проницаемости образца керна с использованием функционалов Минковского, метода решёточных уравнений Больцмана и нейронной сети с архитектурой 3D U-Net.

2. Предложен новый метод проведения мультиклассовой сегментации цифровых 3D-моделей образцов керна с использованием полей функционалов Минковского и нейронной сети с архитектурой 3D U-Net.

3. Впервые разработана библиотека дискретного преобразования Хартли, архитектурно адаптируемая под высокопроизводительные вычислительные системы, в качестве альтернативы имеющимся библиотекам преобразования Фурье.

Практическая значимость:

1. Для проведения фильтрации изображений и цифровых 3D-данных была реализована и протестирована библиотека дискретного преобразования Хартли (DHT). Благодаря тому, что при разработке библиотеки применялись такие инструменты параллельного программирования, как OpenACC, CUDA, MPI, удалось добиться переносимости программной реализации на различные вычислительные платформы. Это открывает новые возможности для оптимизации процессов обработки данных в различных областях, где требуется фильтрация изображений или цифровых 3D-моделей.

2. Предложен параллельный алгоритм реализации на кластере GPGPU многомерного DHT на основе матричного представления преобразования. В ходе численных экспериментов удалось достичь большей производительности по сравнению с традиционным методом, использующим одномерные быстрые дискретные преобразования Хартли.

3. Предложен метод мультиклассовой сегментации цифровых 3D-моделей образцов керна с использованием функционалов Минковского с помощью вычисления DHT на GPGPU. На основе результатов вычислений была обучена нейронная сеть с архитектурой 3D U-Net. Эксперимен-

тально показано, что нейронная сеть обеспечивает высокую точность вычислений и устойчивость результатов.

4. Предложен метод определения тензора абсолютной проницаемости цифровых SD-моделей керна с использованием 3D U-Net. Наборы данных для обучения сети были получены на основе мультиклассовой сегментации и численного моделирования течения флюида методом решёточных уравнений Больцмана.

Достоверность исследования обеспечивается использованием общеизвестных методов вычислительной гидродинамики, математического моделирования течения флюидов, фильтрации и сегментации цифровых SD-данных, а также публикацией в открытом доступе кода разработанной библиотеки дискретного преобразования Хартли для проверки результатов вычислений. Наконец, проведённая оценка абсолютной проницаемости реальных образцов керна показала согласованность с результатами, полученными при лабораторных исследованиях.

Апробация работы. Материалы диссертационного исследования докладывались и обсуждались на следующих всероссийских и международных научно-практических конференциях и форумах: XII Всероссийская конференция молодых учёных, специалистов и студентов «Новые технологии в газовой промышленности» (газ, нефть, энергетика) (г. Москва, РГУ нефти и газа (НИУ) им. И. М. Губкина, 2017 г.), «Нефть и газ — 2018» (г. Москва, РГУ нефти и газа (НИУ) им. И. М. Губкина, 2018 г.), «Нефть и газ — 2019» (г. Москва, РГУ нефти и газа (НИУ) им. И.М.Губкина, 2019 г.), XII всероссийская научно-техническая конференция «Актуальные проблемы развития нефтегазового комплекса России» (г. Москва, РГУ нефти и газа (НИУ) им. И.М.Губкина, 2018 г.), «2nd Conference of Computational Methods in Offshore Technology and First Conference of Oil and Gas Technology» (COTech & OGTech 2019) (Университет Ставан-гера, г. Ставангер, Норвегия, 2019 г.), VI региональной научно-технической конференции, посвященной 100-летию М.М.Ивановой «Губкинский университет в решении вопросов нефтегазовой отрасли России» (г. Москва, РГУ нефти и газа (НИУ) им. И.М.Губкина, 2022 г.).

Личный вклад. Основные результаты диссертационного исследования получены автором самостоятельно. В тесном сотрудничестве с научным руководителем формулировались задачи и анализировались результаты. На защиту выносятся только положения, разработанные непосредственно автором.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 11 печатных изданиях, 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 1 — в периодических научных журналах, индексируемых Scopus, 6 —в тезисах докладов.

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 119 страниц, включая 35 рисунков и 10 таблиц. Список литературы содержит 184 наименования.

Глава 1. Задача определения абсолютной проницаемости керна

1.1 Обзор существующих подходов к решению задачи определения

абсолютной проницаемости керна

1.1.1 Введение

Проницаемость пористой среды является одним из ключевых параметров, определяющих её способность пропускать через себя жидкость или газ. Этот параметр играет важнейшую роль в широком спектре научных и прикладных задач, связанных с добычей нефти и газа, гидрогеологией, строительством и многими другими областями. Пористая среда представляет собой материал, содержащий поры, заполненные жидкостью, газом, их смесью и т. д. Примеры таких сред: горные породы, почвы, бетон и даже биологические ткани.

Коэффициент проницаемости был впервые введён в законе Дарси [1], описывающем ламинарное течение жидкости в пористой среде. Эта величина отражает способность материала пропускать сквозь себя флюиды под действием градиента давления и зависит только от его свойств: геометрии порового пространства (размера, формы пор, их распределения и др.), наличия трещин, каверн, капиллярных эффектов и т. д. В связи с этим к настоящему моменту разработано множество различных методов и подходов для определения проницаемости, каждый из которых имеет свои достоинства и ограничения. Традиционные методы основаны на прямых лабораторных измерениях [2; 3] (см. раздел 1.1.2). Широко известны модели, основанные на выявленных эмпирических закономерностях, например, метод Козени [4—6] (см. раздел 1.1.3). Методы, основанные на анализе цифровых моделей внутреннего строения керна (см. разделы 1.1.4 и 1.1.5), развиваются уже более тридцати лет и обретают всё большую популярность среди учёных-петрофизиков. Например, одна из первых работ, связанная с применением рентгеновской МКТ к образцам керна, появилась в конце прошлого века [7].

Целью главы является всесторонний анализ существующих методов определения абсолютной проницаемости пористых материалов, их классификация

и оценка применимости в различных условиях. Рассмотрение этих аспектов поможет выявить наиболее эффективные подходы и определить направления для дальнейших исследований в данной области.

1.1.2 Лабораторные методы

Лабораторные методы определения абсолютной проницаемости пористых сред основаны на проведении экспериментов с физическими образцами керна в контролируемых условиях. Эти методы позволяют получать прямые измерения проницаемости и считаются одними из наиболее точных и надёжных способов оценки данного параметра. Основой большинства лабораторных методов является закон Дарси, описывающий линейную зависимость между скоростью фильтрации флюидов через пористую среду и градиентом давления.

Для вычисления проницаемости в лабораторных условиях образцы помещаются в специальный прибор — пермеаметр (см. рис. 1.1), в котором создаётся контролируемый поток жидкости через пористый материал. В ходе эксперимента через помещённый в кернодержатель вырезанный из керна обычно цилиндрический образец пропускается жидкость (вода, керосин и т. п.) или газ (воздух, азот и т. п.) при заданном давлении и измеряется объёмный расход в единицу времени, при этом течение через боковую поверхность цилиндра блокируется. Важно, чтобы выбранный для эксперимента флюид был химически инертным по отношению к породе, т. к. установлено влияние сопутствующих химических факторов на ход эксперимента [2, с. 17]. Тогда абсолютная проницаемость рассчитывается на основе уравнения Дарси:

к - (11) к - 5 АР' (11)

где к — коэффициент абсолютной проницаемости, — объёмный расход жидкости, — динамическая вязкость жидкости, Ь — длина образца, $ — площадь поперечного сечения образца, АР — разница давлений на входе и выходе.

Поскольку обычно делается одно измерение, то данный подход с очевидностью основан на предположении, что фильтрационные свойства породы однородны и изотропны. Такое лабораторное исследование имеет определённые негативные стороны. Во-первых, оно приводит к необратимому разрушению

¡4

Рисунок 1.1 — Схема пермеаметра [8, с. 362] — прибора для измерения проницаемости

исследуемого образца керна или к существенному изменению его петрофизи-ческих свойств. Поэтому при выполнении повторных экспериментов можно получить искажённые результаты, или дальнейшие исследования вообще становятся невозможными. Во-вторых, такой подход не позволяет надёжно оценить динамические характеристики породы в различных направлениях. Конечно, это можно сделать, например, проведением дополнительных экспериментов на других образцах, отобранных, желательно, по векторам, ортогональным к исходному. Использование цифровых моделей керна позволяет проводить гораздо больше разнообразных неразрушающих экспериментов, что значительно ускоряет процесс и в большинстве случаев повышает точность измерений. Кроме того, полученные с использованием цифровых моделей керна результаты можно использовать при планировании натурных лабораторных экспериментов.

Проницаемость измеряется в м2. Она может быть интерпретирована как грубая мера среднеквадратичного диаметра пор [9, с. 21]. В нефтегазовой промышленности чаще используется более удобная единица — дарси [Д]: 1 Д = 0,9869 • 10-12 « 1 • 10-12 м2. Она представляет собой проницаемость породы при фильтрации 1 см3 жидкости вязкостью (ц) 1 сП через образец с площадью поперечного сечения (5) 1 см2 за 1 с при разнице давлений (Р1 — Р2 = АР) 1 атм на 1 см длины (Ь) в направлении потока. Это линейная зависимость:

если расход (О) удваивается, то и перепад давления (АР) удваивается. Таким образом, график зависимости скорости потока ^/Б) от перепада давления на единицу длины (АР/Ь) на образце керна будет представлять собой прямую линию с наклоном, равным к/ц..

Таким образом, лабораторные методы позволяют получать прямые и точные измерения петрофизических характеристик пористых сред, что делает их важным инструментом для исследования различных пористых материалов. Однако эти методы имеют ряд ограничений:

— Лабораторный анализ требует значительных финансовых и временных ресурсов, особенно при проведении экспериментов с большим количеством образцов.

— Эксперименты по определению проницаемости обычно оказывают разрушающее воздействие на образец, что делает невозможным его повторное исследование.

— Условия в лаборатории, при которых проводят испытания, могут отличаться от естественных условий в породе, что может привести к ошибкам в оценке проницаемости.

Тем не менее лабораторные методы остаются важным и необходимым этапом в исследовании пористых сред. Они незаменимы, когда требуется высокая точность измерений или анализ специфических свойств материала. Но их высокая стоимость и временные издержки заставляют учёных искать иные способы определения проницаемости горных пород.

1.1.3 Эмпирические модели

Широко применяются эмпирические модели, представляющие собой уравнения, выведенные на основе экспериментальных данных и/или использующих определённые допущения и упрощения — например, приближение фильтрации в пористой среде течением по каналам согласно закону Пуазёйля [10]. Их использование позволяет оценить проницаемость пористых сред без проведения сложного лабораторного или численного анализа. Эти уравнения связывают проницаемость с другими физическими характеристиками материала, такими как пористость, размер зёрен, удельная поверхность пор и др.

Одними из наиболее известных являются модели, основанные на методе Козени [11]. Например, формула Козени—Кармана[12], основанная на капиллярной модели, в которой пористая среда представлена в виде системы параллельных каналов различных поперечных сечений, связывает проницаемость с пористостью и удельной поверхностью пор:

к = 2(1- ф)2 , (1.2) где к — проницаемость, ф — пористость, $ — удельная поверхность пор по Карману [13, с. 112], с — константа, обычно равная 5. В работах [14—16] исследовали корреляцию проницаемости с пористостью и остаточной водонасыщенностью.

Часто на практике удобно определять проницаемость, используя соотношения в виде зависимости проницаемости от пористости. В этом случае изменение проницаемости рассчитывается путём сопоставления текущей проницаемости к, зависящей от текущей пористости ф, с начальной или эталонной

проницаемостью к0. Это выражается через отношение

- = ^ (1 3)

ко /(Фо), ( . )

где /(ф) — функция, описывающая зависимость проницаемости от пористости, а ф0 — начальное значение пористости. Это направление получило широкое развитие: известны варианты в виде модификаций уравнения Козени—Карма-на [17; 18], экспоненциальных [19], степенных зависимостей [20; 21] и др. [22; 23]. Всесторонний обзор этого подхода представлен в работе [24].

Эмпирические модели часто используются в практических приложениях благодаря своей простоте и быстроте применения. Однако их точность может варьироваться в зависимости от условий, для которых они были разработаны, а применение требует учёта возможных ограничений и предположений, заложенных в модель. Часто использование этих уравнений даёт хорошие результаты с одним типом породы, но неприменимы для других. Например, в работе [25] показывается, что применение уравнения Козени—Кармана к кернам с неоднородной структурой может приводить к погрешностям, достигающим десятикратного отклонения от лабораторных данных.

1.1.4 Сеточные и перколяционные модели

С появлением рентгеновской микрокомпьютерной томографии (МКТ) [26] (см. рис. 1.2) и новейших методов анализа трёхмерных изображений стало возможным детализировать внутреннее строение реальных пористых материалов, после чего анализировать их топологию по ЭЭ-скелету, построенному по бинарно сегментированным 2В/ЭЭ-томограммам [27; 28].

■.: i.kj^t - $ *>5Й чдУД^ Г?' Ж:-,'

(а) .....(б)

Рисунок 1.2 — Пример томограммы образца керна, полученной с помощью рентгеновской МКТ: (а) 2Э-срез томограммы; (б) сегмент 2Э-среза томограммы

Между эмпирическими моделями и подходами, основанными на прямом моделировании течения флюидов (см. раздел 1.1.5), лежат модели, упрощающие геометрию порового пространства [29]. Обычно говорят о сеточных (Pore Network Models, PNM) и перколяционных моделях (см. рис. 1.3). Они широко использовались в прошлом (первая работа написана в 1956 г. [30]) и применяются в настоящем для описания геометрии порового пространства в мезомасштабе и анализа её влияния на основные характеристики фильтрации [31].

Первые сеточные 3Э-модели пористых сред создавались на основе статистических оценок некоторых морфологических свойств, полученных при изучении образца на микро- и мезомасштабах с более низкой размерностью (1D или 2D) и сделанных на шлифах образцов керна [32]. Применение теории перколяции, в рамках которой изучается процесс протекания через пористую

среду путём сведения сложной структуры к решётке простой формы, позволяет определять основные фильтрационные параметры в мезомасштабе, такие как проницаемость и др [33—36]. Такой подход основан на оценке предельных состояний системы, выявлении критических значений насыщенности или давления и т. п.

Рисунок 1.3 — Пример построения сеточной модели: (а) цифровая 2Э-модель пористой среды; (б) соответствующая ей сеточная модель, построенная с помощью библиотеки OpenPNM [31]

Помимо вышеуказанных методов используются сеточные модели, основанные на различных принципах упаковки 3Э-структур из зёрен твёрдой фазы случайных размеров. Подробный обзор этих моделей можно найти в работах [37; 38]. Часто такие модели создаются с применением общих статистических методов для размещения деформируемых зёрен определённой формы. Практика показала, что модели, которые не учитывают реальную морфологию порового пространства, не могут точно описать характеристики потока флюидов в реальных пористых средах [25; 29]. К тому же, несмотря на вычислительную эффективность, существует нетривиальная проблема экстрагирования сеточной модели из томограммы образца керна. На данный момент основными подходами при решении этой задачи являются методы на основе выделения медианных линий [39], максимальных вписанных сфер [40] и сегментация методом водораздела [41]. К сожалению, у каждого из подходов есть свои недостатки (вычислительная сложность, наличие разнородных шумов и артефактов и др.).

В настоящее время ведутся активные исследования для решения описанных проблем.

1.1.5 Прямые методы моделирования течения флюидов

Модели оценки петрофизических параметров горных пород разрабатывались не только для упрощённых систем. Существует ряд подходов к моделированию фильтрационных свойств пористой среды в зависимости от требуемых физических параметров. Одними из наиболее распространённых являются так называемые прямые методы, основанные на проведении моделирования на воксельных ЭЭ-моделях внутренного строения горных пород. В этом случае течение моделируется численным решением уравнений Навье—Стокса или их упрощений, например, уравнения Стокса (при малых числах Рейнольдса), либо с использованием метода решёточных уравнений Больцмана (Lattice Boltzmann method, LBM).

Наиболее простым свойством для моделирования является абсолютная проницаемость. В рамках режима линейной фильтрации, подчиняющейся закону Дарси, её можно определить, выразив из уравнения для однофазного течения. При этом для моделирования фильтрации применяются численные методы конечных элементов и объёмов (МКЭ/МКО) [42—46], метод сглаженных частиц (Smoothed Particle Hydrodynamics, SPH) [47], конечно-разностные схемы (Finite Element Method, FEM) [48—50], LBM [29; 51—5Э].

Исследования горных пород на основе МКТ имеют ряд преимуществ относительно лабораторных. Например, методы ртутной порометрии, капил-лярометрии и др., оказывают разрушающее воздействие на керн и изменяют его петрофизические характеристики, что делает крайне затруднительным или невозможным повторное исследование образца. Также эти методы позволяют оценить лишь общее распределение размеров пор всего образца керна, но не дают информации о внутренней структуре каждого типа породы. Исследование же цифровых ЭЭ-моделей позволяет эффективно характеризовать внутреннюю структуру каждого отдельно взятого образца, что даёт возможность в дальнейшем оценивать их конкретный вклад в проницаемость и другие свойства всей флюидонасыщенной породы. Тем не менее одной из самых главных проблем

прямого моделирования является вычислительная сложность алгоритмов. Например, обработка цифровой модели керна с разрешением 902 х 902 х 24912 занимает недели и даже месяцы при расчётах на вычислительном кластере, в зависимости от выбора метода моделирования [54].

Отдельное направление в исследованиях по характеризации пористой среды связано с использованием функционалов Минковского (см. разделы 1.2 и 2.3). Их применение для решения данной задачи впервые было предложено и теоретически обоснованно в работах [55; 56]. Возможность создания программных реализаций вычисления функционалов Минковского для трёхмерных бинарных объектов в поровом масштабе опирается на методы морфологического анализа, которые исследовались в [57—59]. Этот подход базируется на разделении исходной 3Э-модели пористой среды на зоны (классы) с однородной структурой, после чего для каждой зоны выполняется моделирование течения внутри небольших участков, имеющих характерный размер (Representative Elementary Volumes, REV). Такая декомпозиция позволяет учитывать пространственную неоднородность (гетерогенность) скелета породы и многомасштаб-ность гидродинамических свойств среды [60]. Текущая диссертационная работа основывается на этой идее, и, во многом, вдохновлена решениями, предложенными в исследованиях [61—63].

1.2 Краткое описание разработанного метода вычисления тензора абсолютной проницаемости керна по его цифровой модели

1.2.1 Введение

Петрофизические характеристики процесса течения флюидов в пористых средах определяются, главным образом, особенностями морфологической структуры порового пространства — его геометрией и топологией [29; 58; 59]. Современные технологии позволяют создавать цифровые модели этой структуры с высокой степенью детализации (см. рис. 1.2). К сожалению, измерения таких петрофизических характеристик, как проницаемость пористой среды, обычно проводятся в предположении однородности и изотропности этой среды [29].

При этом пустоты и твёрдая фаза в этих моделях представлены через дополнительные характеристические функции, принимающие значение 0 в областях, занятых флюидом, и 1 —в областях с твёрдой фазой. Такие бинарные модели пористых сред подходят для моделирования течения флюидов на уровне отдельных пор. Совмещение рентгеновской микрокомпьютерной томографии с численным моделированием флюидных потоков позволяет детально исследовать сложные физические процессы в масштабе пор, используя ресурсы высокопроизводительных вычислительных систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Волков Евгений Александрович, 2025 год

Список литературы

1. Darcy, H. Les fontaines publiques de la ville de Dijon: exposition et application des principes a suivre et des formules a employer dans les questions de distribution d'eau. Т. 1 / H. Darcy. — Victor dalmont, 1856.

2. Петрофизические методы исследования кернового материала / М. К. Иванов [и др.] // М.: Изд-во Моск. ун-та. — 2008.

3. McPhee, C. Core analysis: a best practice guide / C. McPhee, J. Reed, I. Zubizarreta. — Elsevier, 2015.

4. Губайдуллин, А. А. Обобщение подхода Козени к определению проницаемости модельных пористых сред из твердых шаровых сегментов / А. А. Губайдуллин, Д. Е. Игошин, Н. А. Хромова // Вестник Тюменского государственного университета. Серия: Физико-математическое моделирование. Нефть, газ, энергетика. — 2016. — Т. 2, № 2.

5. Дедов, А. В. Использование модели Козени для прогнозирования проницаемости нетканых иглопробивных материалов / А. В. Дедов // Материаловедение. — 2013. — № 5. — С. 15—17.

6. Губайдуллин, А. А. Моделирование динамики капли нефти в капилляре с сужением / А. А. Губайдуллин, А. Ю. Максимов // Вестник Тюменского государственного университета. Серия: Физико-математические науки. Информатика. — 2013. — № 7.

7. Three-dimensional X-ray microtomography / B. P. Flannery [и др.] // Science. — 1987. — Т. 237, № 4821. — С. 1439—1444.

8. Басниев, К. С. Подземная гидравлика / К. С. Басниев. — Рипол Классик, 1986.

9. Коллинз, Р. Течение жидкостей через пористые материалы / Р. Коллинз. — 1964.

10. Poiseuille, J. L. Recherches experimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de tres-petits diametres / J. L. Poiseuille. — Imprimerie Royale, 1844.

11. Kozeny, J. Über kapillare Leitung des Wassers im Boden:(Aufstieg, Versickerung u. Anwendung auf die Bewässerg); Gedr. mit Unterstützg aus d. Jerome u. Margaret Stonborsugh-Fonds / J. Kozeny. — Holder-Pichler-Tempsky, A.-G.[Abt.:] Akad. d. Wiss., 1927.

12. Carman, P. C. Flow of gases through porous media / P. C. Carman. — 1956.

13. Шейдеггер, А. Э. Физика течения жидкостей через пористые среды / А. Э. Шейдеггер. — 1960.

14. Tixier, M. Evaluation of permeability from electric-log resistivity gradients / M. Tixier // The Oil and Gas Journal. — 1949. — Т. 16. — С. 113—133.

15. Wyllie, M. Some theoretical considerations related to the quantitative evaluation of the physical characteristics of reservoir rock from electrical log data / M. Wyllie, W. D. Rose // Journal of Petroleum Technology. — 1950. — Т. 2, № 04. — С. 105—118.

16. Timur, A. An investigation of permeability, porosity, and residual water saturation relationships / A. Timur // SPWLA Annual Logging Symposium. — SPWLA. 1968. — SPWLA—1968.

17. Marshall, T. A relation between permeability and size distribution of pores / T. Marshall // Journal of soil science. — 1958. — Т. 9, № 1. — С. 1—8.

18. Civan, F. A multi-purpose formation damage model / F. Civan // SPE International Conference and Exhibition on Formation Damage Control. — SPE. 1996. — SPE—31101.

19. Verma, A. Thermohydrological conditions and silica redistribution near highlevel nuclear wastes emplaced in saturated geological formations / A. Verma, K. Pruess // Journal of Geophysical Research: Solid Earth. — 1988. — Т. 93, B2. — С. 1159—1173.

20. Patir, N. An average flow model for determining effects of three-dimensional roughness on partial hydrodynamic lubrication / N. Patir, H. Cheng. — 1978.

21. Ellis, B. R. 3D Mapping of calcite and a demonstration of its relevance to permeability evolution in reactive fractures / B. R. Ellis, C. A. Peters // Advances in water resources. — 2016. — Т. 95. — С. 246—253.

22. Clement, T. Macroscopic models for predicting changes in saturated porous media properties caused by microbial growth / T. Clement, B. Hooker, R. Skeen // Groundwater. — 1996. — Т. 34, № 5. — С. 934—942.

23. Pape, H. Permeability prediction based on fractal pore-space geometry / H. Pape, C. Clauser, J. Iffland // Geophysics. — 1999. — Т. 64, № 5. — С. 1447—1460.

24. Hommel, J. Porosity-permeability relations for evolving pore space: a review with a focus on (bio-) geochemically altered porous media / J. Hommel, E. Coltman, H. Class // Transport in Porous Media. — 2018. — Т. 124, № 2. — С. 589—629.

25. Pore-scale imaging and modelling / M. J. Blunt [и др.] // Advances in Water resources. — 2013. — Т. 51. — С. 197—216.

26. Three-dimensional X-ray microtomography / B. P. Flannery [и др.] // Science. — 1987. — Т. 237, № 4821. — С. 1439—1444.

27. Measurement parameters and resolution aspects of micro X-ray tomography for advanced core analysis / J. Coenen, E. Tchouparova, X. Jing [и др.] // Proceedings of the international symposium of the society of core analysts, UAE. — 2004.

28. Application of Computed Microtomography for Studying the Structure of Terrigenous Collectors / D. Korost [и др.] // Geol. Nefti Gaza. — 2010. — № 2. — С. 36—42.

29. Арсеньев-Образцов, С. С. Определение тензора коэффициентов проницаемости численным моделированием течения флюида на цифровой модели пористой среды / С. С. Арсеньев-Образцов // Труды Российского государственного университета нефти и газа имени И. М. Губкина. — 2015. — № 4. — С. 64—77.

30. Fatt, I. The network model of porous media / I. Fatt // Transactions of the AIME. — 1956. — Т. 207, № 01. — С. 144—181.

31. OpenPNM: a pore network modeling package / J. Gostick [и др.] // Computing in Science & Engineering. — 2016. — Т. 18, № 4. — С. 60—74.

32. Рыков, В. В. Модели и методы стохастической геометрии в геологии / В. В. Рыков, Д. Штойян // Математические методы и автоматизированные системы в геологии: Обзор/ВНИИ экономики минерального сырья и геологоразведочных работ ВИЭМС. — 1987. — С. 74.

33. Kirkpatrick, S. Percolation and conduction / S. Kirkpatrick // Reviews of modern physics. — 1973. — Т. 45, № 4. — С. 574.

34. Селяков, В. И. Перколяционные модели процессов переноса в микронеоднородных средах / В. И. Селяков, В. В. Кадет. — 1995.

35. Кадет, В. В. Методы теории перколяции в подземной гидромеханике / В. В. Кадет. — 2008.

36. Application of percolation, critical-path, and effective-medium theories for calculation of two-phase relative permeability / S. Naik [и др.] // Physical Review E. — 2021. — Т. 103, № 4. — С. 043306.

37. Acharya, R. C. Porosity-permeability properties generated with a new 2-parameter 3D hydraulic pore-network model for consolidated and unconsolidated porous media / R. C. Acharya, S. E. van der Zee, A. Leijnse // Advances in water resources. — 2004. — Т. 27, № 7. — С. 707—723.

38. Xiong, Q. Review of pore network modelling of porous media: Experimental characterisations, network constructions and applications to reactive transport / Q. Xiong, T. G. Baychev, A. P. Jivkov // Journal of contaminant hydrology. — 2016. — Т. 192. — С. 101—117.

39. Medial axis analysis of void structure in three-dimensional tomographic images of porous media / W. B. Lindquist [и др.] // Journal of Geophysical Research: Solid Earth. — 1996. — Т. 101, B4. — С. 8297—8310.

40. Silin, D. Pore space morphology analysis using maximal inscribed spheres / D. Silin, T. Patzek // Physica A: Statistical mechanics and its applications. — 2006. — Т. 371, № 2. — С. 336—360.

41. Sheppard, A. P. Improved pore network extraction methods / A. P. Sheppard, R. M. Sok, H. Averdunk // International Symposium of the Society of Core Analysts. Т. 2125. — 2005. — С. 1—11.

42. Durlofsky, L. J. Numerical calculation of equivalent grid block permeability tensors for heterogeneous porous media / L. J. Durlofsky // Water resources research. — 1991. — Т. 27, № 5. — С. 699—708.

43. Арсеньев-Образцов, С. С. Численное моделирование микротечений в пористой среде по результатам 3D компьютерной томографии / С. С. Ар-сеньев-Образцов // Актуальные проблемы развития нефтегазового комплекса России. — 2012. — С. 85—85.

44. Raeini, A. Q. Modelling two-phase flow in porous media at the pore scale using the volume-of-fluid method / A. Q. Raeini, M. J. Blunt, B. Bijeljic // Journal of Computational Physics. — 2012. — Т. 231, № 17. — С. 5653—5668.

45. Direct hydrodynamic simulation of multiphase flow in porous rock / D. Koroteev [и др.] // Petrophysics. — 2014. — Т. 55, № 04. — С. 294—303.

46. Simulation-based determination of relative permeability in laminated rocks / M. H. Sedaghat [и др.] // Energy Procedia. — 2016. — Т. 97. — С. 433—439.

47. Characterizing flow in oil reservoir rock using SPH: Absolute permeability / D. W. Holmes [и др.] // Computational Particle Mechanics. — 2016. — Т. 3. — С. 141—154.

48. Finite-difference approximation for fluid-flow simulation and calculation of permeability in porous media / V. Shabro [и др.] // Transport in porous media. — 2012. — Т. 94. — С. 775—793.

49. Finite-difference method Stokes solver (FDMSS) for 3D pore geometries: Software development, validation and case studies / K. M. Gerke [и др.] // Computers & geosciences. — 2018. — Т. 114. — С. 41—58.

50. Новая методика численной оценки абсолютной проницаемости горных пород по их микротомографическим изображениям / Т. С. Хачкова [и др.] // Геофизика. — 2023. — Т. 1. — С. 34—40.

51. Арсеньев-Образцов, С. С. Моделирование двухфазного течения на компьютерной микромодели пористой среды / С. С. Арсеньев-Образцов // Сборник тезисов докладов X Всероссийской научно-технической конференции «Актуальные проблемы развития нефтегазового комплекса России», 10-12 февраля 2014 г. — 2014. — С. 256.

52. Khirevich, S. Coarse-and fine-grid numerical behavior of MRT/TRT lattice-Boltzmann schemes in regular and random sphere packings / S. Khirevich, I. Ginzburg, U. Tallarek // Journal of Computational Physics. — 2015. — Т. 281. — С. 708—742.

53. Zakirov, T. Absolute permeability calculations in micro-computed tomography models of sandstones by Navier-Stokes and lattice Boltzmann equations / T. Zakirov, A. Galeev // International Journal of Heat and Mass Transfer. — 2019. — Т. 129. — С. 415—426.

54. Изучение и анализ современных подходов к построению цифровых моделей керна и методов моделирования многофазной фильтрации в масштабах порового пространства / К. М. Герке [и др.] // Георесурсы. — 2021. — Т. 23, № 2. — С. 197—213.

55. Santalo, L. Integral geometry and geometric probability / L. Santalo. — 1976.

56. Stoyan, D. Stochastic geometry and its applications. Т. 69 / D. Stoyan, W. S. Kendal, J. Mecke. — Walter de Gruyter GmbH & Co KG, 1987.

57. Serra, J. Image analysis and mathematical morphology / J. Serra. — Academic Press, Inc., 1983.

58. Mecke, K. R. Additivity, convexity, and beyond: applications of Minkowski functionals in statistical physics / K. R. Mecke // Statistical Physics and Spatial Statistics: The art of analyzing and modeling spatial structures and pattern formation. — Springer, 2000. — С. 111—184.

59. Euler-Poincare characteristics of classes of disordered media / C. H. Arns [и др.] // Physical Review E. — 2001. — Т. 63, № 3. — С. 031112.

60. Random heterogeneous materials: microstructure and macroscopic properties. Т. 16 / S. Torquato [и др.]. — Springer, 2002.

61. Arns, C. H. Boolean reconstructions of complex materials: Integral geometric approach / C. H. Arns, M. A. Knackstedt, K. R. Mecke // Physical Review E—Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics. — 2009. — Т. 80, № 5. — С. 051303.

62. Porous media characterization using Minkowski functionals: Theories, applications and future directions / R. T. Armstrong [и др.] // Transport in Porous Media. — 2019. — Т. 130. — С. 305—335.

63. Jiang, H. Fast Fourier transform and support-shift techniques for pore-scale microstructure classification using additive morphological measures / H. Jiang, C. H. Arns // Physical Review E. — 2020. — Т. 101, № 3. — С. 033302.

64. A level set method for image segmentation in the presence of intensity inhomogeneities with application to MRI / C. Li [и др.] // IEEE transactions on image processing. — 2011. — Т. 20, № 7. — С. 2007—2016.

65. Wildenschild, D. X-ray imaging and analysis techniques for quantifying pore-scale structure and processes in subsurface porous medium systems / D. Wildenschild, A. P. Sheppard // Advances in Water resources. — 2013. — Т. 51. — С. 217—246.

66. Cnudde, V. High-resolution X-ray computed tomography in geosciences: A review of the current technology and applications / V. Cnudde, M. N. Boone // Earth-Science Reviews. — 2013. — Т. 123. — С. 1—17.

67. Volkov, E. A. 3D Fast Hartley Transform based on Cpp+/CUDA/OpenMP [Электронный ресурс] / E. A. Volkov. — 2019. — URL: https://github. com/22dla/RapiDHT (visited on 01/19/2015).

68. Guide, D. Cuda c programming guide / D. Guide // NVIDIA, July. — 2013. — Т. 29. — С. 31.

69. OpenMP Architecture Review Board. OpenMP Application Programming Interface / OpenMP Architecture Review Board. — 2021. — URL: https: //www.openmp.org/specifications/ ; Version 5.2.

70. Dagum, L. OpenMP: an industry standard API for shared-memory programming / L. Dagum, R. Menon // IEEE computational science and engineering. — 1998. — Т. 5, № 1. — С. 46—55.

71. OpenACC-Standard.org. The OpenACC Application Programming Interface / OpenACC-Standard.org. — 2020. — URL: https://www.openacc. org/specification ; Version 3.0.

72. MPI Forum. MPI: A Message-Passing Interface Standard / MPI Forum. — 2021. — URL: https://www.mpi-forum.org/docs/mpi-4.0/mpi40-report.pdf ; Version 4.0.

73. Archie, G. E. Classification of carbonate reservoir rocks and petrophysical considerations / G. E. Archie // Aapg Bulletin. — 1952. — Т. 36, № 2. — С. 278—298.

74. Multi-scale rock analysis for improved characterization of complex carbonates / M. Dernaika [и др.] // SPE Reservoir Characterisation and Simulation Conference and Exhibition. — SPE. 2015. — D021S008R001.

75. Classification and quantification of pore shapes in sandstone reservoir rocks with 3-D X-ray micro-computed tomography / M. Schmitt [и др.] // Solid Earth. — 2016. — Т. 7, № 1. — С. 285—300.

76. Гонсалес, Р. Цифровая обработка изображений, Москва: Техносфера / Р. Гонсалес, Р. Вудс. — 2024.

77. Minkowski, H. Volumen und Oberflache / H. Minkowski // Mathematische Annalen. — 1903. — Т. 56. — С. 447—495.

78. Hadwiger, H. Vorlesungen Uber Inhalt, Oberflache und Isoperimetrie / H. Hadwiger // (No Title). — 1957.

79. Arns, C. H. Reconstructing complex materials via effective grain shapes /

C. H. Arns, M. A. Knackstedt, K. Mecke // Physical Review Letters. — 2003. — Т. 91, № 21. — С. 215506.

80. Арсеньев-Образцов, С. С. Кластеризация цифрового 3D-образца керна с использованием функционалов Минковского / С. С. Арсеньев-Образцов, Е. А. Волков // Автоматизация и информатизация ТЭК. — 2023. — № 8(601). — С. 13—22. — DOI 10.33285/2782-604X-2023-8(601)-13-22. — EDN KCAIOZ.

81. Арсеньев-Образцов, С. С. Мультиклассовая сегментация гетерогенных пористых сред с использованием 3D U-Net и полей функционалов Мин-ковского / С. С. Арсеньев-Образцов, Е. А. Волков // Автоматизация и информатизация ТЭК. — 2024. — № 3(608). — С. 32—43. — EDN TMJPFL.

82. Chen, S. Lattice Boltzmann method for fluid flows / S. Chen, G. D. Doolen // Annual review of fluid mechanics. — 1998. — Т. 30, № 1. — С. 329—364.

83. Succi, S. The lattice Boltzmann equation: for fluid dynamics and beyond / S. Succi. — Oxford university press, 2001.

84. Kang, Q. An improved lattice Boltzmann model for multicomponent reactive transport in porous media at the pore scale / Q. Kang, P. C. Lichtner,

D. Zhang // Water Resources Research. — 2007. — Т. 43, № 12.

85. D'Orazio, A. Lattice Boltzmann modelling of fluid flow through porous media: A comparison between pore-structure and representative elementary volume methods / A. D'Orazio, A. Karimipour, R. Ranjbarzadeh // Energies. — 2023. — Т. 16, № 14. — С. 5354.

86. Haslam, I. Exolete lattice Boltzmann scripts [Электронный ресурс] / I. Haslam. —2013. —URL: https://github.com/IainHaslam/exolete.

87. Bracewell, R. N. Discrete hartley transform / R. N. Bracewell // Journal of the Optical Society of America. — 1983. — Т. 73, № 12. — С. 1832—1835.

88. Брейсуэлл, Р. Преобразование Хартли. Теория и приложения: под ред. И. С. Рыжака / Р. Брейсуэлл. — 1990.

89. Hartley, R. V. A more symmetrical Fourier analysis applied to transmission problems / R. V. Hartley // Proceedings of the IRE. — 1942. — Т. 30, № 3. —

C. 144—150.

90. Gupta, A. The scalability of FFT on parallel computers / A. Gupta, V. Kumar // IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems. — 1993. — Т. 4, № 8. — С. 922—932.

91. Foster, I. T. Parallel algorithms for the spectral transform method / I. T. Foster, P. H. Worley // SIAM Journal on Scientific Computing. — 1997. — Т. 18, № 3. — С. 806—837.

92. Dalcin, L. Fast parallel multidimensional FFT using advanced MPI / L. Dalcin, M. Mortensen, D. E. Keyes // Journal of Parallel and Distributed Computing. — 2019. — Т. 128. — С. 137—150.

93. Takahashi, D. Fast Fourier transform algorithms for parallel computers /

D. Takahashi. — Springer, 2019.

94. Bracewell, R. Fast two-dimensional Hartley transforms / R. Bracewell // Proc. IEEE. — 1986. — Т. 74. — С. 1283—1284.

95. Hao, H. A three-dimensional DFT algorithm using the fast Hartley transform / H. Hao, R. N. Bracewell // Proceedings of the IEEE. — 1987. — Т. 75, № 2. — С. 264—266.

96. Cooley, J. W. The fast Fourier transform and its applications / J. W. Cooley, P. A. Lewis, P. D. Welch // IEEE Transactions on Education. — 1969. — Т. 12, № 1. — С. 27—34.

97. Bergland, G. D. Numerical analysis: A fast Fourier transform algorithm for real-valued series / G. D. Bergland // Communications of the ACM. — 1968. — Т. 11, № 10. — С. 703—710.

98. Rader, C. M. Discrete Fourier transforms when the number of data samples is prime / C. M. Rader // Proceedings of the IEEE. — 1968. — T. 56, № 6. — C. 1107—1108.

99. Bracewell, R. N. The fast Hartley transform / R. N. Bracewell // Proceedings of the IEEE. — 1984. — T. 72, № 8. — C. 1010—1018.

100. Hou. The fast Hartley transform algorithm / Hou // IEEE Transactions on Computers. — 1987. — T. 100, № 2. — C. 147—156.

101. Duhamel, P. Improved Fourier and Hartley transform algorithms: Application to cyclic convolution of real data / P. Duhamel, M. Vetterli // IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. — 1987. — T. 35, № 6. — C. 818—824.

102. PopoviC, M. A new look at the comparison of the fast Hartley and Fourier transforms / M. PopoviC, D. SeviC // IEEE Transactions on Signal Processing. — 1994. — T. 42, № 8. — C. 2178—2182.

103. Bell, N. Efficient sparse matrix-vector multiplication on CUDA : Tex. oth. / N. Bell, M. Garland ; Nvidia Technical Report NVR-2008-004, Nvidia Corporation. — 2008.

104. Li, J. GPU matrix multiplication / J. Li, S. Ranka, S. Sahni // Multicore Computing: Algorithms, Architectures, and Applications. — 2013. — T. 345.

105. CUDA vs OpenACC: Performance case studies with kernel benchmarks and a memory-bound CFD application / T. Hoshino [h gp.] // 2013 13th IEEE/ACM International Symposium on Cluster, Cloud, and Grid Computing. — IEEE. 2013. — C. 136—143.

106. Matrix multiplication on heterogeneous platforms / O. Beaumont [h gp.] // IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems. — 2002. — T. 12, № 10. — C. 1033—1051.

107. Perona, P. Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion / P. Perona, J. Malik // IEEE Transactions on pattern analysis and machine intelligence. — 1990. — T. 12, № 7. — C. 629—639.

108. Arsenyev-Obraztsov, S. S. Proposals on 3D parallel edge-preserving filtration for x-ray tomographic digital images of porous medium core plugs / S. S. Arsenyev-Obraztsov, E. A. Volkov, G. O. Plusch // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. Т. 700. — IOP Publishing. 2019. — С. 012053.

109. Арсеньев-Образцов, С. С. Применение модифицированного фильтра анизотропной диффузии для обработки результатов рентгеновской микрокомпьютерной томографии / С. С. Арсеньев-Образцов, Г. О. Плющ // Автоматизация, телемеханизация и связь в нефтяной промышленности. — 2019. — 1 (546). — С. 30.

110. Tomasi, C. Bilateral filtering for gray and color images / C. Tomasi, R. Manduchi // Sixth international conference on computer vision (IEEE Cat. No. 98CH36271). — IEEE. 1998. — С. 839—846.

111. Smith, S. Digital signal processing: a practical guide for engineers and scientists / S. Smith. — Newnes, 2003.

112. Chandel, R. Image filtering algorithms and techniques: A review / R. Chandel, G. Gupta // International Journal of Advanced Research in Computer Science and Software Engineering. — 2013. — Т. 3, № 10.

113. Patra, N. Discrete Hartley Transform and its applications-A review / N. Patra, S. S. Nayak // Journal of Integrated Science and Technology. — 2022. — Т. 10, № 2. — С. 173—179.

114. Coutinho, V. A. Low-complexity three-dimensional discrete Hartley transform approximations for medical image compression / V. A. Coutinho, R. J. Cintra, F. M. Bayer // Computers in Biology and Medicine. — 2021. — Т. 139. — С. 105018.

115. Saatcilar, R. The use of the Hartley transform in geophysical applications / R. Saatcilar, S. Ergintav, N. Canitez // Geophysics. — 1990. — Т. 55, № 11. —

C. 1488—1495.

116. Roth, K. Quantifying permafrost patterns using Minkowski densities / K. Roth, J. Boike, H.-J. Vogel // Permafrost and periglacial processes. — 2005. — Т. 16, № 3. — С. 277—290.

117. Klain, D. A. A short proof of Hadwiger's characterization theorem /

D. A. Klain // Mathematika. — 1995. — Т. 42, № 2. — С. 329—339.

118. Базайкин, Я. В. Лекции по вычислительной топологии / Я. В. Базай-кин // Новосибирск: Изд-во НГУ. — 2017.

119. Хадвигер, Г. Лекции об объеме площади поверхности и изопериметрии / Г. Хадвигер. — 1966.

120. Matheron, G. Случайные множества и интегральная геометрия /

G. Matheron, V. Nosko, V. Maksimova // (No Title). — 1978.

121. Hyde, S. Curvature energy of surfactant interfaces confined to the plaquettes of a cubic lattice / S. Hyde, I. Barnes, B. Ninham // Langmuir. — 1990. — Т. 6, № 6. — С. 1055—1062.

122. Surface-to-volume ratio, charge density, nuclear magnetic relaxation, and permeability in clay-bearing sandstones / P. Sen [и др.] // Geophysics. — 1990. — Т. 55, № 1. — С. 61—69.

123. Santalo, L. A. Integral geometry and geometric probability / L. A. Santalo. — Cambridge university press, 2004.

124. Schneider, R. Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory. Т. 151 / R. Schneider. — Cambridge university press, 2013.

125. Nagel. An integral-geometric approach for the Euler-Poincare characteristic of spatial images / Nagel, Ohser, Pischang // Journal of microscopy. — 2000. — Т. 198, № 1. — С. 54—62.

126. Michielsen, K. Integral-geometry morphological image analysis / K. Michielsen, H. De Raedt // Physics Reports. — 2001. — Т. 347, № 6. — С. 461—538.

127. Wu, H.-H. Historical development of the Gauss-Bonnet theorem /

H.-H. Wu // Science in China Series A: Mathematics. — 2008. — Т. 51, № 4. — С. 777.

128. Lang, C. On the analysis of spatial binary images / C. Lang, J. Ohser, R. Hilfer // Journal of microscopy. — 2001. — Т. 203, № 3. — С. 303—313.

129. Legland, D. Computation of Minkowski measures on 2D and 3D binary images / D. Legland, K. Kieu, M.-F. Devaux // Image Analysis and Stereology. — 2007. — Т. 26, № 2. — С. 83—92.

130. Mantz, H. Utilizing Minkowski functionals for image analysis: a marching square algorithm / H. Mantz, K. Jacobs, K. Mecke // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. — 2008. — Т. 2008, № 12. — P12015.

131. Арсеньев-Образцов, С. С. Реализация дискретного преобразования Хартли на многоядерных ускорителях / С. С. Арсеньев-Образцов, Е. А. Волков // Автоматизация и информатизация ТЭК. — 2023. — № 7(600). — С. 35—42. — DOI 10.33285/2782-604X-2023-7(600)-35-42. — EDN BJNHTV.

132. An efficient k-means clustering algorithm: Analysis and implementation / T. Kanungo [и др.] // IEEE transactions on pattern analysis and machine intelligence. — 2002. — Т. 24, № 7. — С. 881—892.

133. Scalable k-means++ / B. Bahmani [и др.] // arXiv preprint arXiv:1203.6402. — 2012.

134. Starczewski, A. Performance evaluation of the silhouette index / A. Starczewski, A. Krzyzak // Artificial Intelligence and Soft Computing: 14th International Conference, ICAISC 2015, Zakopane, Poland, June 14-18, 2015, Proceedings, Part II 14. — Springer. 2015. — С. 49—58.

135. Yang, M.-S. A robust EM clustering algorithm for Gaussian mixture models / M.-S. Yang, C.-Y. Lai, C.-Y. Lin // Pattern Recognition. — 2012. — Т. 45, № 11. — С. 3950—3961.

136. Comparison of K-means and GMM methods for contextual clustering in HSM / Z. Wang [и др.] // Procedia Manufacturing. — 2019. — Т. 28. — С. 154—159.

137. Ronneberger, O. U-net: Convolutional networks for biomedical image segmentation / O. Ronneberger, P. Fischer, T. Brox // Medical image computing and computer-assisted intervention-MICCAI 2015: 18th international conference, Munich, Germany, October 5-9, 2015, proceedings, part III 18. — Springer. 2015. — С. 234—241.

138. 3D U-Net: learning dense volumetric segmentation from sparse annotation / O. Cigek [и др.] // Medical Image Computing and Computer-Assisted Intervention-MICCAI 2016: 19th International Conference, Athens, Greece, October 17-21, 2016, Proceedings, Part II 19. — Springer. 2016. — С. 424—432.

139. Deep learning based atomic defect detection framework for two-dimensional materials / F.-X. R. Chen [и др.] // Scientific data. — 2023. — Т. 10, № 1. — С. 91.

140. Accurate and versatile 3D segmentation of plant tissues at cellular resolution /

A. Wolny [и др.] // Elife. — 2020. — Т. 9. — e57613.

141. Bear, J. Dynamics of fluids in porous media / J. Bear. — Courier Corporation, 2013.

142. Азиз, Х. Математическое моделирование пластовых систем / Х. Азиз, Э. Сеттари. — Регулярная и хаотическая динамика| Ижевский институт компьютерных исследований, 2004.

143. Huyakorn, P. S. Computational methods in subsurface flow / P. S. Huyakorn. — academic press, 2012.

144. Pinder, G. F. Finite element simulation in surface and subsurface hydrology / G. F. Pinder, W. G. Gray. — Elsevier, 2013.

145. Blunt, M. J. Multiphase flow in permeable media: A pore-scale perspective / M. J. Blunt. — Cambridge university press, 2017.

146. Арсеньев-Образцов, С. С. Разработка концепции системы многоуровневого масштабирования петрофизических свойств / С. С. Арсеньев-Образцов, Е. А. Волков // Губкинский университет в решении вопросов нефтегазовой отрасли России: Тезисы докладов VI региональной научно-технической конференции, посвященной 100-летию М. М. Ивановой, Москва, 19-21 сентября 2022 года. — Москва: Российский государственный университет нефти и газа (национальный исследовательский университет) имени И.М.Губкина. — 2022. — С. 734—735. — EDN REGOXK.

147. Арсеньев-Образцов, С. С. Разработка многоуровневой системы масштабирования петрофизических характеристик коллектора / С. С. Арсеньев-Образцов, Е. А. Волков // Губкинский университет в решении вопросов нефтегазовой отрасли России: Тезисы докладов VII Региональной научно-технической конференции, посвященной 100-летию

B.Л.Березина, Москва, 19-21 сентября 2023 года. — Москва: Российский

государственный университет нефти и газа (национальный исследовательский университет) имени И. М. Губкина. — 2023. — С. 82—83. — EDN VMSCDM.

148. McNamara, G. G. Use of the Boltzmann equation to simulate lattice-gas automata / G. G. McNamara, G. Zanetti // Lattice Gas Methods For Partial Differential Equations. — CRC Press, 2019. — С. 289—296.

149. Matheron, G. Principles of geostatistics / G. Matheron // Economic geology. — 1963. — Т. 58, № 8. — С. 1246—1266.

150. Journel, A. G. Mining geostatistics / A. G. Journel, C. J. Huijbregts. — 1976.

151. Shepard, D. A two-dimensional interpolation function for irregularly-spaced data / D. Shepard // Proceedings of the 1968 23rd ACM national conference. — 1968. — С. 517—524.

152. Lu, G. Y. An adaptive inverse-distance weighting spatial interpolation technique / G. Y. Lu, D. W. Wong // Computers & geosciences. — 2008. — Т. 34, № 9. — С. 1044—1055.

153. Tensorial permeability obtained from pore-scale simulations as a proxy to core orientation in non-aligned rock material / K. Gerke [и др.] // SPE Russian Petroleum Technology Conference. — SPE. 2018. — D013S003R003.

154. Whitaker, S. The equations of motion in porous media / S. Whitaker // Chemical Engineering Science. — 1966. — Т. 21, № 3. — С. 291—300.

155. Whitaker, S. Advances in theory of fluid motion in porous media / S. Whitaker // Industrial & engineering chemistry. — 1969. — Т. 61, № 12. — С. 14—28.

156. Hubbert, M. K. Darcy's law and the field equations of the flow of underground fluids / M. K. Hubbert // Transactions of the AIME. — 1956. — Т. 207, № 01. — С. 222—239.

157. Scheidegger, A. E. The physics of flow through porous media / A. E. Scheidegger. — University of Toronto press, 1957.

158. Collins, R. E. Flow of fluids through porous materials / R. E. Collins. — 1976.

159. Арсеньев-Образцов, С. С. Определение проницаемости гетерогенных пористых сред с использованием 3D U-Net и полей функционалов Мин-ковского / С. С. Арсеньев-Образцов, Е. А. Волков // Автоматизация и информатизация ТЭК. — 2024. — № 7(612). — С. 41—50. — EDN VMQIFM.

160. Ромм, Е. С. Структурные модели порового пространства горных пород / Е. С. Ромм. — 1985.

161. Герасимов, Д. С. Основные определения и понятия фильтрации жидкостей и газов / Д. С. Герасимов // Среды и границы применяемости закона Дарси: Учеб. пособие. Тюмень: Тюмен. Гос. нефтегазовый ун-т. — 2013.

162. Press, W. H. Numerical recipes 3rd edition: The art of scientific computing / W. H. Press. — Cambridge university press, 2007.

163. Horn, R. A. Matrix analysis / R. A. Horn, C. R. Johnson. — Cambridge university press, 2012.

164. Lake, L. W. Enhanced oil recovery / L. W. Lake. — Old Tappan, NJ; Prentice Hall Inc., 01.1989. — URL: https://www.osti.gov/biblio/5112525.

165. Гилл, Ф. Практическая оптимизация / Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт. — 1985.

166. Nicholson, W. K. Linear algebra with applications. Т. 275 / W. K. Nicholson, W. K. Nicholson. — PWS Publishing Company Boston, 1995.

167. Multichannel input pixelwise regression 3D U-Nets for medical image estimation with 3 applications in brain MRI / J. Wang [и др.] // Medical Imaging with Deep Learning. — 2021.

168. Seeing under the cover with a 3D U-Net: point cloud-based weight estimation of covered patients / A. Bigalke [и др.] // International Journal of Computer Assisted Radiology and Surgery. — 2021. — Т. 16, № 12. — С. 2079—2087.

169. Downscaling-based segmentation for unresolved images of highly heterogeneous granular porous samples / S. Korneev [и др.]. — 2018. — https://www.digitalrocksportal.org/projects/137.

170. Pore-scale and multiscale numerical simulation of flow and transport in a laboratory-scale column / T. D. Scheibe [и др.] // Water Resources Research. — 2015. — Т. 51, № 2. — С. 1023—1035.

171. Downscaling-based segmentation for unresolved images of highly heterogeneous granular porous samples / S. V. Korneev [и др.] // Water Resources Research. — 2018. — Т. 54, № 4. — С. 2871—2890.

172. An efficient two-dimensional blocking strategy for sparse matrix-vector multiplication on GPUs / A. Ashari [и др.] // Proceedings of the 28th ACM international conference on Supercomputing. — 2014. — С. 273—282.

173. Abdelfattah, A. Kblas: An optimized library for dense matrix-vector multiplication on gpu accelerators / A. Abdelfattah, D. Keyes, H. Ltaief // ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS). — 2016. — Т. 42, № 3. — С. 1—31.

174. Volkov, V. Benchmarking GPUs to tune dense linear algebra / V. Volkov, J. W. Demmel // SC'08: Proceedings of the 2008 ACM/IEEE conference on Supercomputing. — IEEE. 2008. — С. 1—11.

175. Технология программирования CUDA / Д. Н. Тумаков [и др.]. — 2017.

176. Teubner, M. Origin of the scattering peak in microemulsions / M. Teubner, R. Strey // The Journal of Chemical Physics. — 1987. — Т. 87, № 5. — С. 3195—3200.

177. One-and two-phase permeabilities of vugular porous media / A. Moctezuma-Berthier [и др.] // Transport in Porous Media. — 2004. — Т. 56, № 2. — С. 225—244.

178. Apourvari, S. N. Image-based relative permeability upscaling from the pore scale / S. N. Apourvari, C. H. Arns // Advances in Water Resources. — 2016. — Т. 95. — С. 161—175.

179. Ismail, N. I. Rock typing using the complete set of additive morphological descriptors : дис. ... канд. / Ismail Nurul Izza. — UNSW Sydney, 2014.

180. Shikhov, I. Evaluation of capillary pressure methods via digital rock simulations / I. Shikhov, C. H. Arns // Transport in Porous Media. — 2015. — Т. 107, № 2. — С. 623—640.

181. Bourke, P. Interpolation methods / P. Bourke // Miscellaneous: projection, modelling, rendering. — 1999. — Т. 1, № 10.

182. Lekien, F. Tricubic interpolation in three dimensions / F. Lekien, J. Marsden // International Journal for Numerical Methods in Engineering. — 2005. — T. 63, № 3. — C. 455—471.

183. Rahman, M. A. Optimizing intersection-over-union in deep neural networks for image segmentation / M. A. Rahman, Y. Wang // International symposium on visual computing. — Springer. 2016. — C. 234—244.

184. Jaccard, P. Distribution de la flore alpine dans le bassin des Dranses et dans quelques regions voisines / P. Jaccard // Bull Soc Vaudoise Sci Nat. — 1901. — T. 37. — C. 241—272.

Список рисунков

1.1 Схема пермеаметра [8, с. 362] — прибора для измерения проницаемости............................... 13

1.2 Пример томограммы образца керна, полученной с помощью рентгеновской МКТ: (а) 2Э-срез томограммы; (б) сегмент 2Э-среза томограммы ................................ 16

1.3 Пример построения сеточной модели: (а) цифровая 2Э-модель пористой среды; (б) соответствующая ей сеточная модель, построенная с помощью библиотеки ОрепРКМ [31] .......... 17

1.4 Общая схема метода оценки петрофизических характеристик цифровых 3Э-моделей образцов керна.................. 21

1.5 2Э-срезы (а) оригинальной (необработанной) модели; (б) бинарной сегментации оригинальной модели (а); (в) отфильтрованной модели

(а); (г) бинарной сегментации отфильтрованной модели (в) ...... 22

1.6 Пример мультиклассовой сегментации 3Э-томограммы образца керна: (а) оригинальный сегмент 3Э-томограммы; (б) томограмма после фильтрации и бинарной сегментации (на два класса); (в, е) сегментация на три класса; (г, ж) сегментация на четыре класса; (д,

з) сегментация на пять классов ...................... 24

2.1 Вычисление 3В-ЭНТ путём вычисления Ш-преобразований

Хартли: (а) вдоль оси ж, (б) оси у, (в) оси ^ .............. 34

2.2 Схема применения пространственных фильтров к цифровой 3Э-модели образца керна......................... 36

2.3 Схема применения частотных фильтров к цифровой 3Э-модели образца керна ............................... 37

2.4 (а) срез исходных 3Э-данных, (б) 2Э-фильтрация последовательности срезов: видно наличие вертикальной анизотропии, (в) 3Э-фильтрация..................... 38

2.5 Типы окрестностей на бинарном 2Э-изображении. Они объединяются в шесть классов с точки зрения симметрии...... 43

2.6 Типы окрестностей на бинарном ЭЭ-изображении. Они объединяются в 22 класса с точностью до симметрии поворотов. Некоторые типы не представлены, но их можно получить, инвертировав (а)-(ж),(о): (г') и (ж')—пример инвертирования (г)

и (ж) соответственно ........................... 45

2.7 График зависимости времени построения поля кривизн сегментированной 2Э-изображения пористой среды с разрешением

1000 х 1000 в зависимости от размера окна............... 47

2.8 Архитектура нейронной сети ЭЭ ................. 52

2.9 Моделирование течения флюида в пористой среде с помощью ЬБМ:

(а) — течение вдоль оси ж, (б) - 2Э-срез отсегментированного исходного образца, (в) — течение вдоль оси у.............. 54

2.10 Результат экстраполяции скоростей течения флюида методом обратных взвешенных расстояний: (а) — моделирование течения, вызванного перепадом давления вдоль оси ж; (б) — моделирование течения, вызванного перепадом давления вдоль оси у......... 56

Э.1 Время обработки N изображений с разрешением: (а) 128 х 128,

(б) 256 х 256, (в) 512 х 512, (г) 1024 х 1024, (д) 2048 х 2048, (е)

4096 х 4096 ................................. 68

3.2 Результаты фильтрации ЭЭ-томограммы образца С6203А, представленного на рис. 3.17(б, е): 2Э-срез вдоль оси ^ (а) необработанной ЭЭ-томограммы; (б) отфильтрованной ЭЭ-томограммы последовательно с помощью 2Э-фильтрации изображений; (в) отфильтрованной ЭЭ-томограммы с помощью ЭЭ-фильтрации; (г-е) результаты бинарной сегментации методом фиксации уровня .............................. 69

3.3 Булева 2Э-модель со слоистой структурой: (а) 2Э-маска, созданная с указанием количества (здесь Э) и толщины слоёв (здесь

1/3 стороны) (б) Синтетическая модель, получившаяся в результате заполнения слоёв маски (а) зёрнами с радиусами 5, 15, 8 сверху вниз соответственно ....................... 71

3.4 Булева 2Э-модель со слоистой структурой: (а) 2Э-маска, созданная с указанием количества (здесь 4) и толщины слоёв (здесь 1/4 стороны) (б) Синтетическая модель, получившаяся в результате заполнения слоёв маски (а) зёрнами с радиусами 5, 15, 6, 16 сверху вниз соответственно ............................ 72

3.5 Булева 3Э-модель со слоистой структурой: (а) 3Э-маска, созданная с указанием количества (здесь 2) и толщины слоёв (здесь 1/2 стороны) (б) Синтетическая модель, получившаяся в результате заполнения слоёв маски (а) зёрнами с радиусами 5, 15 сверху вниз соответственно ............................... 72

3.6 Схема алгоритма создания маски с помощью генератора случайных чисел и кубической интерполяции: (а) матрица 2 х 2, созданная на шаге 1; (б-в) результат кубической интерполяции, полученный на

шаге 2; (г) результат пороговой сегментации, проведенной на шаге 3 74

3.7 Булева 3Э-модель, созданная с помощью кубической интерполяции: (а) 3Э-маска, созданная по описанному выше алгоритму (шаги 1-4); (б) Синтетическая модель, получившаяся в результате заполнения слоёв маски (а) зёрнами с радиусами 3 — прозрачная область на маске, 7 —тёмная область, 16 —светлая область (шаг 5);

(в) наложение маски (а) на созданную по ней модель (б)....... 74

3.8 Срезы булевой 3Э-модели, представленной на рис. 3.7: (а) 2Э-срезы 3Э-маски; (б) 2Э-срезы синтетической модели, получившейся

в результате заполнения слоёв маски (а) шарами с радиусами 3 — прозрачная область на маске, 7 —тёмная область маски, 16 — светлая область маски; (в) наложение маски (а) на созданную по ней модель (б) ............................... 76

3.9 2Э-срезы полей функционалов Минковского: (а) — объём; (б) — площадь поверхности; (в) — интеграл средней кривизны; (г) — эйлерова характеристика......................... 77

3.10 Результаты сегментации на три класса с примнениенем метода к-средних++ булевой 3Э-модели, изображенной на рис. 3.7 и 3.8 (Меап1ои = 0,80): (а) 2Э-срезы истинной маски, по которой генерировался образец; (б) результат сегментации; (в) наложение результата сегментации на истинную маску; (г) наложение результата сегментации на образец .................... 79

3.11 Результаты сегментации на три класса с примнениенем метода к-средних++ булевой ЭЭ-модели с лучшим значением Меап1ои по выборке (0,84): (а) 2Э-срезы истинной маски, по которой генерировался образец; (б) результат сегментации; (в) наложение результата сегментации на истинную маску; (г) наложение результата сегментации на образец .................... 80

3.12 Результаты сегментации на три класса с примнениенем метода ОММ-кластеризации булевой ЭЭ-модели, изображенной на рис. Э.7 и Э.8 (Меап1оИ = 0,87): (а) 2Э-срезы истинной маски, по которой генерировался образец; (б) результат сегментации; (в) наложение результата сегментации на истинную маску; (г) наложение результата сегментации на образец .................... 81

3.13 Результаты сегментации на три класса с примнениенем метода ОММ-кластеризации булевой ЭЭ-модели с лучшим значением Меап1оИ по выборке (0,89): (а) 2Э-срезы истинной маски, по которой генерировался образец; (б) результат сегментации; (в) наложение результата сегментации на истинную маску; (г) наложение результата сегментации на образец ............. 82

3.14 Результаты сегментации на три класса с помощью нейронной сети ЭЭ булевой ЭЭ-модели, изображенной на рис. Э.7 и Э.8 (Меап1оИ = 0,83): (а) 2Э-срезы истинной маски, по которой генерировался образец; (б) результат сегментации; (в) наложение результата сегментации на истинную маску; (г) наложение результата сегментации на образец .................... 8Э

3.15 Результаты сегментации на три класса с помощью нейронной сети ЭЭ булевой ЭЭ-модели с лучшим значением Меап1оИ по выборке (0,87): (а) 2Э-срезы истинной маски, по которой генерировался образец; (б) результат сегментации; (в) наложение результата сегментации на истинную маску; (г) наложение

результата сегментации на образец .................... 84

Э.16 Распределение значений Меап1оИ для двух наборов

сегментированных данных и для результата сегментации на основе полей функционалов Минковского .................... 85

3.17 3Э-томограммы образцов керна, описанные в [171]: (а. д) образец С6197А; (б, е) образец С6203А; (в, ж) бинарная сегментация методом фиксации линии уровня образца С6197А; (г, з) бинарная сегментация методом фиксации линии уровня образца С6203А . . . . 87

3.18 Результаты сегментации на 3 класса тестового образца из выборки для обучения сети 3Э И-Ке^ (а) 2Э-срезы исходной томограммы; (б) сегментация; (в) наложение результатов сегментации на

исходную томограмму ........................... 88

3.19 2Э-срезы исходного образца с разрешением 512 х 512 х 1000 (а); срезы сегментированного образца с помощью нейронной сети 3Э

И-Ке1 (б); наложение результата сегментации на исходный образец (в) 89

Список таблиц

1 Соответствие индексов типов окрестностей, сокращенных до 22 с точностью до симметрии поворотов (1С), и индексов всех 256 типов окрестностей, которые можно вычислить по формуле

(2.Э0) [59; 118] ............................... 44

2 Веса для вычисления четырёх функционалов Минковского — М1, М2, М3, М4 [59; 118]: 1С —индекс соответственного типа окрестности с точностью до симметрий, Ь —один из типов окрестностей, изображённых на рис. 2.6 ................. 46

3 Значения Меап1оИ (МГО) для результатов сегментации методом к-средних++ первых двадцати моделей из набора синтетических данных, описанных в разделе Э.4.Э.................... 78

4 Значения Меап1оИ (МГО) для результатов сегментации методом ОММ-кластеризации первых двадцати моделей из набора синтетических данных, описанных в разделе Э.4.Э ........... 80

5 Значения Меап1оИ (МГО) для результатов сегментации с помощью нейронной сети ЭЭ первых двадцати моделей из набора синтетических данных, описанных в разделе Э.4.Э ........... 82

6 Сравнительные показатели результатов сегментации методами к-средних++, ОММ и нейронной сетью ЭЭ ........... 84

7 Экспериментально определённые свойства образцов керна, представленных на рис. Э.17 ....................... 90

8 Тензоры абсолютной проницаемости К (Д) в осях ж, у, ^ при моделировании на бинарно сегментированных моделях С6197А

и С620ЭА, отфильтрованных различными методами .......... 91

9 Тензоры абсолютной проницаемости в главных осях, вычисленные по описанному в разделе 2.5.5 алгоритму для тензоров из таб. 8, полученных на ЭЭ-отфильтрованных данных.............. 92

10 Тензоры абсолютной проницаемости в главных осях, полученные

с помощью ЭЭ ............................ 92